第五章位置的确定.docx

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第五章位置的确定

第五章平面直角坐标系

本章综合解说

教学目标

1．从事对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动,经历探索图形坐标的变化与图形形状的变化之间关系的过程,进一步发展同学们的数形结合意识、形象思维能力和数学应用能力.

2．认识并能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.

3.能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置;能结合具体情景灵活运用多种方式确定物体的位置.

4.在同一直角坐标系中,感受图形变化后的坐标的变化和各点坐标变化后图形的变化.

学法建议

“图形与坐标”是“空间与图形”的四个重要组成部分之一,它是发展同学们空间观念的重要载体.作为第一、二学段“图形与位置的发展”,本章是第三学段“图形与坐标”的主体内容,不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容,而且也从坐标的角度使同学们进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵.同时,本章又是本册第六章“一次函数”的重要基础.

本章按照先一般,后特殊的编排方式,首先通过丰富多彩、形式多样的确定位置的方式,使同学们感受丰富的确定位置的现实背景;然后让同学们立足于非常实际的背景材料,比较系统的学习平面直角坐标系的有关内容;最后,通过“直角坐标中的图形”这样一个趣味性较强的话题,将图形坐标的变化与图形形状的变化之间的关系巧妙的结合在一起.

本章力图以现实的题材呈现有关内容,以有趣的、有一定挑战性的问题呈现“由点找坐标、由坐标确定点的位置、建立简单的平面直角坐标系”等活动,力图反映平面直角坐标系与现实世界的联系,通过“变化的鱼”呈现在现实生活中大量存在的图形变换,如电视屏幕上的各种画面处理等.对于确定位置的多种方式,本章通过形式多样的题材（“怪兽吃豆”“电影院找座位”“地图上确定城市的位置”等）将现实生活中常用的定位方法呈现在每个同学面前,其中既有反映极坐标思想的定位方法,也有反映直角坐标思想的定位方法

这种呈现方式，一是为了使同学们在相对轻松、有趣的活动中理解坐标思想及其由来,进一步发展同学们的合情推理能力和丰富的情感、态度（尤其是学习数学的兴趣）,二是在大量实际运用中掌握确定位置的基本方法,以及平面直角坐标系的基础知识和基本方法.

1．确定位置

教材分析

1.学习目标与要求

（1）让同学们在现实情境中感受确定物体位置的多种方式、方法.

（2）明确在生活中确定物体位置的方法,并能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置.

（3）建立在方格纸上确定位置的过程,进一步体会平面位置确定的两种主要表达方式.

（4）能反映直角坐标思想的定位方式及用反映极坐标思想的定位方式来确定点的位置.

2.新知识点全解

（1）在平面上确定物体位置的方式:

在平面上确定物体位置,一般有两种方式一般有两种方式:

①用两个数据a和b记作（a,b）,其中a表示排（或经）,b表示号（或纬）.

②用两个数据a和m,其中a表示方向的角度（方位角）,b表示物体离观测点（基点）的距离.

（2）生活中确定位置的其他方法：

例如①多层电影院确定座位位置必须有三个数据（a,b,c）,其中a表示层数,b表示排号,c表示座号,即“a层b排c号”.

②确定小区中住户的位置必须有四个数据,分别为楼号a,单元号b,层数c和住户号d,即“a楼b单元c层d号”.

③区域定位法:

绘出所在区域代号,如B3,D5等.

3.课内问题搜索

P124议一议

（1）在只有一层的电影院内,确定一个座位一般需要两个数据──一个用来确定排,一个用来确定号,如果是多层的电影院,一般还需要另外一个数据──确定位置在几层.前者实际上是平面上的确定位置,平面是二维的,自然需要两个独立的数据,而后者是空间中的确定位置,自然需要三个数据.

（2）在生活中,确定物体的位置的方法很多,如用方位角和距离确定位置,用经纬度确定位置,区域定位法……

P126议一议

（1）这种确定位置的方法属于区域定位法,在本题中“广州起义烈士陵园”在C4区,“广州火车站”在B3区.

（2）生活中利用类似方法确定位置的实例还很多,如小明住在7号楼1单元3层302号;大树A在水井B的北偏西200,距离2米处.

