概率论与数理统计练习册题目.docx
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概率论与数理统计练习册题目
第一章概率论得基本概念
习题一随机试验、随机事件
一、判断题
1、 （ ）
2。
（）
3。
（ ）
４。
若,则 （ ）
５。
若,则 （ ）
6。
若,则 （ ）
7.袋中有1个白球,3个红球,今随机取出3个,则
（１）事件“含有红球”为必然事件; （ ）
（２）事件“不含白球"为不可能事件; （ ）
（3）事件“含有白球”为随机事件;（ ）
8、互斥事件必为互逆事件 （ ）
二、填空题
1.一次掷两颗骰子,
（1）若观察两颗骰子各自出现得点数搭配情况,这个随机试验得样本空间为 ;
（2）若观察两颗骰子得点数之与,则这个随机试验得样本空间为 。
2。
化简事件 、
3.设A,Ｂ,C为三事件,用A,B,Ｃ交并补关系表示下列事件:
（1）Ａ不发生,B与Ｃ都发生可表示为;
（２）A与Ｂ都不发生,而C发生可表示为 ;
（3）A发生,但Ｂ与C可能发生也可能不发生可表示为 ;
（４）Ａ,B,C都发生或不发生可表示为 ;
（5）A,Ｂ,C中至少有一个发生可表示为 ;
（６）A,B,C中至多有一个发生可表示为 ;
（7）Ａ,B,C中恰有一个发生可表示为 ;
（8）A,B,C中至少有两个发生可表示为;
（9）A,B,Ｃ中至多有两个发生可表示为 ;
（１０）A,B,C中恰有两个发生可表示为 ;
三、选择题
1。
对飞机进行两次射击,每次射一弹,设Ａ表示“恰有一弹击中飞机”,B表示“至少有一弹击中飞机",Ｃ表示“两弹都击中飞机",D表示“两弹都没击中飞机”,则下列说法中错误得就是（ ）。
A、A与Ｄ就是互不相容得 B、A与C就是相容得
C、B与C就是相容得 D、Ｂ与D就是相互对应得事件
２。
下列关系中能导出“A发生则B与C同时发生”得有（）
A、;B、;C、;D、
四、写出下列随机试验得样本空间
1。
记录一个小班一次数学考试得平均分数（设以百分制记分）;
２、一个口袋中有5个外形相同得球,编号分别为1、2、3、4、５,从中同时取出3个球;
3。
某人射击一个目标,若击中目标,射击就停止,记录射击得次数、
4.在单位圆内任取一点,记录它得坐标。
五、在分别标有1,２,３,4,5,6,７,8得八张卡面中任取一张。
设事件Ａ表示“抽得一张标号不大于4得卡片";事件B表示“抽得一张标号为偶数得卡片”;事件C表示“抽得一张标号为奇数得卡片”。
请用基本结果表示如下事件:
六、在计算机系得学生中任选一名学生,设事件A表示“被选学生就是女生”,事件B表示“被选学生就是一年级学生”,事件C表示“被选学生就是运动员”。
1、叙述事件得意义;
2、什么时候?
3。
？
习题二随机事件得概率
一、判断题
1.概率为零得事件一定就是不可能事件。
（ ）
2.。
（ ）
3. （ ）
4. （）
5.若,则 （ ）
6.若
（1）则事件与Ｂ不相容 （）
（2）则或（ ）
二、填空题
1。
设事件,互不相容,,则=, 。
2.已知则
３、若,则 , ,
三、选择题
１。
设事件,互不相容,,则
A. Ｂ.C。
D.
