极值点偏移问题对数不等式法 专题.docx

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极值点偏移问题对数不等式法专题

极值点偏移问题--对数不等式法

我们熟知平均值不等式：

第2关：

参数范围问题—常见解题6法

求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．

一、确定“主元”思想

常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．

例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．

分析：

习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+（p-4）x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．

解：

设f（p）=（x-1）p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．

由题设知当0时f（p）>0恒成立，∴f（0）>0,f（4）>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，

解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．

二、分离变量

对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例2．若对于任意角总有成立，求的范围．

分析与解：

此式是可分离变量型，由原不等式得，

又，则原不等式等价变形为恒成立．

根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为

即时，有最小值为0，故．

评析：

一般地,分离变量后有下列几种情形：

①f（x）≥g（k）[f（x）]min≥g（k）

②f（x）>g（k）g（k）<[f（x）]min

③f（x）≤g（k）[f（x）]max≤g（k）

④f（x）

三、数形结合

对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．

例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．

分析与解：

若设函数，则，其图象为上半圆．

设函数，其图象为直线．

在同一坐标系内作出函数图象如图，

依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．

四、分类讨论

当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

例4．当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

解：

（1）当时，由题设知恒成立，即，而∴解得

（2）当时，由题设知恒成立，即，而∴解得．∴a的取值范围是．

五、利用判别式

当问题可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解．

例5．不等式，对一切恒成立，求实数的取值范围.

解：

∵在R上恒成立，

∴

，R

∴，解得

故实数的取值范围是.

一般地二次函数f（x）=ax2+bx+c恒正，f（x）=ax2+bx+c恒负.

六、构造函数

构造出函数，通过对函数性质的研究，来达到解决问题的目的．

例6．已知不等式对于一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围．

分析：

注意到不等式仅仅左边是与有关的式子，从函数的观点看，左边是关于的函数，要使原不等式成立，即要求这个函数的最小值大于右式．如何求这个函数的最小值呢？

这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手．

解：

设,N

∴是关于N的递增函数，则=.

∴要使不等式成立，只须，解之得.

∴实数的取值范围是．

以上介绍了求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种或两种以上的方法，应灵活处理．

即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”

等号成立的条件是.

我们还可以引入另一个平均值：

对数平均值：

那么上述平均值不等式可变为：

对数平均值不等式

，

以下简单给出证明：

不妨设，设，则原不等式变为：

以下只要证明上述函数不等式即可.

以下我们来看看对数不等式的作用.

题目1：

（优质真题长春四模题）已知函数有两个零点，则下列说法错误的是

A.B.C.D.有极小值点，且

【答案】C

【解析】函数导函数：

有极值点，而极值，，A正确.

有两个零点：

，，即：

①

②

①-②得：

根据对数平均值不等式：

，而，B正确，C错误

而①+②得：

，即D成立.

题目2：

（优质真题辽宁理）已知函数.

若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：

【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：

设，，，则，

①

②

①-②得：

，化简得：

③

而根据对数平均值不等式：

③等式代换到上述不等式

④

根据：

（由③得出）∴④式变为：

∵，∴，∴在函数单减区间中，即：

题目3：

（优质真题天津理）已知函数.如果，且.

证明：

.

【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：

设，则，，两边取对数

①

②

①-②得：

根据对数平均值不等式

题目4：

（优质真题江苏南通市二模）设函数，其图象与轴交于两点，且.

证明：

（为函数的导函数）.

【解析】根据题意：

，移项取对数得：

①

②

①-②得：

，即：

根据对数平均值不等式：

，①+②得：

根据均值不等式：

∵函数在单调递减

∴

题目5：

已知函数与直线交于两点.

求证：

【解析】由，，可得：

①，②

①-②得：

③

①+②得：

④

根据对数平均值不等式

利用③④式可得：

由题于与交于不同两点，易得出则

∴上式简化为:

∴