163教学设计《二次根式的加减》人教版.docx

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163教学设计《二次根式的加减》人教版

《16.3二次根式的加减》

本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．

1.探索二次根式加减运算的方法和步骤；

2.会进行二次根式的加减运算．

3.通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.

4.类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法.

5.能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

6.通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．

1.在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．

2.熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

课件

第一课时

1、复习引入：

问题1：

什么叫最简二次根式？

你能将，，化为最简二次根式吗？

问题2：

现有一块长7.5dm,宽5dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板?

提问:

①大、小正方形木板的边长分别为dm和dm,木板是否够宽?

②木板是否够长呢?

③怎样计算的结果呢?

问题3：

计算下列各式：

（1）a+2a；

（2）3x-2x；

解：

（1）a+2a=（1+2）a=3a；

（2）3x-2x=（3-2）x=x；

【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备.

二、新课讲解：

1.探究二次根式的加法.

问题4：

请类比整式的加减，计算下列各式：

（1）；

（2）.

解：

（1）；

（2）.

【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变.

问题5：

能合并吗？

为什么？

呢？

解：

不能合并，因为它们被开方数不相同；

【小结】

（1）二次根式能够进行合并的条件：

①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同.

（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.

练习1：

下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（）

A．与B．与C．与D．与

练习:

2：

（教材P13练习）下列计算是否正确？

为什么？

（1）；

（2）；

（3）.

解：

（1）∵和的被开方数不相同，

∴不能合并,故错误.

（2）∵，，

故，故错误；

（3）∵，

故正确.

[点拨]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并.

2.二次根式加法的运用.

问题7：

（教材例题）计算：

（1）；

（2）；

（3）；（4）.

解：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

练习3：

（教材P13练习2）计算：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；（5）.

解：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

问题6：

前面问题2中，怎样计算的结果呢?

木板长7.5dm,宽5dm，是否够长？

解：

=···化为最简二次根式

=···乘法分配率

=≈7.07＜7.5

故木板够长.

练习4：

（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.12，求圆环的宽度d（π取3.14，结果保留小数点后两位）.

解：

∵S圆=πr2，

∴d=r大圆-r小圆=≈0.83

答：

圆环的宽度d为0.83.

3、课堂小结：

1.知识梳理：

（1）二次根式合并的前提：

化成最简二次根式之后，被开方数相同.

（2）二次根式加减的实质：

合并被开方数相同的最简二次根式.

2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：

①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；

②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.

3.二次根式加减运算的步骤：

①去括号；②化简；③判断并合并．

4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别

运算

二次根式的乘除法

二次根式的加减法

系数

系数相乘除

系数相加减

被开方数

被开方数相乘除

被开方数不变

化简

结果化成最简二次根式

先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式（同类二次根式）

4、随堂测试：

1.下列各式计算正确的是（　　）

A.B.C.D.

解析:

A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；

B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；

C.应为，故错误；

D.，故正确.

故选D.

2.以下二次根式:

①,②,③,④中,化简后能合并成一项的是（　　）

A.①和②　B.②和③C.①和④　D.③和④

解析：

①；②；③；④.

3.计算：

的值是（）

A.2B.3C.D.2

解析：

4.一个等腰三角形的两边长分别为,则三角形的周长为.

解析：

分两种情况讨论：

（1）当为腰长，为底边长时，周长为；

（2）当为腰长，为底边长时，周长为.

5.若最简二次根式与的被开方数相同,则a=　　　 .

解析：

由题意得4a2+1=6a2-1，解得a=±1.

6.计算：

（1）；

（2）.

第二课时

1、复习引入：

1.计算：

（1）；

（2）；（3）.

解：

（1）；

（2）；

（3）.

【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备.

2.计算：

（1）（2x-y）·zx；

（2）（2x2y+3xy2）÷xy；（3）（2x+y）（x-3y）

（3）（2x+3y）（2x-3y）;（4）（2x+1）2+（2x-1）2.

解：

（1）（2x-y）·zx=2x2z-xyz；

（2）（2x2y+3xy2）÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+2y；

（3）（2x+y）（x-3y）=2x2-6xy+xy-3y2=2x2-5xy-3y2;

（4）（2x+3y）（2x-3y）=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2;

（5）（2x+1）2+（2x-1）2=4x2+4x+1+4x2-4x+1=8x2+2.

提问：

上面的运算用到了哪些法则和公式？

学生回顾：

多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式.

【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算.

2、新课讲解：

问题1：

如果把上面的x，y，z改成二次根式呢？

以上的运算法则是否仍然成立？

例1.（教材P14例题3）计算：

（1）；

（2）.

解：

（1）

=；

（2）

【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率.

练习1：

（教材P14练习1）计算：

（1）；

（2）；

解：

（1）

=；

（2）

【小结】

（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；

（2）最终的结果一定要化为最简二次根式.　

问题2.（教材P14面例4）

例2.计算：

（1）；

（2）.

解：

（1）

=；

（2）

=5-3

=2.

提问：

你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？

【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．

练习2：

计算：

（1）=；

（2）=.

答案为：

；6.

练习3：

计算的结果是（）

A.B.

C.D.

练习3计算：

（1）；

（2）；

（3）

解：

（1）

=24-98

=-74；

（2）

=；

（3）

练习4：

已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求下面式子的值.

解：

由4x2+y2-4x-6y+10=0得到（2x-1）2+（y-3）2=0,

∴2x-1=0,y-3=0.

解得，x=，y=3.

当x=，y=3时，

原式=.

3、课堂小结：

师生共同回顾本节课所学主要内容:

　关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.

（1）运算顺序与有理式的运算顺序相同;

（2）运算律仍然适用;（3）与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.

四、随堂检测：

1.下列二次根式中可以进行合并的是（）

A.与B.与

C.与D.与

【知识点：