企业同时就产量进行决策。
求出该博弈的纳什均衡。
当n趋于无穷大时，会发生什么情况？
解：
厂商i的利润为：
πi=p（Q）-cqi=（a-Q-c）qi
令
，则有：
q
=a-c-Q*?
（1）
（
）组成该博弈的纯策略纳什均衡点。
式
（1）两边同时求和，可得：
，于是
，
，此时p*=a-Q*=
，当n趋于无群大时，有Q*=a-c,q
=0，p*=c，说明此时各厂商的产品价格等于边际成本，这时的市场已是完全竞争市场。
9.对于下列的威慑进入博弈，首先计算垄断情况下的产量与价格组合，再计算存在竞争的情况下两企业的产量与价格组合，并对这两种情况下的结果作比较分析。
假定进入者相信垄断在位者在随后的阶段将会维持它的产量水平。
市场需求曲线由方程p=10-2Q给出，其中p是市场价格，Q是总的市场产量。
假定在位者和进入者有相同的总成本函数TCi=
+4qi，其中i=1,2分别表示在位者和进入者。
解：
设垄断在位者的产量策略为q1，价格为p1；进入者的产量为q2，价格为p2。
其利润分别为：
π1,π2。
先讨论垄断在位者不威慑的情形。
若进入者进入，各自利润为
求导得：
解得均衡时q1=q2=1，则p=8，利润为：
π1=π2=
。
若进入者不进入，则q2=0。
由
得q1=
，则相应地有p=7,π1=4。
如果垄断在位者进行威慑，由以上分析可知，如果两者都生产，则最大产量为2。
所以垄断在位者采取威慑为永远取产量为2，此时，若进入者进入，均衡分析如下：
则有q2=
，p=5,π1=
π2=0.
若进入者选择不进入：
q2=0，p=6,π1=
。
由以上计算分析可以看出，垄断在位者的威慑是可信的。
垄断在位者的产量为2，进入者进入后无利可图，所以选择不进入。
市场价格为6。
10.甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。
试求出该博弈的纳什均衡。
如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措施？
乙企业
开发
不开发
甲企业
开发
-10,-10
100,0
不开发
0,100
0,0
解：
用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。
所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点（开发,不开发）和（不开发,开发）。
该博弈还有一个混合的纳什均衡（（
）,（
））。
如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位,则收益矩阵变为：
要使（不开发,开发）成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需a>10。
此时乙企业的收益为100+a。
11.假设有一博弈G=[N,S,P]，其中N={1,2},S1=[10,20],S2=[0,15],
，
。
试求出最优反应函数，并求出均衡点。
解：
令
，得最优反应函数：
由此进一步可求得
，它们在题设要求的可行域内,所以均衡点为（330/23,80/23）。
12.证明教材中定理2.4.6。
证明:
设矩阵博弈G1的纳什均衡为（X*,Y*）,其中X*=（x1,x2,…,xm）,Y*=（y1,y2,…,yn）,由纳什均衡的定义,有
即
。
由于d是常数,因此有
。
显然不等式
是成立的,此即为
。
所以（X*,Y*）是矩阵博弈G2的纳什均衡点,并且
※第三章 纳什均衡的扩展与精炼
1.什么是完全信息和不完全信息？
什么是完美信息和不完美信息？
在海萨尼转换中，自然对局中人类型的确定都是有限的吗？
举例说明。
（见教材）
2.什么是重复博弈中的策略?
什么是一个重复博弈中的子博弈?
什么是一个子博弈完美纳什均衡?
（见教材）
3.以下（虚线框中的）子博弈的划分是否正确?
