人教八上数学11章全等三角形 导学案.docx

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人教八上数学11章全等三角形导学案

第十一章全等三角形11.1全等三角形

学习目标：

1.了解全等形及全等三角形的概念并理解全等三角形的性质，提高观察图形的能力。

2.通过自主学习、合作探究，学会找全等三角形的对应边和对应角的方法以及利用全等三角形的性质进行一些简单的推理与计算。

3.全力以赴，激情投入，享受成功学习的快乐，体会教学图形的直观美。

学习重点：

探究全等三角形的性质。

学习难点：

掌握找两个全等三角形的对应边、对应角的方法。

【预习案】学法指导：

1.用10分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，进行知识梳理，勾画出课本上的重要知识及概念；2.完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，然后再读教材或查阅资料，解决问题；3.将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑惑”处。

二.旧知回顾我们已经学过了三角形的哪些知识？

三.教材助读

1.阅读课本上面的“思考”，并通过剪裁纸板，观察照图形裁下来的纸板与三角板以及同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片放在一起是否完全重合，从而得出什么叫全等形，什么叫全等三角形。

2.阅读课本上面的“思考”，一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形是否全等呢？

3.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做______________.重合的边叫做_____________.全等用_____________表示，读作________________.

4.阅读课本上面的“思考”，会得到全等三角形的_____________相等，_____________相等。

四.信息链接数学符号的相关知识

等号“=”，最初是1540年由英国牛津大学教授列考尔德开始使用。

十六世纪法国数学家维叶特用’=”表示两个量的差别。

1591年法国数学家韦达在其著作中大量使用“=”后，它才逐渐为人们所接受。

十七世纪德国莱布尼茨广泛使用“=”，他还创用了相似符号“∽”和全等符号“≌”，在几何学中被广泛使用.数学符号的功能是什么呢?

英国学者R.斯坎普开列了如下“菜单”——数学符号的十种功能：

（1）传递;

（2）记录知识；（3）形成新的概念；（4）简化复杂纷繁的分类系统；（5）解释；（6）使反思活动成为可能；（7）揭示结构；（8）使操作程序自动化；（9）信息的恢复与理解；（10）进行创造性的思考。

五．预习自测

1.判断：

（1）两个全等形一定能够重合。

（）

（2）两个图形全等，所有对应元素都相等。

（）

（3）两个三角形全等，对应边所对的角一定是对应角，两条对应边所夹的角一定是对应角，对应角所对的边也是对应边。

（）

2.如图1，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点，如果AB=6cm，BD=5cm，AD=7cm，那么BC的长为（）

A.5cmB.7cm

C.6cmD.无法确定

我的疑惑：

请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。

探究案质疑探究----质疑解疑、合作探究

一．基础知识探究探究点一全等三角形的有关概念

问题1：

同一张底片洗出的同大小照片是否能够完全重合（如图）；

问题2.将三角板按在纸上，沿外框画出两个三角形，把这两个三角形裁下来后放在一起，观察它们能否重合。

归纳总结：

探究点二全等三角形的性质

问题1：

如图4所示，△ABC沿BC所在直线向右平移线段BC长的距离后与△ECD重合，那么△ABC≌____________.

问题2：

根据平移方向，请你找出对应边、对应角。

问题3：

由平移你发现这两个三角形的对应边、对应角有什么数量关系？

归纳总结：

二.知识综合应用探究

探究点一对应角、对应边的确定（重难点）

【例1】在图5

（1）中，△ABC≌△BAD则AB=（），AC=（），BC=（）。

在图5

（2）中，△ABO≌△DCO则∠A=（），∠B=（），∠AOB=（）。

在图5（3）中，△ABE≌△ACD，则∠BAE=（）,∠B=（）,∠AEB=（）。

思考：

已知两个三角形全等，怎样确定对应角、对应边？

拓展提升如图6所示，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，则AD的长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.以上都不对

