高考第一轮复习数学133 函数的极限.docx
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高考第一轮复习数学133函数的极限
13.3函数的极限
●知识梳理
1.函数极限的概念：
（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.
（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a.
（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f（x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.
2.极限的四则运算法则：
如果f（x）=a,g（x）=b,那么
[f（x）±g（x）]=a±b;[f（x）·g（x）]=a·b;=（b≠0）.
特别提示
（1）上述法则对x→∞的情况仍成立；
（2）[Cf（x）]=Cf（x）（C为常数）;
（3）[f（x）]n=[f（x）]n（n∈N*）.
●点击双基
1.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:
C
2.f（x）=下列结论正确的是
A.=f（x）
B.=2，不存在
C.f（x）=0,不存在
D.f（x）≠f（x）
答案:
D
3.函数f（x）在x0处连续是f（x）在点x0处有极限的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:
A
4.（2005年西城区抽样测试）=________________.
解析:
===3.
答案:
3
5.若=2,则a=__________.
解析:
=2,
∴=2.∴a=4.
答案:
4
●典例剖析
【例1】求下列各极限：
（1）（；
（2）（－x）；
（3）；
（4）
剖析:
若f（x）在x0处连续，则应有f（x）=f（x0）,故求f（x）在连续点x0处的极限时，只需求f（x0）即可；若f（x）在x0处不连续，可通过变形，消去x－x0因式，转化成可直接求f（x0）的式子.
解:
（1）原式＝＝=－.
（2）原式==a+b.
（3）因为=1,而==－1，
≠,
所以不存在．
（4）原式=＝（cos+sin）＝.
思考讨论
数列极限与函数极限的区别与联系是什么？
【例2】
（1）设f（x）=;
（2）f（x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式.
解:
（1）f（x）=（2x+b）=b,f（x）=（1+2x）=2,
当且仅当b=2时,f（x）=f（x）,
故b=2时,原极限存在.
（2）由于f（x）是多项式,且=1,
∴可设f（x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）.
又∵=5,
即（4x2+x+a+）=5,
∴a=5,b=0,即f（x）=4x3+x2+5x.
评述:
（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.
（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.
【例3】讨论函数f（x）=·x（0≤x＜+∞）的连续性，并作出函数图象.
部析:
应先求出f（x）的解析式，再判断连续性.
解:
当0≤x＜1时，f（x）=x=x;
当x＞1时，f（x）=·x=·x=－x;
当x=1时，f（x）=0.
∴f（x）=
∵f（x）=（－x）=－1,f（x）=x=1,
∴f（x）不存在.
∴f（x）在x=1处不连续，f（x）在定义域内的其余点都连续.
图象如下图所示.
评述:
分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.
●闯关训练
夯实基础
1.已知函数f（x）是偶函数,且f（x）=a,则下列结论一定正确的是
A.f（x）=－aB.f（x）=a
C.f（x）=|a|D.f（x）=|a|
解析：
∵f（x）是偶函数,∴f（－x）=f（x）.
又f（x）=a,
f（－x）=a,f（x）=f（－x）,
∴f（－x）=f（x）=a.
答案：
B
2.（2004年全国Ⅱ，理2）等于
A.B.1C.D.
解析:
∵=.
答案:
A
3.已知函数y=f（x）在点x=x0处存在极限,且f（x）=a2－2,f（x）=2a+1,则函数y=f（x）在点x=x0处的极限是____________.
解析:
∵y=f（x）在x=x0处存在极限,
∴f（x）=f（x）,即a2－2=2a+1.∴a=－1或a=3.
∴f（x）=2a+1=－1或7.
答案:
－1或7
4.若f（x）=在点x=0处连续，则f（0）=__________________.
解析:
∵f（x）在点x=0处连续，
∴f（0）=f（x）,
f（x）=
==.
答案:
5.已知函数f（x）=，试求:
（1）f（x）的定义域，并画出图象；
（2）求f（x）、f（x）,并指出f（x）是否存在.
解:
（1）当|x|＞2时，
==－1;
当|x|＜2时，==1;
当x=2时，=0;
当x=－2时，不存在.
∴f（x）=
∴f（x）的定义域为{x|x＜－2或x=2或x＞2}.
如下图:
（2）∵f（x）=－1,f（x）=1.∴f（x）不存在.
6.设函数f（x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且f（x）=0,f（x）=－3,求出这一函数最大值.
解:
∵f（x）=ax2+bx+c是一偶函数,
∴f（－x）=f（x）,
即ax2+bx+c=ax2－bx+c.
∴b=0.∴f（x）=ax2+c.
又f（x）=ax2+c=a+c=0,f（x）=ax2+c=4a+c=－3,
∴a=－1,c=1.
∴f（x）=－x2+1.
∴f（x）max=f（0）=1.
∴f（x）的最大值为1.
培养能力
7.在一个以AB为弦的弓形中,C为的中点,自A、B分别作弧AB的切线,交于D点,设x为弦AB所对的圆心角,求.
解：
设所在圆圆心为O,则C、D、O都在AB的中垂线上,
∴∠AOD=∠BOD=.设OA=r.
S△ABC=S四边形AOBC－S△AOB=r2sin－r2sinx=r2sin（1－cos）,
S△ABD=S四边形AOBD－S△AOB=r2tan－r2sinx=r2.
∴===.
8.当a＞0时,求.
解:
原式=
=
==
=
探究创新
9.设f（x）是x的三次多项式，已知
===1.
试求的值（a为非零常数）.
解:
由于=1,可知f（2a）=0.①
同理f（4a）=0.②
由①②，可知f（x）必含有（x－2a）与（x－4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=A（x－2a）（x－4a）（x－C）.
这里A、C均为待定的常数.
由=1,即
=A（x－4a）（x－C）=1,
得A（2a－4a）（2a－C）=1,
即4a2A－2aCA=－1.③
同理，由于=1,
得A（4a－2a）（4a－C）=1,
即8a2A－2aCA=1.④
由③④得C=3a,A=,
因而f（x）=（x－2a）（x－4a）（x－3a）.
∴=（x－2a）（x－4a）
=·a·（－a）=－.
●思悟小结
1.f（x）=Af（x）=f（x）=A,
f（x）=Af（x）=f（x）=A.
2.函数f（x）在x0处连续当且仅当满足三个条件：
（1）函数f（x）在x=x0处及其附近有定义；
（2）f（x）存在；
（3）f（x）=f（x0）.
3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.
●教师下载中心
教学点睛
1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.
2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.
3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于与的区别.
拓展题例
【例1】设f（x）=问k为何值时，有f（x）存在？
解:
f（x）=2k,f（x）=1,
∴要使f（x）存在，应有2k=1.∴k=.
【例2】a为常数，若（－ax）=0,求a的值.
解:
∵（－ax）===0,
∴1－a2=0.
∴a=±1.但a=－1时，分母→0,
∴a=1.
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