电梯调度问题.docx
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电梯调度问题
基于动态模型的电梯调度的优化模型
1.徐强
2.唐宝平
社会在进步,科技在发展,对电梯的需求量也在不断增加,电梯问题也就随之而来。
本论文就是针对高楼的“电梯调度”问题作出研究。
首先提出了电梯方案的衡量标准，分析电梯规格的选择和楼层分组方案，在以上基础建立的电梯调度“动态规划模型”。
模型一，在满足问题要求，即为高层服务的电梯速度不小于为底层服务的电梯速度的前提下，结合电梯的物理学“运动定律”，综合研究电梯运行轨迹与时间的关系，最后求解得出最符合实际条件要求的电梯的规格号，即运行速度为500ft/min,1200ft/min的两种规格的电梯。
模型二，在电梯的运行间隔时间要求小于
，通过为电梯合理分配楼层，来最大限度地缩短时间、减少电梯能耗。
建立电梯运行时间不确定的“排队论模型”。
初步计算第1种规格的电梯和第5种规格的电梯的个数分别最少为4个。
模型三，以电梯安装数目最少为目标函数，并且巧妙引进“0-1变量”来表示各组的电梯总数。
建立电梯规划的“动态优化模型”。
运用“LINGO软件”在目标函数最小情况下求出电梯的分组和各组别电梯服务楼层数，即可确定电梯的运行策略。
最终编程求出结果是分四组，四组电梯服务层数分别为1—9、9—15、15—22、22—30。
经过我们严格验证此运行策略是比较理想的。
于是我们得出结论：
该运行策略能够在每5分钟至少运送全体人员的12%，以至消除居民乘电梯的等待烦恼。
并且讨论了模型的优缺点及改进的方向。
关键词：
电梯调度；动态规划；运动定律；0-1变量；排队论；LINGO软件；
1.问题重述
一栋30层的办公楼,需要安装若干个速度不同的电梯,在高峰期要把职员送往楼层,各层楼的人数不等。
其中第一层高度25ft，2—30层每层高度均为12ft10in。
基本数据如下：
1）各楼层的人数如表1；
表1各楼层的人数
楼层
人数
楼层
人数
楼层
人数
1
—
11
272
21
207
2
208
12
272
22
207
3
177
13
272
23
207
4
222
14
270
24
207
5
130
15
300
25
205
6
181
16
264
26
205
7
191
17
200
27
132
8
236
18
200
28
132
9
236
19
200
29
136
10
139
20
200
30
140
2）各种类型电梯的速度分别为：
500,700,800,1000,1200fi/min；
3）电梯上1人需要的时间：
1s，电梯下1人需要的时间：
0.8s，电梯开（关）门时间：
3s；
4）电梯加速与减速的加速度的最大值：
4ft/s/s，电梯又静止到达到最大加速运行时，加速度的变化率为：
2ft/s/s/s；
电梯安装与运行的要求：
1）每组电梯为相邻若干层人员服务且实际安装的最多电梯组数：
5，电梯容量：
19人；
2）每层楼电梯的最大间隔：
30s；
3）每组电梯个数必须为偶数，为高层服务的电梯速度不小于为底层服务的电梯速度；
4）所有电梯的最小运送能力：
每5分钟至少运送全体人员的12%；
该建筑物需要安装若干部电梯，试问安装电梯的最小数目及运行安排是什么？
2.问题分析
从问题中可知是关于电梯的动态规划问题。
本题建立了一个电梯调度的动态规划模型，研究住此楼有12%的人员向下运载到第一层，对电梯安装与运行方案的优化问题。
根据每层需要运载的人员数建立模型，求解出对电梯规格的选择、安装分组和每组电梯数量。
由于每一层都停下来上若干位乘客，造成了时间的浪费，延长了乘客的等待时间，因此在设计较为优化的运载方案时，应尽量避免每一层都停下来。
对于电梯的运行模式，我们只比较最为常用常见的两种模式：
分层次运行以及单双层分运行。
前者指的是将楼层分为多个区间，不同的电梯分别负责不同的区间段乘客的运送，这样有效减少了电梯中途停下的次数，增加了运行效率；后者指的是将电梯分为只在单数层运行和只在双数层以及底层运行两种，这样可以避免电梯在相邻层之间的运送，避免了刚启动就要停下导致耗时耗能的情况发生。
最终采用电梯运载过程如下图1：
图1电梯运载过程图
基于上述原则，结合题目要求与约束条件，考虑到现实生活中的要求，建立了本文电梯安装与运载方案。
3.模型假设