规律方法总结：

确定对应边、对应角方法如下：

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

另外，公公边往往是对应边，公公角往往是对应角，对顶角往往是对应角。

探究点二利用全等三角形的性质求角与边（重难点）

【例2】如图7所示，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角。

△EFG中，FG是最长边。

△NMH中，MH是最长边。

EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm。

（1）写出其他对应边及对应角；

（2）求线段NM及线段HG的长度。

思考1：

已知EF的长度，怎样求出NM的长度？

应用的是什么知识？

思考2：

在求HG的长度时，能否用全等三角形对应边相等来求？

为什么？

那我们能否将其转化成对应边和已知边的和或差？

怎样转化？

规律方法总结：

求线段长以及角的方法：

可转化为利用三角形全等，对应角、对应边相等求解。

三．我的知识网络图----归纳总结、串联整合

定义__________能够完全重合的两个图形叫做全等形。

定义________________

全

等表示方法:

△ABC△DEF

形全等________

三角形基本概念_________

__________

_________

性质

______________

四.当堂检测----有效训练、反馈矫正

1.下列说法正确的有（）①用一张底片冲洗出来的5张1寸照片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的等边三角形是全等三角形；④全等形的面积一定相等。

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图8所示，△ABC≌△CDA，且AB=CD，那么下列结论错误的是（）

A.∠1=∠2

B.∠BAC=∠DCA

C.∠D=∠B

D.AC=BC

训练案标★号的是中等难度的题目，标★★号的是难度较大的题目，标有

符号的为能力题。

一、基础巩固题——把简单的事做好就叫不简单！

1.如图10，△ABD≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=8，则BC=_______，CD=________。

2.

（1）在图11①中，△ABC≌△DEF，则AB=________，∠C=________；

（2）在图11②中，△ABC≌△ADE，则AC=_________，∠ABC=_________；

（3）在图11③中，△ABC≌△EDF，则BC=_________，∠A=___________；

（4）在图11④中，△ABC≌△CDA，则AB=_________，BC=________，∠B=_______.

二、综合应用题——挑战高手，我能行！

3.[★]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADC=∠AEB，∠B=∠C，指出这两个三角形中其他的对应角和对应边。

三、拓展研究题——战胜自我，成就自我！

4.[★★]已知△ABC≌△DEF，且∠A=50°，∠B=30°，ED=10cm，求∠F的度数与AB的长。

5.如图：

Rt△ABC中，∠A=90°，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数。

11.2▶三角形全等的判定第1课时边边边

学习目标：

1.牢固掌握用“边边边”证明三角形全等的方法，提高逻辑推理的能力。

2.通过动手操作、自主合作探究，学会用“边边边”证明三角形全等。

3.激情投入，享受成功学习的快乐，感受数学逻辑推理的严谨性。

学习重点：

应用“边边边”证明三角形全等。

学习难点：

寻求三角形全等的条件。

预习案一．学法指导：

1.用10分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，掌握“边边边”证三角形全等及探究过程；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3.将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑惑”处。

二.旧知回顾

1.如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边__________，对应角____________。

2.如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=_________，_________=B′C′，CA=_______,∠_______=∠A′,∠__________=∠___________,∠C=∠________这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′。

三.教材助读

1.说明两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？

2.阅读课本探究1，想一想如果满足上述六个条件中的一个，是否能保证两个三角形全等呢？

如果满足上述六个条件中的两个呢？

3.阅读课本探究2，动手操作后，你发现三边对应相等的两个三角形全等吗？

4.如何去作一个角等于已知角？

依据是什么？

四.预习自测1.判断：

（1）有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等。

（）

（2）两条边对应相等的两个三角形不一定全等。

（）

（3）一个角及对边对应相等的两个三角形不一定全等。

（）

（4）一个角和其一条邻边对应相等的两个三角形不一定全等。

（）

2.（易错题）如图1，已知AB=CD,AF=DE,CF=BE,∠AFB=40°,∠D=120°,则∠ABF=_______。

3.如图2，AB=AD,BC=DC,求证：

△ABC≌△ADC。

我的疑惑：

请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。

探究案.质疑探究——质疑解疑、合作探究

一．基础知识探究探究点一：

探索两个三角形全等需要的条件

问题1：

只给一条确定的边，自己画出几个三角形，这些三角形是不是全等的？

问题2：

只给一个确定的角，自己画出几个三角形，这些三角形是不是全等的?

