采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题.docx

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采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题

、内容介绍

在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。

对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。

本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，且求解一些典型问题。

、重点

1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题

1平面问题极坐标解的基本方程

学习思路：

选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。

本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。

由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。

应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解

的基本概念仍然适用于极坐标。

学习要点：

1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。

1、极坐标下的应力分量

为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体

ABCD，其由两个相距d，的圆柱面和互成d「的两个径向面构成，如图所示

示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，“'：

•：

=疗:

首先推导平衡微分方程的极坐标形式。

考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为二:

和二则CD面上的应力分量为

片+鲁卯％+窮dp

如果AD面上的应力分量为—和.二:

，则BC面上的应力分量为

同时，体力分量在极坐标径向'和环向-：

方向的分量分别为Fb"和Fb-:

2、极坐标平衡微分方程

设单元体的厚度为1,如图所示

考察其平衡

首先讨论径向的平衡，注意到"「[「儿一Zr]"I,可以得到

（b#+——dp）（p+dp）d^--

de）dp-d/2+Fbf>pdpd^=0

简化上式，并且略去三阶微量，则

些+丄耳宀方=0

dppdtppQ

同理，考虑微分单元体切向平衡，可得

dcrdr

（牛务dp+（坯+-^<1伊）9+<1夕）<^—$朋闵卩+

（%"+罷妙“字+“P¥叽阴呦=0

简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即

3、极坐标下的应变分量

以下推导极坐标系统的几何方程。

在极坐标系中，位移分量为u：

：

u,分别为径向位移和环向位移。

极坐标对应的应变分量为：

径向线应变二，即径向微分线段的正应变；环向线应变鳥为环向微分线段的正应变；切应变壮为径向和环向微分线段之间的直角改变量。

首先讨论线应变与位移分量的关系，分别考虑径向位移环向位移u:

u「所

引起的应变。

如果只有径向位移u:

，如图所示

借助于与直角坐标同样的推导，可以得到径向微分线段AD的线应变

如果只有环向位移u「时，径向微分线段线没有变形，如图所示

环向微分线段的相对伸长为

将上述结果相加，可以得到正应变分量

4、几何方程的极坐标表达

1du.

；

因此切应变为

;而:

角应等于

上式中表示环向微分线段AB向'方向转过的角度，即Hfi.表示径向微分线段AD向「方向转过的角度，因此，〔’uBpA点的环向位移除以该点的径向坐标6即&-'

将上述结果回代，则一点的切应变为

综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为

5、本构方程的极坐标表达

由于讨论的物体是各向同性材料的，因此极坐标系的本构方程与直角坐标的

表达形式是相同的，只要将其中的坐标x和y换成「和「就可以了。

对于平面应力问题，有

»二£仇—叫）

_—2（1+叭

$卩曹GEiw

对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数E，、分别换为

1-v2

Eie，：

1.就可以。

6、极坐标系的Laplace算符

平面问题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中为’/2I・：

i。

由于二x+；「y=二耳二「为应力不变量，因此对于极坐标问题，

仅需要将直角坐标中的Laplace算符••”转换为极坐标的形式。

dx2dy2

因为，x=「cos,y=「sin「，即「-二「"「

和分别对x和y求偏导数，可得

根据上述关系式，可得以下运算符号

3dpdd31.9

———-—+—com炉—_—sin{p—

8xftcdpBxd

z3i.3wai.e、

（cos^p——-—sm（p-—）（cos^——-—sin$——）dppd卩3pp3爭

_】d2_2sin^cos^52+sin2

C°S®gp3虚申pdpp1询pA3®沪313v-91仁

VT=+-cos^—）（sin^—+^cosp—）

oydppdtpdpp

sin^cosp3

.S2cos2（p-sm3032

=sin^COs^——-+

p3拠

cosJsin2（p8sin^cos^沪p2B®p2场

将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的

护二兰十兰二邑十——〒

&2餌dp2pdpp2歸

另外，注意到应力不变量•:

--a，因此在极坐标系下，平面问

题的由应力表达的变形协调方程变换为

7、应力函数

如果弹性体体力为零，则可以采用应力函数解法求解。

不难证明下列应力表

达式是满足平衡微分方程的

这里仃（「，）是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导数。

将上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得

显然这是极坐标形式的双调和方程。

总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。

在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式

+1白伦二_91

pp23®dpp&护

求解应力，然后通过物理方程

匂二*（吋“）

和几何方程

求解应变分量和位移分量§7.2轴对称问题的应力和相应的位移学习思路：

如果弹性体的结构几何形状、材料性质和边界条件等均对称于某一个轴时，称为轴对称结构。

轴对称结构的应力分量与「无关，称为轴对称应力。

如果位移也与「无关，称为轴对称位移问题。

本节首先根据应力分量与:

