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谈如何因材施探
谈如何因“材”施“探”
——基于探索勾股定理教学中的思考与认识
学科论文：
初中数学
新课程改革的一个重要而具体的目标，就是要改变至今仍普遍存在的学生被动接受、大量反复操练的学习方式，倡导学生主动参与的探究式学习。
作为一线教师，面对不同的教学对象、不同的教学内容、不同的教学条件，如何有效地开展探究性教学、提高课堂教学实效？
于是如何因“材”施“探”就成了我们一直都在探索的问题。
勾股定理在几何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基础，也是平面几何的重要基础，其在现实生活中也具有普遍性和应用性。
虽然探索勾股定理的方法很多，但寻找一种让学生能够在思维上比较“自然地”发现该定理的方法是困难的。
如何设计勾股定理教学，一直是初中数学教学的一个难点。
在探索勾股定理的教学中，笔者碰到一些颇让人回味的教学案例，在反思的同时，更有一些教学感悟和思想油然而生，本文通过笔者对勾股定理教学设计的一些做法和思考，抛砖引玉，希望得到同行专家的批评指正。
一、案例
1.提供两个案例
笔者在一次学区公开课上听到的探索勾股定理的同课异构教学片断。
案例1：
在引入课题之后，教师甲安排了如下的合作学习:
（1）作三个直角三角形，使其两条直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm；
（2）分别测量这三个直角三角形斜边的长；
（3）根据所测量的结果填写下表：
a
b
c
3
4
6
8
5
12
观察表中后两列的数据。
在直角三角形中，三边长之间有什么关系？
再任意画一个直角三角形试一试。
教师甲将学生分成4人一小组后开始让他们合作学习，在大部分学生完成以上任务之后，组织学生交流探究成果。
生甲：
我测量得到，它们的斜边长分别是5cm、10cm、13cm.
老师：
其他同学是否也是这样的结果呢？
（绝大部分学生点头确认，没有学生提出异议。
）
于是师生继续校对表格的后两列,然后得出a2+b2=c2，进而指出这种关系在几何上称为是勾股定理，并要求学生用文字表述.
……
案例2：
在引入课题之后，安排了合作学习：
（1）作三个直角三角形，使其两条直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm；
（2）分别测量这三个直角三角形斜边的长；
（3）根据所测量的结果填写下表：
a
b
c
3
4
6
8
5
12
在直角三角形中，三边长之间有什么关系？
再任意画一个直角三角形试一试。
教师乙也将学生分成4人一小组后开始让他们合作学习，在大部分学生完成以上任务之后，组织学生交流探究成果。
绝大部分学生测量结果是它们的斜边长分别是5cm、10cm、13cm.但也有一位学生说自己量得第三个图形的斜边长是12.8cm。
教师肯定了他的答案，然后指出他的稍有点误差，这是正常现象，不过最精确的应该是13cm。
接着问这三角形的三边3，4，5；6，8，10；5，12，13之间有何特殊的关系呢？
一个学生马上回答：
因为直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以我发现3的平方加4的平方等于5的平方，即两边的平方和等于第三边的平方！
教师乙有些惊讶：
你怎么知道“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”？
该生自豪的回答：
因为我预习过了。
