学年人教A版高中数学必修二浙江专版学案13空间几何体的表面积与体积 Word版含答案.docx

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学年人教A版高中数学必修二浙江专版学案13空间几何体的表面积与体积Word版含答案

1.3

1．3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积

预习课本P23～27，思考并完成以下问题

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？

3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？

4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？

5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？

1．柱体、锥体、台体的表面积公式

图形

表面积公式

多面体

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积

旋转体

圆柱

底面积：

S底＝πr2

侧面积：

S侧＝2πrl

表面积：

S＝2πrl＋2πr2

圆锥

底面积：

S底＝πr2

侧面积：

S侧＝πrl

表面积：

S＝πrl＋πr2

圆台

上底面面积：

S上底＝πr′2

下底面面积：

S下底＝πr2

侧面积：

S侧＝πl（r＋r′）

表面积：

S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl）

2．柱体、锥体、台体的体积公式

柱体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为高）；

锥体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为高）；

台体的体积公式V＝（S′＋＋S）h.

[点睛]　

（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）锥体的体积等于底面面积与高之积（　　）

（2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差（　　）

答案：

（1）×　

（2）√

2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（　　）

A.a2　　　　　　B.a2

C.a2D.a2

解析：

选A　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，∴S表＝a2＋3××2＝a2.

3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．

解析：

由已知圆锥的高h＝4，

所以V圆锥＝π×32×4＝12π.

答案：

12π

柱、锥、台的表面积

[典例]　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．

[解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，

∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56.

∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝2＋2＝＝＝64，∴AB＝8.

∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.

（1）求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．

（2）结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．　　　　　　

[活学活用]

1．（陕西高考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．3π　　　　　　　　B．4π

C．2π＋4D．3π＋4

解析：

选D　由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．

表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.

2．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为（　　）

A．81πB．100π

C．168πD．169π

解析：

选C　先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.

故S侧＝π（R＋r）l＝π（8＋2）×10＝100π，

S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.

柱体、锥体、台体的体积

[典例]　一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．2π＋2B．4π＋2

C．2π＋D．4π＋

[解析]　该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×（）2×＝，所以该几何体的体积为2π＋.

[答案]　C

空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．

（2）求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．　　　　　　

[活学活用]

1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．

解析：

设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π（r＋R）l＝6π，∴l＝2，∴h＝，∴V＝π（12＋22＋1×2）×＝π.

答案：

π

2.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于________．

解析：

根据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥得到的，体积V＝×3×4×5－××4×3×3＝24.

答案：

24

几何体体积的求法

题点一：

等积变换法

1.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为________．

解析：

V三棱锥ADED1＝V三棱锥EDD1A＝××1×1×1＝.

答案：

2.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥PABC的体积V.

解：

三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．

故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.

题点二：

分割法

3.如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．

解：

如图，连接EB，EC.四棱锥EABCD的体积

V四棱锥EABCD＝×42×3＝16.

∵AB＝2EF，EF∥AB，

∴S△EAB＝2S△BEF.

∴V三棱锥FEBC＝V三棱锥CEFB＝V三棱锥CABE＝V三棱锥EABC＝×V四棱锥EABCD＝4.

∴多面体的体积V＝V四棱锥EABCD＋V三棱锥FEBC＝16＋4＝20.

题点三：

补形法

4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．

解：

用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.

5．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．

解：

以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．

设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，

则∴

∵VDABE＝DE·S△ABE＝V长方体，

同理，VCABF＝VDACG＝VDBCH＝V长方体，

∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体＝V长方体．

而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.

（1）三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积转移法（或称等积法）．

（2）当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．　　　　

层级一　学业水平达标

1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为（　　）

A．22　　　　　　　　B．20

C．10D．11

解析：

选A　所求长方体的表面积S＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22.

2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（　　）

A．1∶2B．1∶

C．1∶D.∶2

解析：

选C　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.　

3.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（　　）

A.πB.π

C.πD.π

解析：

选B　由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π×12×＝π.

4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（　　）

A．7B．6

C．5D．3

解析：

选A　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π（r＋3r）＝84π，解得r＝7.

5.如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的体积是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C　∵VCA′B′C′＝VABCA′B′C′＝，∴VCAA′B′B＝1－＝.

6．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．

解析：

因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9.

答案：

9

7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．

解析：

易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝π.

答案：

π

8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a＝________.

解析：

由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×＝3，所以a＝.

答案：

9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．

（1）画出该几何体的三视图；

（2）求出该几何体的表面积．

解：

（1）如图所示．

（2）过C作CE垂直AD延长线于E点，

作CF垂直AB于F点．

由已知得：

DE＝2，CE＝2，

∴CF＝4，BF＝5－2＝3.

∴BC＝＝5.

∴下底圆面积S1＝25π，

台体侧面积S2＝π×（2＋5）×5＝35π，

锥体侧面积S3＝π×2×2＝4π，

故表面积S＝S1＋S2＋S3＝（60＋4）π.

10.如图，已知正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．

解：

如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.

∵S侧＝2S底，

∴·3a·h′＝a2×2.

∴a＝h′.

∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.

∴32＋2＝h′2.

∴h′＝2，∴a＝h′＝6.

∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.

∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.

层级二　应试能力达标

1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　）

A．48　　　　　　B．64

C．16D．96

解析：

选B　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.

2.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥BAB1C的体积为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　VBAB1C＝VB1ABC＝S△ABC×h＝××3＝.