无关的条件，推导轴对称应力表达式。

这个公式有3个待定系数，仅仅根据轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。

因此讨论

轴对称位移，根据胡克定理的前两式，得到环向位移和径向位移公式，然后代入胡克定理第三式，确定待定函数。

轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应的解答。

应该注意的问题是如何确定轴对称问题。

学习要点：

1轴对称应力分量；2、轴对称位移；3、轴对称位移函数推导；4、轴对

称位移和应力表达式

考察弹性体的应力与「无关的特殊情况，如图所示。

即应力函数仅为坐标T

的函数。

这样，变形协调方程

这是欧拉方程,微分方程，有

即双调和方程成为常微分方程

如将上式展开并在等号两边乘以汛，可得

其通解为

卩（t）-At即+CJ'+Q

注意到t=In「，则方程的通解为

5（p）二并Inp+Bp2lnp+Cp+D

将上式代入应力表达式

19®

则轴对称应力分量为

u&=—=4+B（1+2Inp）+2C

上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称分布的，因此称为轴对称应力。

2、轴对称位移

现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。

对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程

厂朋_2（l+y）k

芦™』=r

可得应变分量

121

E.-一[-（1+卩）一+（3-y）B+2（1-y）BInp+2（1-r）C]

根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。

将上式代入几何方程

可得位移关系式

_[（1+v）—+Q-3p）B+20.-p）Blnp+2（L-v）C]

1Sue1A

_■；—=—[-0.+v）—-+（3-v）B+2（1-1/）3kip+2（1-v）C]ppdipEp

1du^du^

±_+-丄二0

pdpp

对上述公式的第一式

3%1rA、.

=—[（1+v）—+（1-3v）B+2（1-v）51np+2（1-V）C]3pEp

积分，可得

就厂曰-a3）—+2（LLv）BpQnp-1）+（1-3“）阳+2（1-v）Cp\+feIL

其中f（为」的任意函数。

将上式代入公式的第二式

（3-v）S+2（l-p）Bln/?

+2（l-v）C]

积分后可得

%二警£—jy（p）d^+^（p）

这里g（。

为'的任意函数。

3、轴对称位移函数推导

将径向位移

5=—["C1+"）—+2（L「v）Bp（\np-1）+（1-31/）%+2（1-v）Cp]+f{（p）也D

和环向位移

y（e）d毋+&（p）

的结果代入公式的第三式

丄W2+^（£）_£（£）+丄|了（刖厂0pdpdpp

或者写作

血…字L学屮9）如

dpJ

上式等号左边为「的函数，而右边为「的函数。

显然若使上式对所有的「和「都

成立，只有

号宦+打如）曲=F

其中F为任意常数。

以上方程第一式的通解为

g（p）=F

这里H为任意常数。

为了求出f（「），将方程的第二式对:

求一次导数，可得

其通解为「1^1

i-l.0

另外

If（罗）A

将上述公式分别代入位移表达式

◎二日—Q3）-*2Q-"）0廻Q-1）+（1-3忖）％+2（1-v）Cp\+/（P）也D

可得位移分量的表达式

4、轴对称位移和应力表达式

位移分量的表达式

饥"二—[-（1+1/）—+2（l-i/）Bz7（lnp-l）+（l-3v）Bp+2（l-y）C>7]+Jsin^+JTcos^?

中的A,B,C,H,I,K都是待定常数，其取决于边界条件和约束条件。

上述公式表明应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。

但是在轴对称应力中，假如物体的几何形状和外力，包括几何约束都是轴对称的，贝U位移也应该是轴对称的。

这时，物体内各点的环向位移均应为零，即不论「和「取什么值，都应有u=0。

因此,B=H=I=K=0。

所以，轴对称应力表达式可以简化为

而位移表达式简化为

上述公式当然也可以用于平面应变问题，只要将E，分别换为

即可

§7.3圆筒受均匀分布压力的作用

学习思路:

本节介绍典型的轴对称问题，厚壁圆筒作用均匀压力的求解。

问题的主要工作是通过边界条件确定轴对称应力公式中的待定系数。

除了厚壁圆筒作用内外压力，还分析了作用内压力的圆筒应力分布。

这个解答工程上称为拉梅（Lame）解答，是厚壁圆筒等工程问题的经典解答。

学习要点：

1、厚壁圆筒内外作用均匀压力；2、厚壁圆筒受内压力

1、厚壁圆筒内外作用均匀压力

设有圆筒或圆环，如图所示

内半径为a,外半径为b,受内压力qi及外压力q2的作用。

显然，问题的应力是轴对称的，如果不计刚体位移，贝U其位移也是轴对称的。

将轴对称应力公式

代入本问题的边界条件

求解可得

°"別兀=_?