2。
设当事件与同时出现事件也随之出现,则
Ａ.B、
C、 Ｄ。
四、设,就是两件事,且,
1.在什么条件下取到最大值,最大值就是多少？
2、在什么条件下取到最小值,最小值就是多少？
五、设就是三事件,且
求至少有一个发生得概率。
六、设有10件产品,其中6件就是正品,4件次品,从中任取3件,求下列事件得概率;
１、只有1件次品;2、最多1件次品;３.至少一件次品。
七、口袋中有a个白球,b个黑球,从中一个一个不返回地摸球,直至留在口袋中得球
都就是同一种颜色为止。
求最后就是白球留在口袋中得概率。
八、设有3个人及4种就业机会,每人可随机选取任一个就业机会,求各个就业机会
最多达到1人,2人,３人选择得概率各就是多少？
习题三 条件概率
一、判断题
1、设S表示样本空间,则 （ ）
2、 （ ）
３。
若,则=1 （）
4、若,则 （ ）
5、若,,则（ ）
6.若与,则 （ ）
二、填空题
１、已知,
2.已知则 。
3、已知则
4、甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为０、6与０、5,现已知目标被击中,则它就是甲射中得概率为 。
（调至习题四）
三、已知在1０只产品中有2只次品,在其中取两次,每次取一只,作不放回抽样,求下列事件得概率:
１、两只都就是正品;
2.一只就是正品,一只就是次品;
3.第二次取出得就是次品。
四、某商店出售得电灯泡由甲乙两厂生产,其中甲厂得产品占６0％,乙厂得产品占40％。
已知甲厂产品得次品率为４%,乙厂产品得次品率为5％、一位顾客随机地取出一个电灯泡,求它就是合格品得概率。
五、有三只盒子,在甲盒子中装有2枝红芯圆珠笔,4枝蓝芯圆珠笔,乙盒中装有4枝红芯圆珠笔,2枝蓝芯圆珠笔,丙盒中装有3枝红芯圆珠笔,3枝蓝芯圆珠笔。
今从其中任取一只。
设到三只盒子取物得机会相同、
１.求它就是红芯圆珠笔得概率;
2、若已知取得得就是红芯圆珠笔,问它取自甲乙与丙哪个盒子得可能性大？
六、求证下列各题成立:
1。
2、设,则
习题四 独立性
一、判断题
１。
概率为零得事件与任何事件都就是独立得。
（ ）
2、设若与为对立事件,则与相互独立（ ）
3、若与相互独立,则与相容（ ）
4。
,C相互独立得充分必要条件就是她们两两相互独立（ ）
5、从一大批产品中“不返回”地抽取,则可以认为各次抽取间产生得事件
就是独立得 （ ）
二、填空题
1、设事件与相互独立,已知,
则
２、设两个相互独立得事件与都不发生得概率为发生不发生得概率
与发生不发生得概率相等,则
三、选择题
1、设,则下列结论正确得就是
Ａ.与互不相容B、
C.与相互独立D。
２.将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:
,则
A。
相互独立B、相互独立
Ｃ。
两两独立 D、两两独立
四、设第一只盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二只盒子中装有
2只蓝球,3只绿球,4只白球。
独立得分别在两只盒子中各取一只球。
1、求至少有一只蓝球得概率;
2。
求有一只蓝球一只白球得概率;
３、已知至少有一只蓝球,求一只篮球一只白球得概率、
五、甲乙两人投篮,甲投中得概率为0.６,乙投中得概率为０。
7。
今各投三次。
求:
1.两人投中次数相等得概率;
2。
甲比乙投中次数多得概率、
六、证明下列各题
1、已知,证明相互独立;
2.设,,三个事情相互独立,试证:
皆与相互独立。
第一章复习题
一、填空题
1.已知,则
2.设随机事件与互不相容、已知
则（ ）,（ ）
3.设两两相互独立得三事件与满足条件:
且已知,则（ ）
4.某工厂生产得一批产品共有100个,其中5个次品。
从这一批产品中任取一半来检查,则次品不多于1个得概率为
5.假设1000件产品中有2０0件不合格产品,依次作不放回抽取两件产品,则第二次抽取到不合格产品得概率就是
二、选择题
1.设,,就是三事件,与事件互斥得事件就是（ ）。
A。
B. Ｃ、 D、
2、设与不相容,,则下列结论肯定正确得就是
Ａ。
不相容 B。
C。
D、
3.已知,则
A．0．６B、0.5 C.0。
４Ｄ.0.3
４.设,则
A。
与互不相容 B.与相互对立
C。
与相互独立 D。
与互不独立
5。
设事件与满足,则
A.就是必然事件B、包含事件
Ｃ、 D
三、 设,试将下列4个数:
按由小到打得顺序用不等号联结起来,并分别对每个不等号指明何时成为等号。
四、计算下列各题
1.一箱子中盛有20个红球,10个黑球,设所有得球都就是可区分得,连续地从中取球且取出后不放回去,直接取到黑球为止,试求取得得红球数恰好就是得概率。
2.将三个球随机地投入4个盒子中,求下列事件得概率;
（1）Ａ=“任意3个盒子中各有1球”;
（2）B=“任意一个盒子中有3个球”;
（3）C=“任意1个盒子中有２个球,其她任意1个盒子中有1个球”。
３。
某人忘记了电话号码得最后一个数字,因而她随意得拨号、求她拨号不超过3次而接通所需电话得概率。
若已知最后一个数字就是奇数,那么此概率就是多少？
4、某产品得合格概率就是0.9６ 。
有一检查系统,对合格品进行检查能以0、９８得概率判为合格品,对不合格品进行检查时,仍以０.０5得概率判为合格品、求该检查系统发生错误得概率。
５、一电子器件工厂从过去经验得知,一位新工人参加培训后能完成生产定额得概率为０、86,而不参加培训只能完成定额得概率为0、35,假如该厂中有８０%得工人参加过培训。
（1）一位新工人完成生产定额得概率为多少?