P128做一做

（1）图①中五角星五个顶点的位置可以表示为（4,2）,（10,2）,（11,7）,（7,10）,（3,7）

（2）图②中五枚棋子的位置可以表示为（5,1）,（11,1）,（13,7）,（9,10）,（4,5）.

（3）本题可以让学生照图指认.

P129想一想

仅用一个数据不能确定教学楼的位置.

P128做一做

其他几个位置依次是（0,0）,（1,0）,（3,2）,（3,4）,（5,4）（5,6）,（7,6）,（7,8）.

典型例题讲解

例1:

学习完“确定位置”一节后,张老师出示了一道题:

根据下列条件,能确定位置的是───.（填序号即可）

（1）座号是3排6号.

（2）某城市在东京1180,北纬390.

（3）家住发展街20号.

（4）A地距B地30千米.

（5）沉船C在海岸观测点A的北偏东400,海岸观测点B的西北方向.

[点拨]解决此类问题,其关键是紧紧抓住平面内确定平面内点的位置的条件不放,并结合生活实践,在理解的基础上去分析和判断.

解:

（1）,

（2）,（3）（5）.

在平面内,要确定一个点的位置,一般需要两个数据,这两个数据有多种表示方法,如

（1）中的╳╳排╳╳号,

（2）中在地图上确定国家或城市的经纬度,（3）中的“发展街”实质上也可看做是一个数据,（5）中由于知道船C相当于每个观测点的方位角,则可知C既在射线AC上,又在射线BC使,两条射线的交点就是沉船C的位置.而对于（4）,由于只知“A地到B地的距离为30千米”这一个数据,故无法确定B的准确位置.

跟踪练习1:

确定一个地点的位置,下列说法中正确的是（）

A.偏北200,200米B.东北方向

C.距此300米D.距此北300米

例2:

如图5-1-1所示是某学校的平面图的一部分,其中A代表音乐楼,B代表实验楼,C代表图书馆,正方形网络中每个小正方形的边长单位为1,试结合图形回答下列问题:

5

C

A

1

4

2

3

1

2

3

4

5

6

7

9

8

0

1

B

（1）若用（1,4）表示音乐楼A的位置,那么实验楼B和图书馆C的位置如何表示?

（2）图书馆C在音乐楼A的什么方向上?

它到音乐楼A的距离为多少?

实验楼B位于音乐楼A的什么方向上?

它到音乐楼A有多远?

（3）若在三座楼房之间修三条路AC、AB、BC.

（4）设东北方向为“+”,东南方向为“-“若B点相当于A点的位置记作（-450,3

）,则C点相当于A点的位置如何表示?

[点拨]解决此题的关键在于通过网格确定各点的位置以及各点之间的位置关系,特别是方位角和距离应是我们考虑的重点.

解:

（1）实验楼B用（4,1）表示;图书馆C用（5,8）表示.

（2）图书馆C在音乐楼A的东北方向（即北偏东450）,它到音乐楼A的距离为4

;实验楼B位于音乐楼的东南方向（东偏南450）,它到音乐楼A的距离为3

.

（3）由图可知:

∠CAB=900,所有,三条路AC,BC,AB的长有下列关系:

AC2+AB2=BC2.

（4）C点相当于A点的位置可记作（+450,4

）.

跟踪练习2:

如图5-1-2所示是小明家与周围地区的行走路线示意图,对小明家来说:

①北偏西450的方向上有____个地方,分别是______.

②要想确定电视台的位置,还需要___个数据.

③距小明家300米处有______.

例3:

如图5-1-3所示为一公园的平面示意图:

A为孔雀园,B为猴山,C为鹦鹉园,D为天鹅园,E为熊猫园,F为狮虎园.现在对孔雀园来说:

（1）猴山在北偏东多少度方向上?

要想确定猴山的位置,还需要什么数据?

（2）与孔雀园距离相等的有几个园?

它们是什么?

（3）要确定狮虎园的位置需要几个数据?

请借助刻度尺、量角器,说出狮虎园距鹦鹉园的位置.

[点拨]在图上我们可以看到线段与水平方向的夹角为300,但它并不代表猴山在孔雀园的北偏东300的方向上,而应在北偏东600的方向,这是因为方位角应是与铅直方向的夹角,同时要想确定猴山的位置还需知道猴山距孔雀园的距离;通过刻度尺的测量可以得到与孔雀园距离相等的园有两个;另外想要确定狮虎园的位置需要两个数据,分别是方位角和距离.