答：
两个扩展式中的子博弈划分均不正确，图1中的划分对同一信息集产生了分割，图2中的子博弈不是开始于单节信息集的决策结点。
4.在双寡头古诺模型中,设逆需求函数为p=a-Q,其中Q=q1+q2为市场总需求,但a有aH和aL两种可能的情况,并且企业1知道a究竟是aH还是aL,而企业2只知道a=aH和a=aL的概率分别是θ和1-θ,该信息是双方都知道的。
双方的总成本函数分别是cq1和cq2。
如果两企业同时选择产量,双方的策略空间是什么？
试计算出贝叶斯纳什均衡。
假设企业2的产量为q2，企业1将选择q1最大化利润函数
（这里a取aH或aL）
由此得：
企业2将选择q2最大化它的期望利润
由此得：
在均衡时，q1，q2应满足
由此得：
企业1的策略为：
企业2的策略为：
因此博弈的贝叶斯纳什均衡是：
当a=aH时，企业1生产
；当a=aL时，企业1生产
，企业2生产
。
5.在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯策略贝叶斯纳什均衡。
（1）自然决定收益情况是由博弈1给出，还是由博弈2给出，选择每一博弈的概率相等；
（2）局中人1了解到自然选择了博弈1，还是选择了博弈2，但局中人2不知道；
（3）局中人1选择行动T或B，同时局中人2选择行动L或R；
（4）根据自然选择的博弈，两局中人得到相应的收益。
L
R
L
R
T
1,1
0,0
T
0,0
0,0
B
0,0
0,0
B
0,0
2,2
博弈1 博弈2
自然选择了博弈1时，局中人1选择T，自然选择了博弈2时，局中人1选择B。
局中人2的策略是根据期望收益最大的原则确定。
局中人2的选择策略L的期望收益为0.5×1+0.5×0=0.5，选择策略R的期望收益为0.5×0+0.5×2=1，因此局中人2会选择策略R。
该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡为：
自然选择博弈1时，局中人1选择T，自然选择博弈2时，局中人1选择B；局中人2会选择策略R。
6.在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-q1-q2-q3，这里qi是企业i的产量。
每一企业生产的单位成本为常数c。
三企业决定各自产量的顺序如下：
（1）企业1首先选择q1≥0；
（2）企业2和企业3观察到q1，然后同时分别选择q2和q3。
试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。
答：
该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量q1，第二阶段企业2和3观测到q1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。
我们按照逆向递归法对博弈进行求解。
（1）假设企业1已选定产量q1，先进行第二阶段的计算。
设企业2，3的利润函数分别为：
由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：
（1）
（2）
求解
（1）、
（2）组成的方程组有：
（3）
（2）现进行第一阶段的博弈分析：
对与企业1，其利润函数为；
将（3）代入可得：
（4）
式（4）对q1求导：
解得：
（5）
此时，
（3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：
7.如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因子为δ。
试问δ应满足什么条件，才存在子博弈完美纳什均衡？
乙
甲
坦白
不坦白
坦白
4,4
0,5
不坦白
5,0
1,1
由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为（不坦白,不坦白），均衡结果为（1,1），采用触发策略，局中人i的策略组合s的最好反应支付
=5,Pi（s*）=4，Pi（sc）=1。
若存在子博弈完美纳什均衡，必须满足：
，即只有当贴现因子
>1/4时，才存在子博弈完美纳什均衡。
8.假设有一博弈G=[N,S,P],其中N={1,2},S1=[0,50],S2=[0,50],
，
i=1,2。
（1）求纳什均衡点;
（2）在纳什均衡下的最优反应函数;（3）若该博弈重复无限次,是否存在触发策略构成的子博弈完美纳什均衡,其条件是什么？
解：
局中人1,2的最优反应函数分别为:
s1=5+1/2s2 s2=20/3+1/3s1
由此得唯一的纯策略纳什均衡点:
sc=（10,10）.相应的有P（sc）=（1000,1500）.
容易求得s*=（35,30）,相应的有P（s*）=（1750,3000）,
.