这位学生的快速抢答打乱了教师的教学节奏。
于是接着问：
如果没有预习，你还不知道这个结论的话，会怎么思考？
这位学生摇摇头。
该教师只好将话题转移到了前人的伟大，发现了这一著名的定理。
这时另一位学生的嘀咕声传入在后面听课的笔者的耳朵：
我只想到两边之和与第三边或两边之差与第三边的关系，可是都找不到特点。
怎么会想到平方的关系呢？
2.两个案例带来的困惑
（1）从案例1的过程来看，学生似乎也经历了合作探索的过程，学生的活动也很多，有作图、测量、填表、计算、归纳、验证、交流，但这些活动都缺乏思考的力度。
实际上，整个过程是在教师预设的轨道上进行，是一种典型的假“探究”，是一种浅层次上的“合作”。
上述所谓的“合作探究教学”，究竟存在哪些问题？
①作图、测量、填表、计算，以及提醒学生“观察表中后两列的结果”来回答“在直角三角形中，三边长之间有什么关系？
”这样设置的问题对于八年级的学生来说能不能独立完成？
②遇到学生作图与测量的误差，教师该如何作合理的引导？
③为什么要计算边长的平方？
如果没有表格的后两列作提示，学生能发现勾股定理吗？
这个发现对学生而言全是无意识的，或者说是“碰到的”，在未来的学习、工作、考试中，没有教师的引导，学生还能“碰巧”发现其它规律吗？
学生可能更关心的是教师是如何想到的。
④合作探究是追求课堂形式的活泼还是追求让学生体验基本的探索方法和思路？
（2）案例2中的探究学习没有达到预想的目标，这个探究问题的设置对于学生来说太难了，教师乙的指导又缺乏坡度和机智［4］。
如果一个八年级的学生在这种情形下于短短的几分钟之内就能发现勾股定理，岂不个个都成数学天才了？
如果说前一位老师的探究问题设计是“牵着学生的鼻子走”，不能达成让学生体验勾股定理的探索过程这一教学目标，属于“引”过度。
那么后一位老师的教学设计就是从一个极端走向了另一个极端，“大海捞针——无从下手”，属于“放”过度。
探究了还是不能解决问题，这不明摆着是打击学生的自信心吗？
探究性教学在引导学生作猜测时应该怎样选择合适的“潜在距离”，使学生现有认知水平与新学知识之间的冲突最为强烈也恰到好处，从而引发学生合作探究的欲望呢？
笔者反思：
立足于“扎实”、“充实”、“丰实”、“平实”而又“真实”的课堂，我们教师该如何设计弹性化的教学方案，内在地“包含”着课堂生成，潜在地“隐藏”着教学创造？
二、对策
针对探究勾股定理的教学，笔者设计了如下三种策略与大家交流讨论。
1.合作学习探索验证
（1）大胆尝试,猜想结论（活动1）
在引入课题之后，安排合作学习：
①作三个直角三角形，使其两条直角边长分别为3cm和4cm，6cm和8cm，5cm和12cm；
②分别测量这三个直角三角形斜边的长；
③根据所测量的结果填写下表：
a
b
c
3
4
6
8
5
12
在直角三角形中，三边长之间有什么关系？
再任意画一个直角三角形试一试。
探索直角三角形三边关系时，学生往往会先思考三边长度之间的一次关系，而较难想到三边长度之间的二次关系。
为此，对于学习能力水平一般的班级，可以直接告诉学生，“前人发现直角三角形三边长度的平方之间存在某种关系”，直接进入平方关系的探索，从而避免学生花费过多的时间于此；对于学习能力水平较高的班级，可以在学生发现未必存在一次关系的基础上，提醒学生思考它们之间是否存在二次关系。
有条件的学校，可以安排学生在机房里上课，让学生在几何画板环境中自主地进行探究和猜想，进而排除错误猜想、验证正确猜想［2］。
通过活动1，学生已经猜想出直角三角形三边长平方之间的关系式，因而作以其三边为边长的正方形是比较自然的.对于学生学习能力水平较高的班级，可以引导学生思考如何通过图形表示三边边长的平方，从而引入活动2.