归纳总结：

问题3：

只给两个对应相等的条件，有哪几种情况？

问题4：

自己画几个三角形并满足条件：

三角形一内角为30°，一条边对应相等，这些三角形是否全等？

问题5：

自己画几个三角形并满足条件：

三角形两内角分别为30°和50°。

这些三角形是否全等？

问题6：

自己画几个三角形并满足条件：

三角形两条边对应相等。

这些三角形是否全等？

归纳总结：

问题7：

给出三个对应相等的条件，有哪几种情况？

问题8：

若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等吗？

可以怎么验证？

归纳总结：

探究点二：

作一个角等于已知角的方法

问题1：

怎样做一个角等于已知角？

问题2：

想一想，为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？

问题3：

这种只用无刻度的直尺和圆规作图的方法称为什么呢？

归纳总结：

二．知识综合应用探究

探究点：

证明三角形全等（重难点）

【例】如图，已知点B是AC的中点，BE=BF,AE=CF,那么△ABE与△CBF全等吗？

为什么？

规律方法总结：

1.说明三角形全等书写步骤:

写出在哪两个三角形中，摆出条件，写出全等结论。

2.证明角对应相等的方法：

可先证明角所在的三角形全等（利用SSS），再利用全等三角形对应角相等即可证明。

拓展提升：

如图4，已知AC=FE,BC=DE，点A,D,B,F,在一条直线上，AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

规律方法总结：

三.我的知识网络图——归纳总结、串联整合

三角形全等判定方法___SSS

注意事项

有一组、两组对应相等充分挖掘隐含条

的条件的两个三角形件：

公共边、中点、

全等边部分重合等

四.当堂检测——有效训练、反馈矫正

1.已知△ABC的三边长分别为3,5,7，△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1，若这两个三角形全等，则x为（）

A.7/3B.4C.3D.不能确定

2.（2010，潍坊模拟）如图5，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,BD=CE,求证：

∠BAD=∠CAE。

3.如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面说明ΔABC≌ΔDEF的过程和理由补充完整。

解：

∵BE=CF（_____________）

∴BE+EC=CF+EC

即BC=EF

在ΔABC和ΔDEF中

AB=________（________________）

__________=DF（_______________）

BC=__________

∴ΔABC≌ΔDEF（_____________）

训练案一、基础巩固题——把简单的事做好就叫不简单！

1.如图6，已知AB=AC,BD=CD,BH=CH,图中有几组全等的三角形？

它们全等的条件分别是什么？

二、综合应用题——条件高手，我能行！

2.[★]如图14，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB，求证：

（1）∠A=∠C;

（2）AB//CD。

三、拓展探究题——战胜自我，成就自我！

3.[

★★]如图8是一根刚刚架好的电线杆，要固定电线杆需先测量这根电线杆是否与地面垂直，电力工人小张将两根长度相同的粗铁丝一端同时系在电线杆上的A处，另一端分别落到电线杆的西侧的一点B，东侧的一点C（使电线杆底部D与B，C在同一条直线上），测得B,C到电线杆底部D的距离相等，即判断此电线杆与地面垂直，然后在地面上的B,C处打两个钢筋混凝土桩将电线杆固定，你知道其中的道理吗？

第2课时边角边

学习目标：

1.牢固掌握用“边角边”证明三角形全等的方法，提高逻辑推理能力.