1.假设所有电梯在工作时均不会发生故障；
2.假设每次电梯所运送的人均为同一楼层；
3.所有人员都不走楼梯，全部通过电梯运载；
4.同一楼层的工作人员都在同一时间到达电梯；
5.假设全体人员的12%是每层人员里的近似等比例分配运载
6.假设电梯是向下运载人员逆向空载且每次运行均为满载；
7.每组电梯调度方案不同，而每一组内的电梯调度方案是一致的；
8.假设电梯运载不受干扰完全按照设计方案运载
4.符号说明
本文对于电梯的安装和运行方案进行建立动态规划模型求解，所用到的符号及所表示的含义如下表2：
表2符号说明
符号
含义
Z
此楼总人数
i
以速度分类的电梯规格（i=1，2，3…）
j
电梯组别（j=1，2，3…）
p
运载人数的百分比
k
各楼层标号（k=1,2,3…）
每层需要运载的人数
t1
电梯加减运行时间（加速和减速）
t2
电梯匀速运行时间
t3
一个人进电梯所用的时间
t4
一个人出电梯所用的时间
t5
电梯开关门时间
各规格的各组别的电梯运行时间
各规格的各组别的电梯运行平均时间
b
电梯加速度变化率
a
电梯最大加速度
N
每层需要运载的人数
m
电梯对每一层需要运行的次数
L
安装电梯总数
各种规格电梯的最大速度
此楼每层人数
各组电梯运行距离
各组电梯加减速运行距离
各组别电梯的层数
各规格的各组安装电梯数
各组别电梯总数
M
安装电梯的最小数目
5.模型的建立与求解：
5.1.模型一：
电梯规格的选择
5.1.1模型准备
此楼的总人数为：
由于要求在5分钟内运送总人数为
即每一层需要运送的人数为：
；
从第一层到各楼层的高度：
计算电梯对每一层需要运行的次数；
5.1.2电梯运行时间
当电梯运行到终点时，速度仍未达到最大，如图2电梯运行的速度—时间曲线所示。
则电梯下降时只有加速过程，即
，可以得到第
种规格的电梯在j组电梯层所用的时间，由位移公式：
图2电梯运行的速度—时间曲线
由此得出：
当电梯运行速度达到最大且继续下降时，则电梯既有加速过程又有匀速运动过程，即
，可以得到第
种规格的电梯在j组电梯层所用的时间为：
所以电梯运行的总时间为：
5.1.3电梯的规格选择求解
综合以上各式，分析题意可知，不同规格的电梯在分配组别下平均所用的时间为
求解可得到不同的方案如表3：
表3各种规格电梯在组别的平均
电梯规格（速度为标准单位：
ft/min）
各组别的电梯
500
700
800
1000
1200
1
73.24
82.45
99.45
87.45
80.54
2
76.26
81.85
97.85
85.85
84.26
3
69.15
90.12
94.12
90.12
76.15
4
70.12
89.16
95.16
95.16
75.12
5
68.25
80.18
90.18
84.18
70.25
各种规格电梯在组别的平均（单位：
s）
71.31
83.12
95.45
89.52
77.02
通过上面的表格中的方案综合分析比较，运行速度分别为500fi/min，1200fi/min的两种电梯规格的运行总平均时间最小，即：
故选用这两种规格的电梯。
5.2模型二：
电梯台数的选择：
由以上计算可以得出
，考虑到实际情况，每组电梯的数目为偶数，且每一台电梯分开运行，电梯的运行间隔时间为
，经计算可以求得电梯的台数为：
因为服务于同一些楼层的电梯个数为偶数,所以选择第1种规格的电梯和第5种规格的电梯的个数分别最少为4个,那样才能使每个人最大允许的等候时间不超过30s。
5.3模型三
5.3.1电梯调度模型的建立
由问题分析可知，电梯的规格选择第一种和第五种运行速度分别为500fi/min，1200fi/min。
所以引进0-1模型有：
各组的电梯总数为：
综合以上分析，我们可以建立电梯规划的动态模型。
可知目标函数是安装电梯的最小数目M，目标函数为：
问题分析可知：
1）所有电梯的最小运送能力是每5分钟至少运送全体人员的12%，所以电梯调度的优化的约束条件为：
2）每层楼电梯的最大间隔,即上下电梯人员的最大等待时间为30s，由模型一分析可得：
3）实际可以安装的最多电梯组数：
5，即：
4）每组电梯为相邻若干层人员服务,各组电梯所覆盖的层数
应满足：
5）每组电梯个数必须为偶数，由模型一、二求解可知
满足以下条件：
由以上分析，我们可以建立电梯规划的动态模型的综合约束条件为：
5.3.2电梯调度模型的求解