当
时，存在触发策略构成的子博弈完美纳什均衡（s*,sc）
9.求如图所示完全信息动态博弈的子博弈完美纳什均衡（图中数字（a,b,c）分别表示局中人1、2、3的收益）。
答：
局中人1采取A2行动，局中人2采取行动B1时，局中人3必然采取C2行动（因为3<6），因而该博弈的顶点只能是（7,6,6）。
同样对于局中人3右边一个子博弈，必然采取C1行动（9>2），因而该博弈的顶点只能是（2,1,9）。
进而原博弈简化为：
这时,假设局中人1采取行动A1，对于左边一个子博弈，局中人3必定采取行动C2（3<8）,因而在该子博弈顶点的结果只会是（1,7,8）.同样,若局中人1采取行动A2,此时局中人2必然采取行动B1（6>1）,因而在该子博弈顶点的结果只会是（7,6,6）.进而,该博弈又简化为：
这时，局中人1必然选择行动A2（1<7）。
由于局中人1选择A2时，局中人2选择B1，进而局中人3选择C2。
因此，策略组合（A2,B1,（（A1,C2）,（B1,C2）,（B2,C1）））构成整个博弈的子博弈完美纳什均衡（这里（A1,C2）表示如果局中人1选择A1,则局中人3选择C2,对（B1,C2）,（B2,C1）的解释类似）。
10.考虑如下诉讼威胁博弈。
如果提起诉讼的话，局中人1为原告，局中人2为被告，博弈顺序如下：
（1）原告决定是否指控被告，指控的成本是c1；
（2）如果决定指控的话，在告上法庭之前，原告提出一个无协商余地的赔偿金额s以私了；（3）被告决定接受还是拒绝原告的要求；（4）如果被告拒绝原告的要求，原告决定是放弃还是上法庭，自己的成本是c2，给被告带来的成本是d；（5）如果告上法庭，原告以概率P胜诉而获得赔偿r，否则什么也得不到。
试问胜诉概率P满足什么条件时，原告的诉讼威胁才是可信的？
一）局中人1不指控局中人2时两个人的收益均为0
二）局中人1决定指控局中人2，在告上法庭之前，局中人1提出一个无协商余地的赔偿金额s以私了，
（1）当局中人2接受要求时局中人的收益为s-c1;局中人2的收益为-s；
（2）当局中人2拒绝局中人1的要求，
1）局中人1放弃上诉时，局中人1的收益为-c1,局中人2的收益为0；
2）当局中人1起诉时，局中人1的期望收益为Pr-（c1+c2）;局中人2的期望收益为-Pr-d
因此，当局中人1的期望收益Pr-（c1+c2）>max{0,s-c1}，即P>max{（c1+c2）/r,（s+c2）/r}时原告的诉讼威胁是可信的。
11.在伯川德模型中,假定有n个生产企业,需求函数为
（b>0）,其中pi是企业i的定价,qi是企业i的需求量。
假设企业生产没有固定成本,并且边际成本为常数c,c求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子δ,并解释δ与n的关系。
分以下几个步骤进行。
1）计算纳什均衡
当企业i选择价格pi,其它企业选择价格pj（j=1,2,…,n,j≠i）时,企业i的利润为:
i=1,2,…,n
价格组合（
）若是纳什均衡,则对每个企业i,
应是如下最优问题的解:
求解该问题,得;
i=1,2,..,n
解该方程组,得:
i=1,2,…,n
企业i的利润为：
2）计算垄断情况下的价格
若n家企业合并为一家,即形成垄断价格,则n家企业的价格相同,即p1=p2=…=pn.
可求得总利润最大时的价格为:
那么每个企业的利润为
（这里（n-1）b<1）
易证
即在垄断价格下,各企业的利润增加了。
3）计算使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子δ,并解释δ与n的关系。
当
时,触发策略（p*,pc）是子博弈完美纳什均衡.
12.有一在位企业生产某种产品，其成本可能低，也可能高。
该企业可以选择低价或高价两种策略。
另一企业准备进入生产同类产品，但完全不知道在位企业的生产成本是高还是低，只能观察到其价格是低价还是高价。
其具体收益见下面博弈的扩展式表述。
求该博弈的子博弈完美贝叶斯纳什均衡。
该题的求解与第115页例题类似。
13.求例3.4.1的子博弈完美贝叶斯纳什均衡。
※第四章 谈判与协调
1.帕累托占优均衡和纳什均衡的关系是什么?