解:

（1）猴山在孔雀园的北偏东600的方向上,要想确定猴山的位置,还需要知道猴山到孔雀园的距离.

（2）与孔雀园距离相等的两个园,它们是A鹦鹉园,B熊猫园.

（3）要想确定狮虎园的位置需要两个数据,通过测量得出狮虎园在鹦鹉园的方向,距鹦鹉园2厘米.

跟踪练习3:

如图5-1-4所示是某野生动物园平面示意图,借助刻度尺,量角器解决下面的问题.

野生动物园平面图

比例尺:

1:

10000

①如果用（1,7）表示动物园的大门的位置,那么,金鱼馆、象房的位置如何表示?

（3,10）和（8,5）分别表示哪个地点的位置?

②在大门的南偏东400的方向上有什么动物展馆?

它到大门的图上距离是多少厘米?

实践距离是多少米?

③草兽馆位于大门的什么方向上?

它离大门的实际距离是多少?

用语言说出草兽馆的位置.

④分别用两种不同的方法说出虎山的位置和猴山的位置.

例4:

如图5-1-5,如果用（1,0）表示A点的位置,那么:

（1）（4,2）,（5,6）分别表示哪两个点?

（2）图中两点D、E的位置如何表示?

C

D

E

B

A

（5-1-5）

（3）若从点运动到点有这样一条中径:

（1,0）→（1,1）→（1,2）→（2,2）→（3,2）→（4,2）,你能用同样的方法写出由A点到B点的其他两条路径吗?

[点拨]因为A点的位置是（1,0）,由此可以推出A点左边的点的位置是（0,0）,那么沿着该点向右移动一格括号内的第一个数字就为1,若向上移动一格括号内的第二个数字就为1,也就是若点左右移动就变化括号内的第一个数字,若上下移动就变化括号内的第二个数字.

解:

（1）（4,2）表示B点,（5,6）表示C点.

（2）D点的位置表示为（7,4）,E点的位置表示为（8,3）.

（3）其他的两条路径表示为:

①（1,0）→（2,0）→（3,0）→（4,0）→（4,1）→（4,2）;

②（1,0）→（1,1）→（2,1）→（2,2）→（3,2）→（4,2）.

跟踪练习4:

如图5-1-6所示,是某城市公园周围街巷的示意图,A点

表示街1与街2的十字路口,B点表示3街与5街的十字路口,如果用（1,2）→（2,2）→（3,2）→（3,3）→（3,4）→（3,5）表示由A到B的一条路径,那么,你能用同样的方式写出由A到B的尽可能近的其他几条路径吗?

过关练习精选

1．选择题

（1）甲看乙的方向为北偏东300,那么乙看甲的方向是（）

A偏东600B南偏西600

C南偏东300D南偏西300

（2）某电影院是具有三层楼座位的大型电影院,小明买了一张该电影院的门票,若他想知道他在哪个位置,需从电影票上找到的相关数据的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

（3）排列做操队形时,甲乙丙的位置如图5-1-7所示,甲说,如果我的位置用（0,0）来表示,乙的位置用（2,1）表示,那么丙的位置是（）

A.（5,4）B.（4,5）C.（3,4）D.（4,3）

丙

乙

甲

（5-1-7）

2.填空题

（1）某市大约位于北纬400、东京1130,用一个有序数对表示应是____.（纬度在前）

（2）小明利用office电子表格计算（B,2）到（F,2）的和,其结果应为____.（如图5-1-8）

A

B

C

D

E

F

1

4

6

2

5

9

3

2

2

3

4

5

6

7

3

3

3

5

8

2

6

4

4

2

7

5

10

9

（5-1-8）

（3）如图5-1-9图所示,B港在离A观测站的正北海里处,一艘轮船从B港出发向东匀速航行,观测站第一次测得该船在A地的北偏东300的M处,半小时后又测得该船在A地的北偏东600的N处,则该船的速度为____

3.解答题

（1）如图5-1-10所示,在正方形网格中,

1设点的位置记作（2,7）,试写出点A、B、C、D、E、F、G、N、P、Q各点的位置.

2若正方形网格中每个小正方形的边长均为a,试判断四边形MNPQ的形状,并求出两个图形的面积.

