学年辽宁省沈阳二中高一下学期期末考试数学试题.docx

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学年辽宁省沈阳二中高一下学期期末考试数学试题

辽宁省沈阳二中2019-2020学年

高一下学期期末考试试题

说明：

1．测试时间：

120分钟，总分：

150分

2．客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数为纯虚数，则的值为（）

A．B．

C．或D．

2．如果的终边过点，则的值等于（）

A．B．C．D．

3．若向量，，，满足条件，则x等于（）

A．6B．2C．4D．3

4．关于直线m﹑n与平面﹑，有下列四个命题，其中真命题的序号是（）

①，且，则；②，且，则；

③，且，则；④，且，则．

A．①②B．③④C．①④D．②③

5．在中，，则的形状一定是（）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．直角三角形

6．设函数与的图像在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y轴的平行线交函数的图像于点B，则线段AB的长度为（）

A．B．C．D．

7．已知的三个内角为A，B，C，向量，．若，则（）

A．B．C．D．

8．《九章算术》问题十：

今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：

已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？

（）

A．75B．C．D．

9．已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（）

A．4B．2C．0D．

10．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的外接圆的面积为，且，则的最大边长为（）

A．2B．3C．D．

11．在四面体P-ABC中，三角形ABC为等边三角形，边长为3，，，，则四面体P-ABC外接球表面积为（）

A．12πB．25πC．D．

12．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形．点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则周长的最小值是（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若，且，则的最小值为_________．

14．如图．在中，，，，则_________．

15．已知中，D是BC上的点，AD平分，且，，，则_________．

16．已知：

平面，，，，，，，，，直线AC与BD的夹角是，则线段CD的长为_________．

三、解答题：

（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为．

（1）求和的值；

（2）若，求的值．

18．（本小题满分12分）

如图．甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里．当甲船航行20min到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

19．（本小题满分12分）

已知，，是同一平面内的三个向量，其中．

（1）若，且，求c的坐标；

（2）若，且，求与的夹角．

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，平面PCD，，，E，F分别

为线段AD，PC的中点．

（1）求证：

平面BEF；

（2）求证：

平面PAC．

21．（本小题满分12分）

在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．

（I）求A的值：

（Ⅱ）若，点D在边BC上．且，求AD的最大值．

22．（本小题满分12分）

如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．

（提示：

本题的数据有长度单位）

（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；

（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；

（3）在

（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？

参考答案

一、选择题：

BCBDDCCBCCDB

二、填空题：

13．314．15．16．5或

三、解答题：

17．解析：

（1）因为的图像上相邻两个最高点的距离为，

所以的最小正周期，从而．

又的图像关于直线对称，

所以．

因为，所以．

所以．

（2）由

（1）得，所以

由，得，

所以，

．

18．【解析】解法一：

如图，连接，

由已知，，，

∴，

又．

∴是等边三角形，．

由已知，．

在中，由余弦定理，得：

，

．

∴

因此乙船的速度的大小为（海里）．

答：

乙船每小时航行海里．

解法二：

如图，连结．

由已知．，，

在中，由余弦定理，得

．

∴.

由正弦定理，得

．

∴，即．

．

在中，由已知，，

由余弦定理，得

．

∴，乙船速度的大小为海里．

答：

乙船每小时航行海里．

19．解：

（1）由于，，是同一平面内的三个向量，其中，

若，且，可设．

则由，可得，

∴，或．

（2）∵，且与垂直，

∴，

化简可得，即，

∴，故与的夹角．

20．证明：

（1）设，连结OF，EC，

由已知可得：

，，

四边形ABCE是菱形，O为AC中点，

因为F为PC中点，所以，

平面BEF，OF⊂平面BEF，所以AP∥平面BEF．

（2）由题意知，，，

所以四边形BCDE为平行四边形．因此．

又平面PCD．所以，因此．

因为四边形ABCE为菱形．所以．

又，AP，平面PAC，

所以平面PAC．

21．

（1）由已知及正弦定理得

．

又，且，

∴，，即．

（2）解法一：

设外接圆的圆心为，半径为R，

则由正弦定理得，

如图所示，取BC的中点M，

在中，，

；

在中，，

．

，

当且仅当圆心O在AD上时取等号，

所以AD的最大值是．

解法二：

在中，由正弦定理得：

，

因为，所以，

又因为，所以；

由正弦定理得：

，，

在中，

在中，

所以，

整理得，

所以

，

当，即时，取得最大值．

所以AD的最大值为．

22．

（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图

由底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，可得：

所以，圆锥的高为：

，因此圆锥的体积为：

，侧面积为：

．

（2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，

所以，侧面展开图的圆心角为，

在直角三角形MOA中可得，所以最短时候，绳长为25cm

（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O到直线AM的距离减OB长．

解得：

2cm．