上海市闵行区闵行中学学年度高三上学期期中数学试题.docx

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上海市闵行区闵行中学学年度高三上学期期中数学试题

绝密★启用前

上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中数

学试题

试卷副标题

题号

一

一

三

总分

得分

考试范围：

xxx;考试时间：

100分钟；命题人：

xxx

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

、单选题

1,函数f（x）（xR）存在反函数”是函数f（x）在R上为增函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【详解】

函数f（x）（xR）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分性不成

立；根据反函数的定义可知必要性显然成立，函数f（x）（xR）存在反函数”是函数

f（x）在R上为增函数”的必要而不充分条件，故选B.

2.设函数f（x）Asin（x）（A、、是常数，A0,0）,若f（x）在区

2

间［一,一］上具有单调性，且f

（一）f（——）f

（一）,则f（x）的最小正周期为（）

62236

A.B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据fx在一,—具有单调性，且f

62

2

-，可求出函数的对称轴,

3

再根据f—

2

f一求出函数的对称中心,6

最后根据

-,-具有单调性和相邻的

62

对称轴和对称中心的距离是T求最小正周期.

4

【详解】

一具有单调性，且

2

x关于x

7

12

对称,

T

2

7

12

故选：

A

的对称中心为

的最小正周期为

—,0，

3

本题考查根据三角函数的单调性求函数的最小正周期,

属于中档题型，意在考查数形结

合解决三角函数性质问题，正弦（型）函数既是中心对称又是轴对称图象，相邻的对称

轴间的距离是半个周期，相邻的对称轴和对称中心的距离是

4

所给特殊函数值的关系可得到对称关系，从而得到函数的最小正周期

T，那么根据单调区间和

3.已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，函数f（x）是定义在R上的单调递增的奇

函数，数列｛f（an）｝的前n项和为Sn，对于命题:

①若数列｛an｝为递增数列，则对一切nN*,Sn0;

②若对一切nN*,Sn0,则数列｛an｝为递增数列；

③若存在mN,使得Sm0,则存在kN*,使得ak0;

…

O

…

…

…

…线

…

…

…

…

O

…

…

…

…线

…

…

…

…

O

…

…

X题

X

…

O

…

…

……

X答

X

……

订…

X内

X

订…

…

X线X

…

…

O

X订XX谢

…

O

………

衣XX在X

………

…

装

X要X

…

装

……

X不X

……

…

…

O

…

X请X

…

…

O

…

…

…

…内…

…

…

…

O

…

…

…

…外

…

…

…

…

O

…

……

…

…

O

…

…

…

…线

…

…

1

……

…

…

O

…

…

…

…线

…

…

…

…

O

……

…

…

…

O

……

…

…订

……

…

号考

:

…订

……

…

O…

…

…

…

级班

O…

…

…

…

装…

…

…

…

O…

…

名姓

核学

装…

…

…

…

O…

…

……外

………

…

O

……

…

…内

…

…

…

…

O

…

…

④右存在kN,使得ak0,则存在

其中正确命题的个数为（

A.1

B.2

【解析】

【分析】

*

N，使信Sm

C.3

【详解】

①令ai

0,faif

00,Si

fai

②对一切

nN,Sn0

，则f（ai）0,

又因为

所以ai

0,若｛an｝递减,

设ak0,aki

0,且

S2ki

f（ai）f（a2）...

f（ak）f（ak

i）...

逐一分析选项，得到正确答案

f（x）是R上的单调递增的奇函数,

且ai

a2kia2a2k...2aki

0,所以ai

f（ai）

S2ki

f（a2ki）,f（a2）

f（a2k）,…，f（ak）

f（ai）f（a2）…

f（ak）f（aki）…

｛an｝递增,

故②正确;

S2fa

错误;

④因为ak

所以设

则f（a1）

则S2ki

得Sm0

故选：

B.

0;

D.4

0故①错;

f（a2k1）,

a2ki,a2

f（ak2）,

f（a2ki）

a2k,...,akak2,则

0,与题设矛盾，所以

i,d2,工

fa2f

2n

i,

Sm

0，但是an2n30，故③

0，所以aia2ki

a2

a2k2

2ak

0,

a2ki,a2a2k2,...,aki

f（a2ki）,f（a2）

f（ai）f（a2）...