+20=-q2

联立求解上述公式，可得

将上述所得的A，C回代轴对称应力公式

叮£+2C

叮乡+2C

可得Lame解答

2、厚壁圆筒受内压力

当外壁压力q2为零时，即圆筒仅受内壁压力的作用，则圆筒应力为

根据上述分析，容易看到径向应力小于零，为压应力；而环向应力大于零,为拉应力。

最大应力为发生在内壁的拉应力，其值为

§7.4曲梁纯弯曲学习思路：

本节介绍曲梁纯弯曲问题。

对于曲梁，其几何形状并不具有轴对称性质，但是对于纯弯曲问题，其任意横截面的内力具有轴对称性质。

因此这是一个典型的轴对称应力问题。

由于问题属于轴对称应力，但是却不是轴对称位移，因此应该注意选取的应力和位移表达式。

问题性质确定后，主要工作仍然是通过边界条件确定轴对称应力表达式的待定系数。

除了曲梁纯弯曲应力分布分析，本节还讨论了曲梁的变形和位移。

根据分析,曲梁纯弯曲的横截面是保持平面的，但是弯曲应力-「沿横截面高度按双曲线分布，这与直梁的弯曲应力是不同的。

因此，平面假设用于曲梁是不准确的。

学习要点：

1、曲梁纯弯曲边界条件；2、曲梁弯曲应力；3、曲梁纯弯曲位移与平面假设

1、曲梁纯弯曲边界条件

设有矩形截面的曲梁，如图所示

其内半径为a,外半径为b,两端受弯矩作用，设单位宽度的弯矩为

取曲率中心为坐标原点0,从梁的一端量取：

由于梁的所有径向截面上的弯矩均相同，因此可以认为各个截面的应力分

布是相同的，也就是说应力分布是轴对称的。

其应力分量满足轴对称应力公式

a-==jL+B（1+21np）+2C

Pdpp

根据边界条件可以确定待定常数A,B,Co本问题的边界条件为

将轴对称应力分量代入上述边界条件，可以得到

—+2Sliid+B+2C=0a2

+251ni+B+2C=0

b（—+2Blndz+B+2C）-a（—+2Blnb+B+2C）=0b

j41n—+B（b2In6一a'In◎）+C（b2-cz1）-M

2、曲梁弯曲应力

上述公式

—+2Bliid+S+2C*=0a2

+2Plni+B+2C=0

A（—+2B111tz+B+2C）-a（齐+2Blnb+B+2C）=0

/In—+B（b2In6-de2Ina）+C（62-cz2）-M

的第三式是第-

得到

」，第二式线性组合的必然结果。

将其余三个方程联立求解。

可以

A=—^2ln-

E—（b◎）

C=-—[b2-a2^2（b2lnb-a2lna）]

其中

N=@2—/乎+4护沪⑹｝

将上述系数代入应力分量表达式，不难看出

1d偽

（T=—:

'PAp

=_+B（l+21n/7）+2C

=-_+Bp+2hp）+2C

则

AM，a2b2,b,bav

Np2app

4Af（0绐'1b,2121l22\

Npapp

上述应力分量表达式称为克洛文解应力分布如图所示

弯曲虑力挤圧虑力

在内边界，即'=a,弯曲应力二「最大。

中性轴，即二=0处，在靠近内边界一侧。

挤压应力；二的最大值较中性轴更靠近内边界一侧。

3、曲梁纯弯曲位移与平面假设

对于曲梁的弯曲位移，可将系数A,B,C代入轴对称应力的位移表达式

u二—[-（1+y）—+2（1-/?

^1）+（1-3/）3/?

+2（1-7）Q?

]+TsinEP

二4?

^+Hp-hin甲+Kcos钗

而其余待定常数H，K，I将由梁的约束条件来确定假设

1Qu

和c''，.厂"1

即认为P点的位移为零，而且该点的径向微分线段沿「方向的转角也为零,如图所示

将轴对称位移据表达式代入上述位移边界条件，则

H二I二0

K二壬[Q3）—-2（l「p）0Q°ln必+5（1+y）pv~2C（l-v）^]EA

将上述待定系数回代轴对称应力的位移表达式

u=—[-（L+甘）_+2Q-v）S/7（ln/?