3．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（　　）

A．4πSB．2πS

C．πSD.πS

解析：

选A　底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是

（2）2＝4πS.

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为×22×2－××22×1＝.

5．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________．

解析：

设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得（abc）2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.

答案：

6．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．

解析：

如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.

答案：

8

7．如图所示，已知某几何体的三视图如下（单位：

cm）．

（1）画出这个几何体（不要求写画法）；

（2）求这个几何体的表面积及体积．

解：

（1）这个几何体如图所示．

（2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体．

由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.

故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××（）2＝（22＋4）cm2，

所求几何体的体积V＝23＋×（）2×2＝10（cm3）．

8．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱．

（1）求圆锥的侧面积．

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？

并求出侧面积的最大值．

解：

（1）圆锥的母线长为＝2（cm），

∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4π（cm2）．

（2）画出圆锥的轴截面如图所示：

设圆柱的底面半径为rcm，由题意，知＝，

∴r＝，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝（－x2＋6x）＝－[（x－3）2－9]，

∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6πcm2.

1．3.2　球的体积和表面积

预习课本P27～28，思考并完成以下问题

1．球的表面积公式是什么？

2．球的体积公式是什么？

1．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．

2．球的体积

设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.

1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9（　　）

（2）经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径（　　）

答案：

（1）√　

（2）√

2．若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是　　　（　　）

A.　　　B.　　　　C.　　　　D．2πC2

解析：

选C　由2πR＝C，得R＝，∴S球面＝4πR2＝.

3．若一个球的直径是10cm，则它的体积为________cm3.

解析：

由题意知其半径为R＝＝5（cm），故其体积为V＝πR3＝×π×53＝π（cm3）．

答案：

π

球的体积与表面积

[典例]　

（1）球的体积是，则此球的表面积是（　　）

A．12π　　　　　　　B．16π

C.D.

（2）一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．

[解析]　

（1）设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.

故球的表面积S表＝4πR2＝16π.

（2）由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R＝1，所以S＝×4×π×12＋2××π×12＝4π.

[答案]　

（1）B　

（2）4π

求球的体积与表面积的方法

（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．

（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．

（3）由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．　　　　　

　[活学活用]

　某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

解析：

由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即×4π×12＋π×12＝3π.

答案：

3π

球的截面问题

[典例]　如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为（　　）

A.cm3　　B.cm3

C.cm3D.cm3

[解析]　如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），BM＝AB＝×8＝4（cm）．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝（R－2）2＋42，∴R＝5.∴V球＝π×53＝π（cm3）．

[答案]　A

球的截面问题的解题技巧

（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．

（2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.　　　　　　

[活学活用]

　一平面截一球得到直径为2cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是（　　）

A．12πcm3B．36πcm3

C．64πcm3D．108πcm3

解析：

选B　设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．

在Rt△OO1A中，O1A＝cm，

OO1＝2cm，

∴球的半径R＝OA＝＝3（cm），

∴球的体积V＝×π×33＝36π（cm3）．

与球有关的组合问题

题点一：

球的外切正方体问题

1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（　　）

A.　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选A　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.

题点二：

球的内接长方体问题

2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．

解析：

长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.

答案：

14π

题点三：

球的内接正四面体问题

3．若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．

解：

把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x，

由题意2R＝x＝×＝a，

∴S球＝4πR2＝aπ＝aπ.

题点四：

球的内接圆锥问题

4．球的一个内接圆锥满足：

球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．

解析：

如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是，于是圆锥的底面半径为＝，高为.

该圆锥的体积为×π×2×＝πr3，球体积为πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为＝.

答案：

题点五：

球的内接直棱柱问题

5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A．πa2B.πa2

C.πa2D．5πa2

解析：

选B　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.

（1）正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图

（1）．

（2）长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝，如图

（2）．

（3）正四面体的外接球

正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：

2R＝a.　　　　

层级一　学业水平达标

1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（　　）

A.　　　　　　　　B.

C．8πD.

解析：

选C　设球的半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝π2＝（R2－1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.

2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为（　　）

A．16πB．20π

C．24πD．32π

解析：

选A　设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则（3－r）2＋（）2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.

3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）

A．72πB．48π

C．30πD．24π

解析：

选C　由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．

V＝π×32×4＋×π×33＝30π.

4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是（　　）

A．S正方体>S球B．S正方体

C．S正方体＝S球D．无法确定

解析：

选A　设正方体的棱长为a，球的半径为R，由题意，得V＝πR3＝a3，∴a＝，R＝，∴S正方体＝6a2＝6＝，S球＝4πR2＝<.

5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是（　　）

A.B.

C.D．π

解析：

选C　设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝.　

6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．

解析：

过正方体的对角面作截面如图．

故球的半径r＝，

∴其表面积S＝4π×（）2＝8π.

答案：

8π

7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．

解析：

正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面（正方形）的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，

所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2.

答案：

πa2

8．圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.

解析：

设该铁球的半径为r，则由题意得πr3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π（cm2）．

答案：

100π

9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．

解：

设三个球的半径分别为R1，R2，R3，

∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，

∴4πR∶4πR∶4πR＝1∶4∶9，

即R∶R∶R＝1∶4∶9，

∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3，得R∶R∶R＝1∶8∶27，

∴V1∶V2∶V3＝πR∶πR∶πR＝R∶R∶R＝1∶8∶27.

10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，