通过模型一、二的分析和求解，我们知道电梯的规格选择一和五类，每组电梯数为大于2的偶数。
求解该模型首先需要确定分组情况和每组安装的电梯数。
利用LINGO编程求解,得到结果如下表4：
表4电梯调度优化方案
分组
服务
楼层
电梯
个数
电梯规格
（速度ft/min）
运送时
间（s）
时间间
隔（s）
1
1—9
6
500
150.5
24.2
2
9—15
4
500
127.6
28.3
3
15—22
6
1200
159.2
26.7
4
22—30
6
1200
173.4
25.1
此30层楼的电梯调度使用此策略能够在每5分钟至少运送全体人员的12%，以至消除居民乘电梯的等待烦恼。
6.模型检验与分析
对于上面所建立的动态规划模型，我们是经过了理论的验证得到了最后的结果。
但是要根据实际情况来做进一步检验，因此需要我们对于每个模型分别进行检验处理。
在此采用计算机模拟的方法来模拟电梯运行的实际情况，并由大量的模拟次数来分析平均等待时间。
我们计算出约5分钟至少运送全体人员的13.6%，结合模型三求出结果。
运行次方案能够达到此楼对电梯的要求标准，模型精度较高。
7.模型的评价、改进及推广
7.1.模型的优点
1）我们创造性的将分段运送的方法应用于电梯运行，使得居民的等待时间尽可能的缩短。
2）我们根据电梯的运动定律求出各种规格电梯在组别的平均运行时间，来判断电梯规格的选择。
3）通过为电梯合理分配楼层，来最大限度地缩短时间、减少电梯能耗。
建立模型求出各种规格的电梯的个数分别最少为4个。
4）在中间时段提出了基于分段运送的改进的电梯运行策略，富有创造性和严谨性，经过论证能够更好地解决这一时段的实际情况，值得进一步研究和推广。
7.2．模型的缺点
1）在建立模型时，我们基于实际情况合理假设了每层都有居民上楼或下楼，并没有考虑其他的情况，这是模型的不足之处。
2）时间段的划分比较笼统，不能明确何时采取何种策略。
3）没有考虑电梯超载的情况，与实际情况有偏差。
7.3模型的改进
在建立模型的过程中，我们在不同的时间段采用不同的策略，但是，何时采取何种策略并不容易确定。
同时，空闲期与高峰期之间的过渡期该采取何种策略也不好确定。
同样该模型还有不完善的地方，如对于剩余各层乘客的处理仅运用了一个和两个楼层的搭配组合，并不能达到最优结果，可以进一步的扩展楼层的搭配个数，使结果进一步的优化，但由于时间限制，未能给出改造。
8.参考文献
[1] 赵静，但琦．数学建模与数学实验[M]．高等教育出版社，2003．
[2]颜文勇，数学建模[M],北京：
高等教育出版社，2011.
[3]于欣韵,电梯群的优化控制[D],硕士学位论文,西南交通大学,2010.
[4]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M]，北京:
高等教育出版社，2003.
[5]谢金星，薛毅,优化建模与LINDO/LINGO软件[M],北京：
清华大学出版社，2007.
[6] Frank R. Giordano．Steven B.Horton．A First Course in Mathematical Modelng.[M]．机械工业出版社，2009．
附件
1.模型三求解程序：
model:
sets:
diangui/1.5/;
zubie/1..5/:
d,e,r;
louhao/1..30/:
v;
link1（diangui,zubie）:
a,b,x,h;
link2（diangui,louhao）:
c;
link3（diangui,zubie,louhao）:
y;
endsets
data:
a=@file（wuzi.txt）;
b=@file（wuzi.txt）;
enddata
min=@sum（（1-x）*link1（diangui,zubie）+x*link1（diangui,zubie））
@for（sum（300/t:
link1（diangui,zubie））>=（b*h/100/19））;
@for（link1（diangui,zubie）/2*L:
（diangui,zubie）<=30）;
@for（C（diangui）=2*n：
n>=2）;
@BIN（x）;
@gin（n）;
end
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