9

8

7

6

5

3

2

1

Q

M

P

N

4

F

E

G

D

A

C

10

（5-1-10）

（2）如图5-1-11所示,是某公司一周的股票涨跌情况,试结合股市行情表回答下列问题:

①若星期一的股市记作（1,4,5）,则星期二、星期三、星期四、星期五的股市应分别记作什么？

（6，5，5）是星期几的股市行情？

②在本周内，星期几大股市行情最好？

星期几的股市行情最差？

（3）如图5-1-12所示，在东西方向大海岸线上有一海事监测站S，在监测站前方有一灯塔P，若示意图的比例尺为1：

100000，请回答下列问题：

1监测站测得灯塔P离监测站的距离为2000米，要确定灯塔P大位置还需要什么数据？

请借助刻度尺或量角器，补上这个数据,并说明灯塔P的位置.

2监测站在上午8时观察到北偏东500方向上,有一艘货轮A在向西航行,为确定这时货轮的位置,还需时什么数据?

请在示意图上借助刻度尺补上这个数据,并说出在8时该货轮所在的位置.

3在8时半监测站发现该货轮已航行到北偏西400,距观测站4000米的位置,请在图上标出这时货轮所在的位置B.

4你能否由此知道该货轮航行的速度是每小时多少千米?

请借助刻度尺试一试.

能力升华•新中考指向

1.如图所示是某高新技术开发区规划示意图,并将”开发区管理中心”健在A2区内,那么:

A

B

C

1

基因工程研究所

生化制药厂

2

开发区管理中心

3

计算机组装厂

4

电子元件厂

（1）根据图中所标分别说出:

基因工程研究所”“生化制药厂”“电子元件厂”“计算机组装厂”所在的区域.

（2）计划在A4区内建一个“软件开发公司”,请在图上相应区内标上该企业名称.

（3）文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边20m处,玩具店位于书店东边100m处,小明从书店沿街向东走了40m接着又向东走了60m,画出文具店、书店和玩具店的地理位置简图,并标出小明此时的位置.

3.（2005年常德市中考试题）如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°。

甲、乙两地间

乙

北

甲

北

同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公

路的走向是南偏西度。

4.如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是海里／时。

5．在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A’点，则A与A’的关系是（）

A、关于x轴对称B、关于y轴对称C、关于原点对称D、将A点向x轴负方向平移一个单位

答案与提示

跟踪练习

1.D

2．①2，电视台、超市②1③学校和影院

3.①金鱼馆位置为（2,5）,象房位置是（11,5）,（3,10）表示,（8,5）表示熊猫馆.②金鱼馆,约1.7m,170cm.

③草兽阁在大门的北偏东700方向上,离大门510m.

④虎山位置可表示为（10,2）或在大门的南偏东600,离大门距离630m处;猴山的位置可表示为（5,7）或在大门的正东方向240m处.

4.（1,2）→（2,2）→（2,3）→（2,4）→（2,5）→（3,5）或（1,2）→（1,3）→（2,3）→（2,4）→（2,5）→（3,5）或（1,2）→（1,3）→（1,4）→（2,4）→（2,5）→（3,5）或（1,2）→（1,3）→（1,4）→（1,5）→（2,5）→（3,5）.

过关练习精选

1.

（1）D

（2）C（3）D

2.

（1）（40,113）

（2）10

（3）40海里/时

3.

（1）①A（5,1）,B（7,2）,C（9,1）,D（9,3）,E（8,4）,F（6,4）,G（5,3）,N（4,6）,P（6,7）,Q（4,8）

②四边形MNPQ是菱形,依据是:

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.S四边形MNPQ=4a2,S七边形ABCDEFG=9a2,要注意利用割补法将不规则图形变成规则图形,每个小正方形的面积为a2.

（2）①（2,6）,（3,25）,（4,5）,（5,4）;星期六.

②星期二、星期三

解此题时要利用图像的直观性.

（3）①用量角器量得P在对于观察站S的北偏西300方向上,灯塔P的位置在监测站S的北偏西300,距监测站2000m处.

②用刻度尺量得AS长为3cm,即货轮与监测站3000m,上午8时货轮的位置是在监测站的北偏东500方向上离监测站3000m.

38时半货轮位置如图所示的B处.