-1）+（1-3^）B/7+2（1-v）Cp}+Tsiii+iTcospEp

则可得曲梁的位移。

以下讨论平面截面的假设，为此考虑曲梁的环向位移

曲梁横截面上的任一径向微分线段的转角:

为

对于曲梁的任一横截面，:

为常数，因此横截面上的所有微分线段的转角:

均相等。

这也就是说，曲梁的横截面保持平面。

这与材料力学关于梁的弯曲变形平面假设是一致的。

但是，弯曲应力；h按双曲线分布显然与直梁的弯曲应力是不同的，而且假设径向应力二=0和疗=0，就是认为纵向纤维仅受简单的环向拉压的假设对于

曲梁是不成立的。

但是，由于平面假定的正确，所以对于曲率不大的曲梁，这个误差并不是特别显著。

因此，材料力学弯曲应力匚「的计算公式在工程中广泛应

用。

§7.5曲梁受径向集中力

学习思路：

本节讨论曲梁作用径向集中力问题。

曲梁在集中力作用下，已经不是轴对称应力问题。

对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。

对于曲梁作用径向集中力，借助于边界弯矩与应力函数的关系，找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数。

对于应力函数中的待定系数，则根据边界条件确定。

学习要点：

1、曲梁径向集中力问题的应力函数；2、边界条件；3、曲梁应力

1、曲梁径向集中力问题的应力函数

设有矩形截面的曲梁，如图所示

F作用，设其为单

其内半径为a,外半径为b,—端固定而另一端受径向力位宽度。

取曲率中心为坐标原点0,从梁的一端量取o

根据曲梁受力分析，任一横截面的内力，弯矩与si成正比。

因此根据应

力函数的性质，假设问题的应力函数也与si成正比，即

将上式代入变形协调方程

可以得到f（-）所需要满足的方程

这个方程可以转换为常系数的常微分方程，其通解为

f（p）-Ap+B—+Cp^Dplnp

将其代入应力函数表达式丿（，小山・「，则

31.

卩二（Ap"+B—+Cp+D/?

ln/?

）sin

2、边界条件

根据极坐标应力分量表达式

b二丄鱼*丄吃

*pBpp1却

现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数A,B和D。

本问题的面力边界条件为

（7,

=0,

書呻丹1~°

=0,

靂嗣尸6—°

^p|（p=O

=0,

将曲梁应力分量代入面力边界条件，可得

—=0a

2Ab--+—=0

b3b

-A（b2-<72）+B（"

3、曲梁应力

求解上述方程，可以得到

A=-—

”加皆

D=—02+h2）

其中

N=a2-b2+（a2+dJ）ta—a

将上述计算所得的待定常数代入应力分量表达式

_19pfx193pf_2丑丄-

CF+—2-（2Hq+—）sin（P

pupppp

琢一2BD.,

%==（6Ap+—+—）sm^

%pp

兽L）「（2血一马

两P

则曲梁的应力分量为

士+啤㈣炉

Ff川十方戈怙二云9厂

§7.6带圆孔平板的均匀拉伸

学习思路：

平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。

圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。

孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。

这种现象称为应力集中。

孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。

根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：

一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。

对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解。

孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。

学习要点：

1带圆孔平板拉伸问题；2、厚壁圆筒应力函数；3、应力与边界条

件；4、孔口应力。

1、带圆孔平板拉伸问题

设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为a的小圆孔。

圆孔的存在，必然对应力分布产生影响，如图所示。

孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。

这种现象称为应力集中。

孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。

随着距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。

根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。

因此

«cos^=-（l+cos2«?

）

q・

T悶疔厂一壬m2。

上述公式表明在与小圆孔同心的，半径为b的圆周上，应力可以分为两部分：

一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，其数值为’；另一部分是随「变化的法向力cos2「和切向力［'sin2「。

对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为。

由此产生的应力可用轴对称应力计算公式

计算。

则

根据面力边界条件，厚壁圆筒的应力分量也应该是2「的函数。

由应力函数与应力分量的关系可以看出，由此产生的应力可以由以下形式的应力函数求解，即

将上述应力函数表达式代入变形协调方程

可得f（。

所要满足的方程

上述方程是欧拉（Euler）方程，通过变换可成为常系数常微分方程，其通解为

炖）二亦TR+d+D

因此，将其代入公式＜Ly-'ICI-：

.，可得应力函数为

.41

例（p,®）二（Ap+Bp+C—+P）cos2^

3、应力与边界条件

因此，应力分量为

1dpfx1"心6C\4D、。

^=-^—+—^-=-（2J1^—+—）cos2^

pdppo（ppp

尺二日何二（2?

4+12B/?

J十9^）cm2缈

弹）=（2A^-6Bp2-与-当）血2钗

时PP

应力分量表达式中的待定常数A，B，C，D可用边界条件确定，本问题的面力边界条件为

将应力分量代入上述边界条件，则

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