纳什均衡的基本思想是：
每一个局中人选择一个策略，由所有局中人的策略构成了一个策略组合；在其它局中人选定策略不变的情况下，若某一个局中人单独地违背自己已选的策略，那么他的收益只会下降（或收益不会增加）。
这样的策略组合构成一个均衡局势，并命名为纳什均衡。
纳什均衡有纯策略的纳什均衡和混合策略的纳什均衡。
一个博弈中有不止一个纳什均衡时，就构成一个多重纳什均衡问题。
在多重纳什均衡下给出一些选择标准就得到一些特定的纳什均衡。
其中帕累托占有纳什均衡是根据这样的选择标准选择的均衡。
在博弈
中，若
均为G的其纳什均衡，若
满足
，
则称
为博弈G的帕累托占优纳什均衡。
可见帕累托占有纳什均衡是纳什均衡中收益最大的一种均衡。
2.分别找出具有下列性质的2人博弈的例子。
（1）不存在纯策略纳什均衡；
（2）至少有两个纳什均衡，并且其中之一是帕累托占优均衡。
（1）不存在纯策略的纳什均衡：
该博弈不存在纯策略的纳什均衡
（2）
战争
和平
国
家
1
战争
-5，-5
8，-10
和平
-10，8
10，10
该博弈有三个纳什均衡：
（战争，战争）、（和平，和平）和一个混合策略纳什均衡
。
很显然，（和平，和平）是一个帕累托占优纳什均衡。
3.假设在某一产品市场上有两个寡头垄断企业，它们的成本函数分别为：
TC1=0.1q
+20q1+100000 TC2=0.4q
+32q2+20000
这两个企业生产一同质产品，其市场需求函数为：
Q=4000-10p。
试分别基于古诺模型和纳什谈判模型求解两企业的利润。
解：
由
和
得
所以：
求解方程组得
将
，
代入到
，
中去得到最优解
4.你能否对如下的CG-2×2博弈中x的变化设计出一些实验方案，来讨论是帕累托占优思想还是风险占优思想在策略选择中起主要作用。
局中人B
1
2
局中人A
1
800,800
x,0
2
0,x
1000,1000
设计试验
（1） aA、B都会选择行动1。
这里的a取决于参与人能接受的风险程度。
（2）x.>1000这时是帕累托占优思想起主要作用。
都会选择行动2。
※第五章 合作博弈
1.设三人联盟博弈的特征函数v的值是：
v（{i}）=0,i=1,2,3;v（{1,2}）=2/3,v（{1,3}）=7/12,v（{2,3}）
=1/2,v（{1,2,3}）=1。
求出该联盟博弈的核心，并用图形表示出来。
2.假设有一3人合作博弈，其特征函数为：
v（{1,2,3}）=200,v（{1,2}）=150,v（{1,3}）=110,
v（{2,3}）=20,v（{1}）=100,v（{2}）=10,v（{3}）=0。
计算该合作博弈的Shapley值，核心，最小ε-核心，稳定集，内核和核仁。
3.考虑有如下特征函数v的4人合作博弈：
v（{1,2,3,4}）=2,v（{1,2,3}）=1,v（{1,2,4}）=2,v（{1,3,4}）=0,v（{2,3,4}）=1,v（{1,2}）=0,v（{1,3}）=-1,v（{1,4}）=1,v（{2,3}）=0,v（{2,4}）=1,v（{3,4}）=0,v（{1}）=-1,v（{2}）=0,v（{3}）=-1,
v（{4}）=0.
4.证明下面的10人博弈v不具有稳定集。
设N={1,2,…,10}，N上博弈v的特征函数为:
v（N）=5,v（{1,3,5,7,9}）=4,v（{3,5,7,9}）=v（{1,5,7,9}）=v（{1,3,7,9}）=3,v（{1,4,7,9}）=v（{3,6,7,9}）=v（{2,5,7,9}）=2,v（{3,5,7}）=v（{1,5,7}）=v（{1,3,7}）=2,v（{3,5,9}）=v（{1,3,9}）=v（{1,5,9}）=2,v（{1,2}）=v（{3,4}）=v（{5,6}）=v（{7,8}）=v（{9,10}）=1,v（{i}）=0,
i∈N,v（S）=0,对任意其它的联盟S
N。
5.五个人（分别用1,2,3,4,5表示）拟合伙开公司，经测算，一年可获利润100万。
你认为应如何分配？
试用合作博弈的方法给出此问题的分配方案。
S
v（S）
S
v（S）
S
v（S）
S
v（S）
{1}
{2}
{3}
{4}
{5}
{1,2}
{1,3}
{1,4}
0
0
0
5
10
0
5
15
{1,5}
{2,3}
{2,4}
{2,5}
{3,4}
{3,5}
{4,5}
{1,2,3}
20
15
25
30
30
35
45
25
{1,2,4}
{1,2,5}
{1,3,4}
{1,3.5}
{1,4,5}
{2,3,4}
{2,3,5}
{2,4,5}
35
40
40
45
55
50
55
65
{3,4,5}
{1,2,3,4}
{1,2,3,5}
{1,2,4,5}
{1,3,4,
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