4用刻度尺量得AB长为8cm,即实际距离为5000m.半小时航行5000m,因此该货轮的速度为10km/h.

能力升华•新中考指向

1.

（1）基因工程研究所在A1区,生化制药厂在C1区,电子元件厂在B4区,计算机组装厂在C3区.

（2）见图

A

B

C

1

2

软件开发公司

3

4

新材料研究开发公司

2

小明

.——•———•——————————•—

文具店书店玩具店

（4）48

4.20

5.（－2，2）

课本习题解答

P126随堂练习

先在地图上找到北纬40度的纬线,再寻找东京120度的经线,两条线的交点位置附近即可找到震源位置.

P127习题5.1

1.先确定北京等四个城市的位置,估计它们的经度.然后,按照要求,在经度或纬度上寻找符合要求的城市.

2.

（1）经二纬二在市政府旁边的十字路口.

（2）从“经四纬十二”到达“经二纬二”的路线不唯一,除从“经四纬十二”经“经四纬二”到达“经二纬二”外,还有其他的途径.

（3）“省委”位于“经十路”与“经八路”之间（图上未标出具体的“纬度”）

P130随堂练习

1.其他几条路径可以是:

（3,5）→（4,5）→（4,4）→（5,4）→（5,3）;（3,5）→（4,5）→（4,4）→（4,3）（→5,3）;（3,5）→（3,4）（→4,4）（→5,4）→（5,3）;（3,5）→（3,4）→（4,4）→（4,3）→（5,3）;（3,5）→（3,4）→（3,3）→（4,3）→（5,3）,此外,含回头或绕远走法的路径还有很多.

2.可以设计一个用“极坐标”思想的方案:

以市中心广场为观测点,用方位角、目标到中心广场的距离两个数据描述这个城市主要建筑物的位置.

P131习题5.2

1.可有多种表示方式,既可用反映极坐标思想的定位方式,又可以用反映直角坐标系思想的定位方式.此外,由于学生所选的原点不同,结果也就有所不同,这里不应要求结果的统一性,只要学生的方法合理,就应给予肯定和鼓励.

2.

（1）“将”的位置可表示为（5,2）,“帅”的位置可表示为（5,10）.

（2）其位置为（4,8）.

瞭望角

笛卡儿揭榜破题的故事

笛卡儿是法国著名哲学家、数学家、物理学家.他早年就读于拉弗莱什公学时,因孱弱多病,被允许早晨在床上读书,养成了喜欢安静、善于思考的习惯.

1617年5月,法国公爵奥伦治的军队屯住在荷兰南部的布勒达城,刚从大学毕业的笛卡儿正在这支部队从军.一天,他在街头散步,忽听人声喧嚷,不知何事,他上前探询,只见众人正围观一张榜文,议论纷纷,榜文是用荷兰文写的,他看不懂,只好请旁边一位颇有风度的学者翻译成法语.原来榜文的内容是一道几何题,他认真揣摩思索了几个小时,就破解了这道难题.如此奇迹,使那位“翻译”大吃一惊,并大加赞扬,邀请他到家中叙谈,果然话语投机,遂结为金兰之好.

这位翻译就是当地有名的多特大学的校长毕克门,他为笛卡儿的数学才华感到高兴,但又为他弃学从军感到可惜.他劝笛卡儿,既然在数学方面有如此才能,何不脱离军界,专门学习数学呢?

笛卡儿的破题成功,加上毕克门校长的评价赞扬,更加激发了他学习数学的兴趣,从而促使他改变了从军的初志,转向从军探索,并在后来的创造性工作中,将过去对立着的两个研究对象“数”和“形”统一起来,他在数学中引入“变量”,完成了数学史上一相划时代的变革,革命导师恩格斯把它称为数学的转折点,此后,人类进入变量数学阶段.

2.平面直角坐标系

材料分析

1.学习目标与要求

（1）认识并能画出平面直角坐标系

（2）能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置,由点的位置写出它的坐标.

（3）在给定的直角坐标系中点的坐标与点的位置的关系,进一步感受坐标轴上点的特点.

（4）经历画出坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,发展数形结合意识、合作交流意识.

2．新知识点全解

（1）平面直角坐标系:

在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,它们的公共原点o称为直角坐标系的原点.

在本书及以后,平面直角坐标系也简称直角坐标系.

如图5-2-1所示,在平面直角坐