2.通过动手操作、自主合作探究，学会用“边角边”证明三角形全等。

3.激情投入，享受成功学习的快乐，感受数学逻辑推理的严谨性。

学习重点：

应用“边角边”证明三角形全等。

学习难点：

寻求三角形全等的条件。

预习案

一．学法指导：

1.用10分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，完成教材助读设置的问题；2.通过完成预习自测，理解“SAS”是指两个三角形全等的条件是两边及它们的夹角对应相等，注意两边夹角与两边中的任一边的对角的区别，书写时把夹角相等写在中间；3.将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑惑”处。

二.旧知回顾

1.有一组或两组内角（或边）对应相等，这两个三角形全等吗？

2.我们已学过的证明两个三角形全等的方法有哪些？

三.教材助读

1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？

2.两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？

3.有两边和一角对应相等的两个三角形是否全等？

四.预习自测

1.如图1，AD//BC,AD=CB,要用“边角边”证明△CDA≌△ABC，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD=CB（已知），二是_______________，还需要一个条件为__________，利用________________可以证得这个条件。

2.如图2，已知AB=AD,∠ACB=∠ACD,那么△ABC≌△ADC成立吗？

为什么？

我的疑惑：

请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。

探究案质疑探究——质疑解疑、合作探究

一．基础知识探究探究点：

三角形全等的条件

问题1：

先任意画一个△ABC，怎样画出△A′B′C′，使A′B′=AB,A′C′=AC,∠A′=∠A?

问题2：

把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，你会发现什么？

由此得到什么结论?

问题3：

先任意画一个△ABC（∠B＜90°）,怎样画△A′B′C′，使A′B′=AB,A′C′=AC,

∠B′=∠B?

问题4：

把画好的三角形剪下来，放到△ABC上，你会发现什么？

由此得到什么结论？

归纳总结

二．知识综合应用探究探究点一：

证明三角形全等（重难点）

【例1】如图3，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证：

△ABD≌△ACE.

思考1：

我们已学习了证明三角形全等的哪些方法？

思考2：

本题已知中有几组对应相等的条件？

要证明那两个三角形全等还需要什么条件？

思考3：

已知∠BAC=∠DAE,能否证明∠BAD=∠CAE？

规律方法总结:

【例2】如图4，AO=DO,EO=FO,BE=CF,且B,E,O,F,C在同一条直线上，求证△AOE≌△DOF,△ABE≌△DCF.

思考1：

在△AOE与△DOF中，已知对应相等的量有几组？

观察图4，能否发现图4中还有一个隐含的条件？

思考2：

△ABE和△DCF中有哪些对应量相等？

怎么得到的？

怎样证明∠AEB=∠DFC?

探究点二：

三角形全等在实际中的应用（重难点）

例3．如图，有—池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?

规律方法总结

三.我的知识网络图——归纳总结、串联整合

_________________

三角形全等的条件

___________________（注意：

两边和其中一边的对角对应相等，________

保证两个三角形全等）

四.当堂检测——有效训练、反馈矫正

1.如图6，AD=AE,BD=CE,BE、CD交于点O,∠A=45°,∠B=35°,则∠COE等于_____________.

2.在图7中，已知B,E,F,C在同一条直线上，若AE=DF,BE=CF.

（1）请你添加一个条件，使△ABE≌△DCF，你添加的条件是____________________；

（2）添加了条件后，证明△ABE≌△DCF.

训练案

一、基础巩固题——把简单的事做好就叫不简单！

1.如图8，AD//BC,AD=CB,那么AB与CD平行吗？

请说明理由。

2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．

求证：

△ABD≌△ACE．

二、综合应用题——挑战高手，我能行！

3.[★]公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图10所示，其中AB//CD，在AB,BC,CD三段路旁各有一个小石凳E,M,F,且BE=CF,M为BC的中点，三个石凳E,M,F恰好在一天直线上吗？

三、拓展探究题——战胜自我，成就自我！

4[

★★]如图12，A,D,C,B在同一条直线上，AD=BC,AE=BF,CE=DF,求证：

（1）DF//CE；

（2）DE=CF.