本题考查函数与数列的综合问题,

aki，

f（a2k

f（ak）

2）,...,f（aki）

f（aki），

f（aki）...f（a2ki）0,则存在mN,使

属于难题，意在考查利用数列和函数的性质推理，证

明，如果比较难的存在性证明，可以举反例说明不成立

…

•••

•••

•••

•••

•••

O

…

•••

•••

•••

线

•••

•••

•••

…

O

…

…

•••

•••

线

•••

•••

•••

•••

O

…

•••

X题

X

•••

O

…

•••

•••

•••

X答

X

•••

•••

订…

X内

X

订…

•••

X线X

•••

•••

O

X订X

X牯

•••

O

…

•••

•••

衣XX在X

…

•••

•••

•••

装

X要X

•••

装

…

•••

X不X

…

•••

•••

•••

O

…

X请X

•••

•••

O

…

•••

•••

•••

内

…

•••

•••

•••

O…

•••

•••

•••

1

•••

•••

•••

外

…

•••

•••

•••

O

…

•••

•••

•••

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

二、填空题

4.不等式

【答案】

x15的解集为

6,4

【解析】

【分析】

将不等式艾为5x

15,解不等式得到结果

【详解】

x15

5

x156x4

本题正确结果：

6,4

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题.

5.实数2和8的等比中项是.

【答案】4

【解析】

所求的等比中项为：

284.

6.已知函数f（x）2x1的反函数是f1（x）,则f

【答案】3

【解析】

设f15t,则ft5

即2t15

t3

f153

故答案为：

3

7.在等差数列an中，a12,a3%10,则1

【答案】8

1（5）

【详解】

设等差数列an的公差为

贝Ua3a5a1a7

2al

6d10,

所以a710

ai102

8,故答案为8.

万）

根据诱导公式可知

sin

cos

sin

cos

故答案为:

本题考查根据诱导公式求值,

属于简单题型

9.已知函数fx为奇函数，且当x0时，fx

21

x一，则f1x

在XX要XX不XX请X

10.已知logab

1,则a4b的最小值为

首先根据指对互化,

表示为ab1,再利用基本不等式求最小值

logab1

1

b,a0,且a1,b0,

即ab1

函数f

x

的定义域是

0,,

并且函数是单调递增函数,

f1

a

fa0

f1a

fa

1

a

0

a

0

解得：

1

0a

2

1

a

a

故答案为：

0,1.2

a4b2J4ab4Vab4,

等号成立的条件是a4b,

1

又因为ab1,解得a2,b-.

2

故答案为：

4.

【点睛】

本题考查指对互化，和基本不等式求最值，意在考查转化和计算能力，属于简单题型

11.设f（x）lgx,若f（1a）f（a）0,则实数a的取值范围为.

…1

【答案】（0,-）2

【解析】

【分析】

首先判断函数的定义域和单调性，不等式等价于f1afa,利用函数性质解不

等式.

【详解】

【点睛】

本题考查根据函数的性质解抽象不等式，意在考查函数基本性质简单应用，解抽象不等

式时，需注意函数的定义域.

12.若数列｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，且满足：

a1a2019,bb20192,

a〔oo9aion.

函数f（x）sinx,则f（-一-一-一）

1bl009bl011

【答案】立

2

【解析】

【分析】

根据等差，等比数列的几何性质，可求得

a1009a1011ala2019

bl009b1011blb20192，代入求值

Qan是等差数列,

a1009a1011ala2019

Qbn是等比数列，

blb2019bl009b10112,

a1009a1011

b1009b1011

a1009a10113

ff—sin———.

1bl009bl011332

故答案为：

2f.

2

【点睛】

本题考查等差和等比数列的几何性质，意在考查基础知识的掌握水平，属于基础题型.

1,

13.已知函数f（x）sinx（x[0,]）和函数g（x）—tanx的图象交于A,B,C三点,2

则ABC的面积为.

“3

【答案】_2_

4

【解析】

【分析】

画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积^

【详解】

画出两个函数图像如下图所示,

由图可知A

y

0,0,c砥0，对于b点，由

y

sinx

1

一tanx

2

解得B3，苧，所以Sabc32

.3

花—

2

订

本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查

三角函数面积公式，属于中档题.