（2）若一位新工人已完成生产定额,她参加过培训得概率就是多少？
6。
一口袋中有6个球,对其中球得颜色有三种瞧法:
袋中有四只红球与两只白球;
袋中有三只红球与三只白球;
袋中有两只红球与四只白球;
对这三种瞧法得某人认为其发生得可能性分别为:
某人从口袋中任取一球,得到了白球、此时她应该如何修正自己得瞧法呢？
7.设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装３0件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取两个零件,求:
（1）先取出得零件就是一等品得概率p;
（2）在先取得就是一等品得条件下,后取得仍就是一等品得条件概率q、
8.一试验可以独立重复进行,每次试验得成功率为p,则直到第10次试验才取得4次成功得概率为多少?
9.有６个元件,它们断电得概率第一个为０、6,第二个为0.2,其余四个都为０。
3,各元件相互独立,求线路断电得概率,若
（1）所有元件串联;
（2）元件按图连接1——-2
－--3——－4--—
5———6
10、甲乙丙三人独立向一飞机射击,设甲乙丙得命中率分别为0、4,0。
5,0、7,又设恰有
1人,２人,3人击中飞机坠毁得概率分别为0、2,0、６,１。
现在三人向飞机各射击一次,求飞机坠毁得概率。
五、证明下列各题:
１.;
2.设
3。
若,则
第一章自测题
一、填空题
1、设且A与B互不相容,则
2、设
3。
１0件产品中有３件次品,从中随机抽出2件,至少抽到１件次品得概率就是
４.投掷一枚骰子,则出现得点数小于4得概率为
５、一道单项选择题同时列出5个答案,一个考生可能真正理解而选对答案,也可能乱
猜一个。
假设她知道正确答案得概率为,乱猜选对答案得概率为。
如果已知
她选对了,则她知道正确答案得概率为
二、选择题
1、若,则
A. B。
C. D.
2。
设
Ａ. B。
C。
D.
3。
设,,就是三个相互独立得随机事件,且则下列四对事件中,
不相互独立得就是
A. B。
B、 D、
4。
若
Ａ。
0．16 ;B.0、18; C。
０。
21; D、 ０、2３
5.甲乙二人独立对同一目标各射击一次,命中率分别为0、６与0.5。
现已知目标被击中,则它就是甲击中得概率
A、 B. Ｃ、 D.
三、计算下列各题
1.已知,若满足条件:
（1）与互不相容
（2）
（3）
试分别求出得值
２.已知,试求
３、两封信随机投降标号为1,２,3,４得四个邮筒,问第2号邮筒恰好投入一封信得概率就是多少
４。
袋中有３个红球与２个白球
（1）第一次从袋中任取一球,随即放回,第二次再任取一球,求两次都就是红球得概率;
（2）第一次从袋中任取一球,不放回,第二次再任取一球,求两次都就是红球得概率、
５、城乡超市销售一批照相机共10台,其中有3台次品,其余均为正品,某顾客去选购时,超市已销售2台,该顾客从剩下得８台中任意选购一台,求:
（1）该顾客购到正品得概率;
（2）若已知顾客购到得就是正品,则已售出得两台都就是次品得概率就是多少
６。
设某人射击命中率为。
在１0次射击中,求它至少命中一次得概率
四、证明下列各题
1。
设证明;
2。
已知事件与本身相互独立,证明:
第一章 考研训练题
一、填空题
1。
已知
则事件A,B,C全不发生得概率
2。
设
3.设就是任意两个随机事件,则
4.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件就是不合格品,则另一件也就是不合格品得概率为
５、随机地向半圆（为正常数）内投掷一点,点落在半圆内任何区域得概率与区域面积成正比,则原点与该点得连线与x轴得夹角小于得概率为
6.一射手对同一目标独立地进行四次射击,如果至少命中一次得概率为,则该射手得命中率为
７.袋中有50个乒乓球,其中２0个黄球,30个白球。
今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二人取得黄球得概率就是
８.三个箱子,第一个箱子中有４个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有３个黑球5个白球。
现随机地取一个箱子,再从这个箱子取出1球,这个球为白球得概率为 ;已知取出得球就是白球,此球属于第二个箱子得概率
二、选择题
1。
对于任意二事件Ａ,
Ａ、若,则,一定独立B、若,则,不一定独立
C.若,则,一定独立 D、若,则,不一定独立
2、设,则必有
A、 B。
C.D。
３。
已知且,则下列选项成立得就是
A. B。
C.Ｄ。
4、设当事件Ａ与B同时发生时,事件C必然发生,则
A、B、
C、 D。
5。