（2）操作验证,确认定理（活动2）
①在图1和图2中，直角三角形三边长的平方分别是多少？
它们满足上面所猜想的数量关系吗？
你是如何计算的？
与同伴交流。
（注：
本文出现网格中的每一个小正方形的边长均为１.）
②在图3和图4中的直角三角形是否也满足这样的关系呢？
图1、图2中正方形面积的计算比较容易，对于图3、图4中以斜边为边的正方形面积的计算，学生可能存在一定的困难。
所以在教学中给学生适当的指导和一定的活动时间进行充分的合作交流，可以得出多种解决方法为后续教学打下基础。
在此基础上，进一步提问：
在一般的直角三角形中，所猜想的结论还成立吗？
移除图4中网格这个平台，引导论证。
有了活动2作铺垫，学生至少能用2种方法予以证明。
策略1的设计说明：
提供以网格为背景的勾股图，并从面积这一学生熟悉的角度为学生搭建探究平台，让学生在无声的探索中受到“猜想—归纳—证明”的数学思想的熏陶！
渗透数形结合思想，并遵循从特殊出发认识事物的一般规律。
通过对特殊图形的面积求法，学生已经掌握分割方法和部分面积和等于总面积的等积思想。
因此，对一般直角三角形三边存在a2+b2=c2关系的证明，可以胜利完成。
让学生经历一个从特殊到一般的认识过程，和、符合形式的认知规律，实现了从形到数的一次飞跃，使学生深深地体会到数学的思想方法有多么重要。
这里的关键是要把握住学生的起点，为学生的“同化”和“顺应”提供必要的条件或情境，把学生原有的知识和经验充分调动起来。
这样才能“使数学学习成为再发现、再创造的过程”。
2．收集资料自主学习
（1）课前（活动1）
向学生提供“勾股定理的探究”合作学习工作单。
“勾股定理的探究”合作学习工作单
搜集及整理资料后，试解答下列问题：
勾股定理的背景
1.请写出勾股定理的内容__________________________________________________________________________________________________________________________
2.勾股定理又称商高定理，商高定理之中的“商高”是哪个国家的人？
3.勾股定理有很多不同的名字，它们背后都有特别的原因，请选出两个你们认为特别的，解释它们的由来。
（1）._________________________________________________________
（2）._________________________________________________________
勾股定理的证明
收集、整理验证勾股定理的各种方法，并从中选出两种你们认为有趣或容易理解的的验证方法。
勾股数组
查阅勾股数组的表达式，并探索勾股数组的特征，举几个勾股数组的常见例子。
勾股定理的应用
尝试举出勾股定理在日常生活应用的一些例子。
将学生以四人为一小组进行分工合作：
每人从不同的途径搜集、整理资料，如互联网、书籍等，接纳组员不同的意见，经过讨论，以求取得共识，然后由其中的一位执笔来撰写报告。
在报告中，要求学生首先简述小组成员的分工情况。
通过这个活动，旨在使学生对勾股定理有一定程度的了解。
无论是在定理的内容、发现的过程、背后的故事、不同的证明等各方面都有更深入的认识。
但更重要的是希望学生能通过本活动，体验与他人合作的相处之道，提高收集信息和处理信息的能力，感受数学的魅力。
（2）课内（活动2）
以合作学习工作单中所布置的任务为主线，交流分享合作学习的成果。
在探索勾股数组的特征这一环节只让学生了解常见的勾股数就可以了，不易挖深，鼓励有兴趣的学生课外继续探究。
在勾股定理的应用这一环节教师可视具体情况予以引导补充调整。
（3）课外（活动3）
布置学生根据所收集的资料和上课后的体会，制作一份有关勾股定理的简报在班级内交流。
在证明和应用两部分中，只需各选出一个自己认为最适合的例子加以说明。
策略2的设计说明：
舍弃了教材中的合作学习材料，重新安排探究路线。
这样在整个的学习过程中，学生们通过各种形式的合作学习不仅了解了数学知识的来龙去脉，而且认识了数学学习的真正含义，更为学生思维发展留下了巨大空间。
这里的关键在于学生的自主学习的意识和能力较强以及学习条件允许学生开展课前的活动1。
3.开门见山直接证明
（1）引入勾股定理
①复习提问：
已经学过直角三角形的哪些性质?