14.已知函数f（x）|2x1|a,若存在实数Xi、X2（XiX2）,使得f（xjf（X2）1,

则实数a的取值范围为.

【答案】1a2

【解析】

【分析】

首先令2X1a1,转化为a2X11,根据f（/）f区）1,可知转化为

y2和丫2X11的交点个数求参数的取值范围.

【详解】

当fX1,即2X1a1

即a2X11,

/X

转化为y2与丫211有两个交点，

如图，

由图象可知当1a2时图象有两个交点

故答案为：

1a2.

【点睛】

般判断函数零点个数或是根据零点个数求参数取值范围，个数.

都可以转化成两个函数的交点

15.设数列an满足a11,22.

4,a3

9,an

an1

an2an3n

4,32019

【答案】8073

【解析】

【分析】

对n分奇偶讨论求解即可

【详解】

当n为偶数时，anan1an2

an3L

a2

a1

3

当n为奇数时，anan1an2

an3L

a3

a2

5

故当n为奇数时，

an=anan1+an1an2+L+a2

a1+a1

5

n

2

-3

n1）

14n

2

3

故a20194201938073

本题考查根据函数的零点个数求参数取值范围，意在考查数形结合分析问题的能力,

故答案为8073

【点睛】

本题考查数列递推关系,

考查分析推理能力，又n分奇偶讨论发现规律是解决本题的关

键，是难题

16.函数f（x）sinx（0）的图像与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次

记为Ai,A2,A3,,An,,在点列｛An｝中存在三个不同的点Ak、A、Ap,

…

o

…

…

…

…

线

………

…

O

…

…

X题

X

……

X答

X

订…

X内

X

…

X线

X

…

O

X订

XX谢

………

衣XX在X

…

装

X要X

……

X不

X

…

…

O

…

X请

X

…

…

…内…

…

…

…

O

…

使得^AkAiAp是等腰直角三角形，将满足上述条件的

值从小到大组成的数列记为

{n},贝U2020

4039

2

nn

首先求函数与对称轴的交点，An————，1

2

，根据人AAp为等腰直角三角形,

且k1p,此等腰直角三角形斜边的高是2,底边长为4,根据交点坐标An表示底

kp4m2,mZ,最后表示

2m1—+

求值.

2

【详解】

函数fx

sin

x

0

x—n

n

Z,

2

解得x——

n

2

n

n

An

1

2

边长，再根据数形结合可知

的对称轴是

AkAAp为等腰直角三角形，且

此等腰直角三角形斜边的高是

2020

2,

1p,

底边长为4,

k4m

4m2

2,m

2m

4

220201

故答案为:

2

4039

2

4039

2

本题考查函数性质的综合运用，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,

本题的

一个关键点是根据数形结合分析出pk4m

2,mZ,从而求得m的通项公式.

17.已知无穷等比数列{an}满足：

对任意的n

N*,sinan1,则数列｛an｝公比q的

取值集合为

【答案】qq4k

1,kZ

【解析】

【分析】

根据条件先得到：

an

的表示，然后再根据{an}

是等比数列讨论公比q的情况.

因为sinan1,所以

an—2k

2

kZ,即an

（4k1）

2

kZ；取{an}连续的

有限项构成数列{bn},不妨令n

（4k1）k

2,

则b2

理」，kZ,且

2

b2

{an},则此时q必为整数;

4k,kZ时，b2

2k（4k

1）

2

4（4k2

2

k）

{an},不符合;

4k

1,k

Z时,

b2

（4k

1）2

2

2_

4（4k2k）1

｛an｝，

符合,

此时公比q

4k

1,k

当q4k

2,k

Z时,

b2

（2k1）（4k

1）

4（4k23k）2

2

{an}，不符合;

当q4k

3,k

Z时,

b2

（4k3）（4k

2

1）

4（4k24k）3

2

{an},不符合;