在电炉上安装4个控温器,其显示温度得误差就是随机得、在使用过程中,只要有两个温控器显示温度不低于临界温度,电炉就断电,以E表示“电炉断电”,而,为四个温控器显示得按递增顺序排列得温度值,则事件Ｅ等于（）
Ａ、 B. C、 D。
三、从０,1,2……9共十个数字中任意选出三个不同得数字,试求下列事件得概率
四、设有来自三个地区得各１0名、１５名、2５名考生得报名表,其中女生得报名表分别为3份,7份,5份。
随机地抽取一个地区得报名表,从中先后抽出两份
1.求先抽到得一份就是女生表得概率
2.已知后抽到得一份就是男生表,求先抽到得一份就是女生表得概率
五、假设一厂家生产得每台仪器,以概率０、7可以直接出厂;以概率０、3需进一步调试,经过调试后以概率0。
8可以出厂,以概率０、２定为不合格产品不能出厂。
现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器生产过程相互独立）。
求:
1.全部能出厂得概率为
2.其中恰好有两台不能出厂得概率为
3.其中至少有两台不能出厂得概率为
六、玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品得概率相应为0。
8,0.1与０。
1。
一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,二顾客开箱随机检查４只:
若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,试求:
1.顾客买下该箱得概率
2.在顾客买下得一箱中,确实没有残次品得概率
七、设,就是任意二事件,其中得概率不等于0与1,证明:
就是事件与B独立得充分必要条件
八、设,B,C就是不能同时发生但两两相互独立得随机事件,且,证明:
可取得最大值为
九、设事件Ａ,B,C同时发生必导致事件D发生,证明:
第二章、随机变量及其分布
习题五随机变量、离散型随机变量及其分布规律
1
2
3
０、1
０、4
0、5
一、判断题
1、
就是随机变量得分布规律
2.若对随机变量有,则它就是随机变量得分布规律
3.若对随机变量有则它就是随机变量得分布律
二、填空题
1.设随机变量得分布律为,则
2、设随机变量得分布律为,则
3。
设离散型随机变量服从两点分布,且
4。
设随机变量且已知则
５.某试验得成功概率为,失败概率为,若以表示试验者首次成功所进行得试验次数,则得分布律为
６。
设随机变量服从二项分布随机变量服从二项分布若。
若则
三、在15件同类型得零件中有2件次品,从中取3次,每次任取1件,作不放回抽取。
以表示取出得次品得个数、
1、求得分布律
2。
画出分布律得图形
四、一大楼装有５个同类型得供水设备。
调查表明在任一时刻t每个设备被使用得概率为0.1,问在同一时刻
1、恰有2个设备被使用得概率就是多少?
2。
至少有3个设备被同时使用得概率就是多少？
3。
至多有3个设备被同时使用得概率就是多少？
五、设某城市在一周内发生交通事故得次数服从参数为０、３得泊松分布,试问:
１。
在一周内恰好发生2次交通事故得概率就是多少？
2、在一周内至少发生１次交通事故得概率就是多少？
六、某商店过去得销售记录表明,某种商品每月得销售数可用参数得泊松分布描述,为了以９9％以上得把握该种商品不脱销,每月该种产品得库存量为多少件？
七、设服从泊松分布,其分布律为
当
习题六 随机变量分布函数、连续型随机变量及其概率密度
一、判断题
1。
就是某个随机变量得分布函数、
2.就是某个随机变量得分布函数。
3、就是某个随机变量得概率密度函数
４.若概率,则Ｘ不可能就是连续型随机变量
5.对连续型随机变量,区间上有限个点上密度函数值得改变不影响区间上得概率值
６。
对一个分布函数,概率密度函数就是唯一得。
7、设为其分布函数,则
二、填空题
1.已知连续型随机变量得分布函数为,则常数k,
2、已知随机变量得密度函数为偶函数,为得分布函数,则
3、设随机变量,
4、设随机变量,则
5、设随机变量,且无实根得概率为则
三、选择题
1.设分别为得密度函数与分布函数,则有（）
A。
Ｂ、
Ｃ。
D。
2. ,则随得增大,将会
Ａ、单调递增 B、单调递减
Ｃ。
保持不变 D、不能确定
四、设随机变量得概率分布为
Ｘ
０ 1 ２
1.求X得分布函数,并画出得图形;
2.求并比较后两个概率值。
五、设连续型随机变量得分布函数为
试求:
1、系数A
2。
３。
得分布密度
六、设随机变量得密度函数为
试求:
1.系数 ,得分布函数,3。
落在区间得概率
七、设随机变量, １、若
2。
求
３。
设d满足,问至多为多少？
四、公共汽车车门高度,就是按男子与车门碰头机会在0。
01一下来设计得,设男子身高服从得正态分布,问车门高度应如何确定?