直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
②提出问题
如图，甲船以15千米/时的速度从港口A向正南方向航行，乙船以20千米/时的速度，同时从港口A向正东方向航行.行驶2小时后，两船相距多远？
教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？
”的问题。
学生不难发现已学的直角三角形的性质无法解决这类问题。
从而制造悬念，激发学生的积极性，顺势提出学习关于直角三角形的三边关系——勾股定理。
（2）认识勾股定理
●勾股定理的历史背景
资料1关于勾股定理的名称和相关纪念意义的事件
①介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，也有称百牛定理，埃及三角形。
我们通常称为毕式定理，商高定理。
②介绍名人与勾股定理的几个例子.比如:
据说，4000多年前，中国的大禹曾在治水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。
物理学家爱因斯坦、美国第20任总统伽菲尔德、著名画家达·芬奇、美国前任总统克林顿等都对勾股定理情有独钟，分别给出了各自的证明方法。
让我们惊叹的是中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦遇到了‘外星人’，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与‘外星人’交谈的语言。
③1955年希腊曾发行了一枚纪念邮票，邮票上反映的内容就是勾股定理；尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。
2002年，在北京召开的世界数学大会会徽是经过艺术处理的古代的弦图，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
。
资料2欣赏美丽的勾股树
你可能去过森林公园，看到过许许多多千姿百态的植物，可是你是否见过这种勾股树呢？
●勾股定理的内容
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即如果a，b为直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，则
。
将介绍勾股定理的历史背景放在明确勾股定理的内容之前，旨在激发学生的好奇心，这么有来头的勾股定理到底是怎么样的呢？
从而引发学生对勾股定理的内容更为关注的目的。
●勾股定理的验证
师生一起验证勾股定理的正确性。
已知直角三角形ABC的两条直角边分别为a,b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按下图放置在这个正方形内，就构成了我国历史上著名的弦图。
由于用面积法来证明勾股定理是学生从未经历过的，较难形成思路，所以教学中作如下启发：
（1）.
可以看成怎样一个图形的面积？
（2）.由弦图你发现了怎样的面积相等的关系？
如果用等式表示这个相等关系，应怎样表示？
化简后你发现了什么？
小结数形结合的思想方法并启发学生用不同的面积证法。
●勾股定理的应用（略）
策略3的设计说明：
勾股定理的探究确实较难。
基于基于学生的认知水平和具体条件的限制，如果我们所面对的学生基础较弱不具备像策略1中的这种探究能力或由于条件限制完成像策略2中的合作学习工作单有一定的困难时，本策略索性直接介绍勾股定理结论及其证明，让学生掌握“什么是勾股定理”、“为什么有勾股定理”、“怎么用勾股定理”。
将教材中的合作学习材料舍弃不用，也没有安排对勾股定理的探究活动，不为“表演”而活动.如果说前两种策略的课题叫“探索勾股定理”的话，那么策略3的课题叫“验证勾股定理”就更为合适了。
三、思考
1.如何合理地因“材”施“探”？
这里的“材”可以从学生和探究的主题内容两个方面加以理解。
从学生方面讲，不同地区、不同学校、不同生源的学生，知识基础有一定的差异。
教师在设计探究教学方案时应充分考虑这一差异。
从探究的主题内容方面讲，学生一般对探究主题的生成没有前期的思想准备。
但教师必须做好充分、全面的准备。
探究的主题不一定完整，可以是一个问题的某一层面、某一角度或某一点，但其内容必须有一定的可探究性和可操作性［1］。
勾股定理让学生自己进行完全探究是不可能的，那么我们教师该如何合理地因不同的“材”施展不同程度的“探”呢？
2.如何探究才是适时、适度的?
虽然一节课可能完成一个主题的探究，但不是每一个主题都能在一节课内探究出结果［1］。
在策略二中安排学生带着问题在课前尝试探究，将探究性教学转变成研究性学习，在课内交流自己的感悟、收获和疑惑，让学生体验成功的喜悦和解决问题后的欣喜。
在策略一和策略二的教学中，教师该安排什么时间探究、用多少时间探究、探究到什么程度才是适时、适度的呢？
3.如何在“探究性教学”与“传统式教学”之间寻找到一个结合点？
重基础知识轻探究、应用的观念陈旧落后，需要改变；而重探究、应用轻基础知识，也是一种片面观念。
探究性教学必须以基础知识、基本技能的掌握为前提。
而在基础知识和基本技能的掌握方面，传统的“接受式”教学有独到的作用。
我们在实施探究性教学时，不能一概否定传统的“接受式”教学［1］。
在策略三中学生学习的探究味少了，接受味浓了，那么我们该如何在两者之间寻找一个结合点，来实现两者的有效整合呢？
参考文献
［1］蒋雨华.对新课程背景下探究性教学的几点思考.《中国教育学刊》2005.11
［2］章飞.探究教学的一些思考——从勾股定理的探索谈开去.《中学数学教与学》2007.1
［3］http:
//course.fed.cuhk.edu.hk/s031511/EDD5169D/
［4］王南林.试谈数学探究性学习中教师的指导策略.《中学数学教育》2006.3
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