故：

公比q

4k

1,k

本题考查无穷等比数列的公比，难度较难，分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要

…

O

…

…

…

…线

…

…

…

…

O

…

…

…

…线

…

…

…

…

O

…

…

X题

X

…

O

…

…

……

X答

X

……

订…

X内

X

订…

…

X线

X

…

…

O

X订

XX谢

…

O

………

衣XX在X

………

…

装

X要X

…

装

……

X不

X

……

…

…

O

…

X请

X

…

…

O

…

…

…

…内…

…

…

…

O

…

…

…

…外

…

…

…

…

O

…

……

…

…

O

……

…

…线

…

……

…

O

……

…

…订

……

……

…

:

号考

…

O

…

…

…

…线

…

…

…

…

O

……

…

…订

…

…

…

…

O

…

…

…

…

:

级班

…

…

O

…

…

…

…

装…

…

…

…

O…

…

名姓

核学

装…

…

…

…

O…

…

……外

………

…

…

内

…

…

…

…

O

…

…

…

O

…

…

进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析

n

1

18.已知数列｛an｝的通项公式an1n2019

2

数列｛an｝、Sn的极限，下面判断正确的是（）

A.数列｛an｝的极限不存在,

Sn的极限存在

B.数列｛an｝的极限存在，Sn的极限不存在

C.数列｛an｝、

D.数列｛an｝、

分别考虑

因为lim

x

{an}与

an

又limSn

x

列｛an｝、

故选：

D.

1n2019

n2020

Sn,则关于

Sn

Sn

Sn

的极限均存在，但极限值不相等

的极限均存在，且极限值相等

的极限，然后作比较.

1、n2009lim（-）

x2

0,

lim（aa2...a2019

x

11\n2019\

2（1

（2））

1、n2019r

xim[

（2）]

Sn的极限均存在，且极限值相等,

本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般

若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到

评卷人

得分

三、解答题

19.（本小题满分12分）

在等比数列an中，a23,a581.

⑴求an；

.注意求解s

的极限时,

……

1

……

…

O

…

…

…

…

线

…

…

…

…

O

…

…

X题

X

…

O

…

…

…

…

线

…

…

…

…

O

…

…

……

X答

X

……

订…

X内

X

订…

…

X线X

…

…

O

X订X

X牯

…

O

………

衣XX在X

………

…

装

X要X

…

装

……

X不X

……

…

…

O

…

X请X

…

…

O

…

…

…

…内…

…

…

…

O

…

…

…

…外

…

…

…

…

O

…

（2）设bn10g3an,求数列bn的前n项和Sn.

2

【答案】⑴an3n1.

（2）Snn—n

2

a〔q3

试题分析：

（1）设an的公比为q,依题意得方程组｛4

a1q81

a11

解得｛,即可写出通项公式

q3

（2）因为bn1og3ann1,利用等差数列的求和公式即得

试题解析：

⑴设an的公比为q,依题意得

｛aq3

a1q481

a11

解得｛,

q3

因此，an3nl.

（2）因为bn1og3ann1,

所以数列bn的前n项和Snn（b1bn）nL」

22

考点：

等比数列、等差数列.

1

20.已知函数f（x）cosx（sinxcosx）-.

（1）若0—，且sin—，求f（）的值；

22

（2）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）在［0,一］上单调递减区间2

……，1

【答案】

（1）f一

（2）周期为，一「282

【解析】

【分析】

（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（a）的值；

（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出

结论.

【详解】

解：

（1）

所以cos

所以f

（2）f

1sin2

2

2

——sin2x一

24

因为0万，且sin券，

2

.2.2211

22222

x

sinxcosx

cosx

——

1c

一cos2x,

2

x

2

21

当0

再由

x一时，

2

一2x

4

得，

4

4

8

5

4

x—,

2

2

2x-

4

函数f

【点睛】

x在0,

上的递减区间为一，一

82

所以fx的最小正周期为

本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题.

21.如图，某公园有三条观光大道AB、BC、AC围成直角三角形，其中直角边

BC200m,斜边AB400m.

（1）若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发，甲沿BA运动，乙沿BC运动，乙

比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；

（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点D、E、F,设CEF，乙丙之间的

距离EF是甲乙之间距离DE的2倍，且DEF—,请将甲乙之间的距离DEy表3，

示为的函数，并求甲乙之间的最小距离.

50.3

【答案】

（1）100"m;

（2）