中考数学专题讲座 应用性问题.docx

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中考数学专题讲座应用性问题

中考数学专题讲座应用性问题

概述：

学习数学的目的在于应用，应用性问题已成为近年中考的热点，在解决这类问题时，要认真理解题意，将问题转化为纯数学问题，用所学数学知识进行解答，在解答过程中要考虑其合理性．

典型例题精析

例1．在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数5分（次/分）是这个人年龄n（岁）的一次函数．

（1）根据以上信息，求在正常情况下，S关于n的函数的关系式；

（2）若一位63岁的人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为26次，问：

他是否有危险？

为什么？

根据医学上的科学研究表明，人在活动时，心跳的快慢通常和年龄相关．

在正常情况下，年龄在15岁和45岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数分别为164次/分和144次/分．

解：

（1）设S与n之间的函数关系式为S=kn+b，

由题意得

解得

∴S与n之间的函数关系是S=-

n+174．

（2）当n=63岁时，S=

×63+174=132．

现在这位老人心跳是26×6=156>132．

因此，他这时有一定的危险．

例2．教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管，课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：

（1）求出饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）（x≥2）的函数关系式；

（2）如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？

（3）按

（2）的放法，求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水？

解：

设存水量y与放水时间x的解析式为y=kx+b

把（2，17），（12，8）代入y=kx+b得

解得k=-

，b=

，

∴y=-

x+

．（2≤x≤

）

（2）由图可得每个同学接水量是0.25升，

则前22个同学需接水0.25×22=5.5升．

存水量y=18-5.5=12.5升，

∴12.5=-

x+

，∴x=7．

∴前22个同学接水共需7分钟．

（3）当x=10时，存水量y=-

×10+

=

，

用去水18-

=8.2升，

8.2÷0.25=32.8．

∴课间10分钟最多有32人及时接完水，或设课间10分钟最多有z人及时接完水，由题意可得0.25x≤8.2，z≤32.8．

例3．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总支开），当销售单位x为何值时，年获利最大？

并求这个最大值；

（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助

（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

解：

（1）设y=kx+b，它过点（60，5），（80，4），

∴

解得

∴y=-

x+8．

（2）z=yx-40y-20=（-

x+8）（x-40）-120=-

x2+10x-440，

∴当x=100元时，最大年获利为60万元．

（3）令z=40，得4=-

x2+10x-440，整理得：

x2-200x+9600=0，

解得：

x1=80，x2=120．

由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间，又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．

中考样题训练

1．据《人民日报》2007年6月11日报道，今年1～4月福州市完成工业总产值550亿元，比去年同期工业总产值增长21.46%，请估计去年同期工业总产值在（）

A．380～400（亿元）B．400～420（亿元）

C．420～440（亿元）D．440～460（亿元）

2．在地表以下不太深的地方，温度y（℃）与所处的深度x（km）之间的关系可以近似用关系式y=35x+20表示，这个关系式符合的数学类型是（）

A．正比例函数B．反比例函数C．二次函数D．一次函数

3．用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为________cm．

4．如图，某燃料公司的院内堆放着10个外径为1米的空油桶，为了防雨，需搭建简易雨棚，这个防雨棚的高度最低应为_______米（

取1.73，结果精确到0.1米）．

5．如图，一把纸折扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为17cm，则贴纸部分的面积为_______cm2（结果用

表示）．

6．为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人，（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人），准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：

购买服装的套数

1~45套

46~90套

91套以上

每套服装的价格

60元

50元

40元

如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．

（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？

（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？

（3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装的方案．

7．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现：

当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为y（元）

（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；

（2）求y与x之间的二次函数关系式；

（3）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？

此时应该出租多少套机械设备？

请你简要说明理由？

（4）请把

（2）中所求出的二次函数配方成y=a（x+

）2+

的形式，并据此说明：

当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？

最大月收益是多少？

考前热身训练

1．某商品原价100元，现有4种调价方案，其中0

（A）先涨价m%，再降价n%

（B）先涨价n%，再降价m%

（C）先涨价

%，再降价

%

（D）先涨价

%，再降价

%

2．某商品标价1375元，按标价的80%售出仍可获利10%，则该商品的进价是____元．

3．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：

甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．

（1）某商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场进货方案；

（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售的获利最多，你选择哪种进货方案？

4．某校组织360名师生去参观三峡工程建设，如果租用甲种客车若干辆刚好坐满；如果租用乙种客车可少租1辆且余40个空位．

（1）已知甲种客车比乙种客车少20个座位，求甲、乙两种客车各有多少个座位？

（2）已知甲种客车租金是每辆400元，乙种客车租金是每辆480元，这次参观同时租用这两种客车，其中甲种客车比乙种客车少租1辆，所用租金比单独租用任何一种客车要节省，按这种方案需用租金多少元？

5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB长应为多少m？

（3）能围面积比45m2更大的花圃吗？

如果能，请求出最大的面积，并说明围法；如不能，请说明理由．

答案:

中考样题训练

1．D2．D3．

4．3．65．

6．解略．

7．

（1）未租出的设备为

套，所有未租出设备的支出费用为（2x-540）元；

（2）y=（40-

）x-（2x-540）=-

x2+65x+540，

∴y=-

x2+65x+540．

（说明：

此处不要求写出x的取值范围）

（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；

当月租金为350元，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套．

因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场的占有率，应该选择出租37套；

（4）y=-

x2+65x+540=y-

（x2-2×325x+3252）+540+

×3252

=-

（x-3252）+11102.5

∴当x=325时，y有最大值11102.5，但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34（套）或35（套），即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．

考前热身训练

1．（A）2．1000元

3．

（1）分情况计算比较．①设购甲种电视机x台，乙种电视机y台，则

解之得x=25，y=25

②设甲种电视机购x台，丙种电视机购z台，则

解得x=35，z=15

③设购乙种电视机y台，丙种电视机z台，则

解之得y=87.5，z=-37.5（舍去）

故应选①、②方案．

（2）①当购甲种25台，乙种25台时，获得：

150×25+200×25=8750元；

②当购甲种35台，丙种15台时，获利：

150×35+250×15=9000元．

故应选第②种方案．

4．

（1）设甲种客车有x个座位，则乙种客车有（x+20）个座位，依题意，

+1解之得x1=60，x2=-120（舍）

（2）设租用甲种客车y辆，则租用乙种客车（y+1）辆，由于单独租用甲种客车需6辆，单独租用乙种客车需5辆，租金都是2400元，所以得

400y+480（y+1）<2400，y<

，∴y=1或2．

当y=1时，y+1=2，则60×1+80×2=220<360（舍）．

当y=1时，y+1=3，则60×2+80×3=360．

此时，租金为400×2+480×3=2240（元）．

5．

（1）设宽AB为x米，则BC为（24-3x）米．

这时面积S=x（24-3x）=-3x2+24x．

（2）由条件-3x2+24x=45，

化为x2-8x+15=0，解得x1=5，x2=3．

∵0<24-3x≤10得

≤x<8，

∴x2不合，AB=5，即花圃的宽AB为5米．

（3）S=-3x2+24x=-3（x2-8x）=-3（x-4）2+48，

∵

≤x<8，当∴x=

时，S有最大值

48-3（

-4）2=46

（米2）

能，围法：

24-3×

=10，花圃的长为10米，宽为4

米，这时有最大面积46

平方米．