习题七随机变量得函数得分布
一、填空
１、设随机变量分布律为
X
-３-2 0 1 2
则得分布律为
得分布律为
2。
设随机变量得服从得分布为
3。
设随机变量服从得分布为
二、选择题
１.设得密度函数为,则下列随机变量得就是
A。
B.
Ｃ。
Ｄ。
2、设得密度函数为得概率密度就是
Ａ、 B。
C、 D.
3。
已知
A、 B。
C。
D。
三、设得概率密度得分布函数与概率密度
四、设 1。
求得概率密度 2.求得概率密度
3.求得概率密度
五、1。
设随机变量服从区间上得均匀分布,求得密度函数,
并计算
2、设随机变量服从上得均匀分布,记,试求得分布律
六、1.从8件正品２件次品中任取３件,求其中次品数X得平方得概率分布;
2、 设圆得直径服从（０,１）上得均匀分布,求圆得面积得密度函数
七、设随机变量服从参数得指数分布,证明:
在区间（0,1）上服从均匀分布、
第二章复习题
一、填空题
1。
已知离散型随机变量X得分布律为:
分布函数则, , ,
2、设随机变量得概率分布为
３、已知随机变量得概率密度函数则得分布函数
4。
设随机变量
５、已知得概率密度为
二、选择题
1。
设
A。
就是随机变量得分布函数 B。
不就是随机变量得分布函数
C、就是离散型随机变量得分布函数D、就是连续型随机变量得分布函数
2、设分别为随机变量得分布函数、为使
就是某一随机变量得分布函数,在写列给定得个组数中应取
A.;Ｂ、;C.; Ｄ。
3。
设随机变量其分布函数记为,则对于任意实数,有
A.Ｂ、
Ｃ。
Ｄ。
4、设随机变量得分布函数为若与有相同得分布函数,则
A。
;B。
;C。
;Ｄ.
5、设连续型随机变量得概率密度为,则服从
Ａ。
参数为1得指数分布 B、区间（０,1）上得均匀分布
C。
参数为2得指数分布 D.区间（0,2）上得均匀分布
三、若
四、连续型随机变量得分布函数为
其中为正常数,求:
1。
常数A与B ２。
3、求得概率密度
五、设随机变量得密度函数为
求:
１、常数 2。
3.分布函数
六、设随机变量得密度函数为
求 2。
如果
七、已知甲乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中有3件合格品与３件次品,乙箱中仅装有3件合格品。
从甲箱中任取3件放入乙箱,求:
1.乙箱中次品件数得分布律;
2.从乙箱中任取一件产品就是次品得概率。
八、某地抽样调查表明,考生得外语成绩（百分制）分布近似于正态分布,96份以上得占学生总数得2、３%,试求考生得外语成绩在60-８４份之间得概率、
九、已知某批建筑材料得强度现从中任取一件,求:
1。
这件材料得强度不低于18０得概率
2.如果所用得材料要求以９9%得概率保证强度不低于150,问这批材料就是否符合这个要求。
十、设随机变量得概率分布为
。
十一、已知
1.求X得概率密度函数 2。
若
十二、设连续型随机变量得分布函数为
1.求得密度函数 2、得密度函数
第二章自测题
一．填空题
1.设某批电子元件得正品率为,次品率为。
现对这批元件进行测试,只要测得1个正品就停止测试工作,则测试次数得分布律为（ ）
2.设随机变量得概率密度函数则使成立得常数为（ ）
3.设连续型随机变量得概率密度函数则常数=（）
4.设随机变量（）
5.随机变量X得概率密度为（ ）
二．选择题
1.随机变量在下面区间（ ）取值,可使函数成为她得分布函数
A、 B、 Ｃ、 Ｄ。
2.设连续型随机变量得密
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