第3课时角边角、角角边

学习目标：

1.掌握用“角边角”“角角边”判定三角形全等的方法，提高逻辑推理能力。

2.通过动手实践、合作探究，学会证明三角形全等的方法。

3.激情投入，享受成功学习的快乐，体会教学严谨推理美。

学习重点：

应用“角边角”和“角角边”证明三角形全等。

学习难点：

利用三角形全等证明线段相等或角相等。

预习案

一．学法指导：

1.用10分钟左右的时间，阅读探究课本的基础知识，进行知识梳理，掌握角边角、角角边的内容，能进行简单的推理；2.完成教材助读设置的问题，依据发现的问题，然后再读教材或查阅资料，解决问题；3.将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面“我的疑惑”处。

二.旧知回顾判断：

1.两边及其夹角对应相等，两个三角形全等。

（）

2.两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形全等。

（）

3.两边和一角对应相等，两个三角形全等。

（）

三.教材助读

1.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成_________或_________）；两个角和其中一个角的对边对应相等两个三角形全等（可以简写成___________或_________）.

2.三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4㎝，你能画几个三角形同时满足这些条件？

请将你画的几个三角形剪下，观察它们是不是全等？

3.三角对应相等的两个三角形全等吗4.证明三角形全等有哪几种方法？

四.预习自测

1.判断：

（1）全等三角形的三个角对应相等，反之也成立。

（）

（2）有两个角及一条边对应相等的两个三角形全等。

（）

2.图中的两个三角形全等吗？

请说明理由。

3.（易错题）如图所示，∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90°，AC是△ABC和△ACD的公共边，所以就可以判定△ABC≌△ACD。

你认为正确吗？

为什么？

我的疑惑：

请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。

探究案质疑探究——质疑解疑、合作探究

一．基础知识探究

探究点：

三角形全等的条件

问题1：

两三角形中已知两角及一边对应相等有几种情况？

问题2：

我们随意画一个△ABC，你能不能作一个△A′B′C′,使∠A′=∠A,∠B′=∠B,A′B′=AB呢？

怎样作呢？

问题3：

把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，你会发现什么?

由此得到什么结论？

归纳总结：

问题4:

若两角和其中一角的对边对应相等，则这两个三角形全等吗？

你能不能证明？

怎样证明？

此证明的已知、求证分别是什么？

归纳总结：

二．知识综合应用探究

探究点：

证明三角形全等或线段相等（难点）

【例1】如图所示，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC//DE,AC=CE,∠ACD=∠B。

求证：

AB=CD

思考1：

能否通过证明三角形全等证明AB=CD？

思考2：

在△ABC和∠CDE中，条件中只有AC=CE，要证明全等还需要再找两个条件，如何找到所缺的条件？

【例2】已知：

如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，

求证：

AD=AE。

思考1：

证明AD=AE，可以找AD,AE所在的三角形并证明两个三角形全等，它们分别在哪两个三角形中？

思考2:

此题已知条件中，对应相等的已有一组角与一组边，观察图4，还有没有公共角或公共边这样的条件？

拓展提升：

例2中的条件不变，求证：

OD=OE。

思考1：

观察图4，能否找到OD和OE所在的三角形？

思考2：

证△BOD≌△COE已具备哪些已知条件？

还需什么条件？

规律方法总结

3.我的知识网络图——归纳总结、串联整合

_________________

__________________

三角形全等条件__________________

__________________

__________________

四.当堂检测——有效训练、反馈矫正

1.下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）

A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D

B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DE

C.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F

D.∠A=∠D,∠B=∠E,AB=DE

2.已知：

如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，要判定△ABD≌△ACD。

（1）根据SAS还需添加一个条件_________________；

（2）根据ASA还需添加一个条件_________________；

（3）根据AAS还需添加一个条件_________________。

3.（2010.湖北十堰）如图2所示，在△ABC中，AB=AC,B