有限元法复习资料.docx
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有限元法复习资料
有限元法及其应用复习资料
有限元法及其应用考点总结
简答题
1.什么是有限元法？
人为的将一个受力物体划分为有限个大小和有限量单元，这些结构单元在有限个节点上相互连
接，组成整个受力物体，再通过几何和力学分析得到这些单元的应力、应变和位移的代数方程组。
利
用计算机对代数方程组联立求解，就可求出各个单元的应力、应变和位移。
用有限元法求解结构的应力、应变和位移的步骤是什么？
（1）将受力结构划分成单元，结构离散化
（2）单元特性分析，单元位移模式选择（3）构造单元位移
函数，建立单元的应力，应变，位移之间的关系（4）简历整体结构的平衡方程（5）利用计算机进行数值
计算，求出节点的位移，应变，应力（6）输出单元，绘制应力应变的图形曲线。
2.说明弹性力学中的连续性假设？
（1）物体是连续的
（2）物体是线性弹性的（3）物体是均匀的各向同性的（4）物体的位移和
应变微小
3.解释并绘简图说明圣维南原理？
在弹性体的一小部分边界上，将所作用的面力作静力等效变换只对力作用处附近的应力有影响，对离
力作用处较远的应力几乎无影响。
4.说明什么情况下的受力问题，可以归结为轴对称问题？
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束状态，以及其他外在因素都是对称于某一根轴（过该轴
的任一平面都是对称面），那么弹性体的所有应力、应变和位移也就都对称于这根轴。
这类问题通常
称为空间轴对称问题。
有限元的轴对称问题，既结构轴对称，载荷轴对称，约束也是轴对称。
5.说明求解弹性力学问题的两种不同途径是什么？
应力法和位移法。
应力法：
应力（物理）应变（几何）位移
位移法：
位移（几何）应变（物理）应力
6.说明单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的含义，二者有何区别？
单元：
联系力分量与位移分量之间的关系。
性质：
分块形式，物理意义，对称性，奇异矩阵
整体：
将单元刚度矩阵中的每个子块进行换码，换成对应的整体码，送到整体刚度矩阵中的对应
位置上，如果有几个单元的对应子块，就进行叠加。
性质：
对称性，稀疏性，带形分布，奇异矩阵。
7.说明什么是平面应力问题，什么是平面应变问题，二者的区别？
平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，
体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
对应的应力分量只有σx，σy，τxy。
而平面应变问题是指很
长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不
沿长度变化，对应的位移分量只有u和v
1
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8.什么是等参元和高斯积分？
等参元：
首先导出关于局部坐标系的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数；然后
利用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单元（子单元），如果子单元的位移函数
插值节点数与其位置坐标变换节点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数
与节点参数进行插值，则称其为等参元
高斯积分法：
对于形状规整，节点坐标是±1的基本单元，可以用数值积分代替积分计算，
其方法是在积分域上选出积分点，在算出被积函数在每个积分点的函数值，然后乘上一个适当的系数
（加权系数），最后求出总和，就是近似积分值（高斯积分），这些点上对应的加权系数是2，刚好是
基本单元内每个变量积分区间的长度，这种方法即为高斯积分法。
9.目前流行的有限元分析软件主要有哪些？
一般线性问题：
ansysnastranSAPADINACOSMDS
一般非线性问题：
marcabaqusautodyne
高级非线性问题：
LS-dyna
10.变形连续性条件（协调方程）的意义？
1.在数学上：
表示物体中某点坐标量（x,y,z）,其位移（u,v,w）是单值的连续函数。
2.在物理上：
表示在物体变形时各相邻单元始终相互联系，不能断裂，不能重叠，
无裂缝。
11.弹性力学中，导出计算方程从三个方面进行？
静力学方程，几何方程，物理方程
12.什么是虚功原理？
总刚矩阵的特性有哪些？
弹性力学中的虚功原理可表达为：
对于性质不同的，相互独立的两组量，其一是平衡力系，分别
用P和o'代表外力和内应力，其二是发生在同一个变形体上的一组几何协调变形，分别用△和横斜代
表位移和应变，则对于一个平衡系统外虚功必须等于内虚功。
∑P△=∫vO'横斜dv
总刚矩阵具有单元刚阵的性质：
对称性、奇异矩阵、稀疏性、带形分布
形函数有哪些性质？
它和面积坐标有何关系？
1.在单元任一点上三个形函数之和等于1,
2.形函数Ni在i点的函数值为一，在j,m点的函数值为零，
3.三角形单元i,j,m在ij边上的形函数与第三个顶点的坐标无关。
关系：
∫∫ANidxdy=A/3
逆解法：
设定各种形式的，满足相容方程的应力函数求出应力分量，然后再根据应力边界条件式和
边界形状了解这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知选取的函数解决问题。
半逆解法：
针对所要求解的问题，根据物体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力的函数求
得应力，并考察这些应力能否满足全部应力边界条件，如果都能满足，自然得出的就是正解。
2
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判断题
11.弹性力学得基本假设中，要求材料具有各向同性与均匀性是同一个概念。
（X）
12.有限元法既能用于解决固体问题也能用于解决流体问题。
（√）
13.弹性力学中的平面问题主要分为平面应力问题和平面应变问题。
（√）
14.在有限元法中，将连续结构离散化后，单元与单元之间通过接触面节点相互连接。
（×）
15.平面问题的平衡微分方程表示物体微元中的应力分量与载荷分量之间的关系。
（X）
16.对于轴对称问题，弹性体内各点只可能存在径向位移和轴向位移，而环向位移为零。
（√）
17.在弹性力学中，如果知道了位移就可以通过物理几何方程求得应变。
（×）
18.位移模式中表示的是位移与单元节点力应变之间的关系。
（X）
19.一般情况下，用有限元法求解力学问题时，计算结果的正确性与单元网格划分的大小无关。
（√）
20.杆单元与梁单元的单元刚度矩阵形式相同。
（×）
21.如果已知物体中任一点的
x、y、z、zx、yz、xy这六个应力分量，就可以进一步去计算主
应力或任意截面上的应力。
（）
22.对于平面应力问题，因为z0不得〇，所以z0。
（×）
23.面问题的平衡微分方程表示物体微元中的应力分量与外力体力分量之间的关系。
（X）
24.对于轴对称问题，弹性体内个点只可能存在径向位移和周轴向位移，而环向位移为零。
（√）
25.单元刚度矩阵与选取的单元形状无关。
（X）
26.有限元法的计算结果与位移模式的选取有关。
（√）
27.有限元法只能用于解决固体问题而不能能用于流体。
（×）
28.在作有限元法计算时，应该作用在单元边上的载荷等效到单元节点上。
（√）
29.三角形单元内各点应变分量都是常量，所以与位移模式的选取无关。
（X）
30.对于平面桁架和平面刚架问题，在有限元法中都可以用杆单元计算，所以二者的单元刚度矩阵是
完全一样的。
（X）
填空题
3.弹性力学中的平衡微分方程表示了（应）力与（体）力之间的关系。
4.弹性力学中的几何方程表示了（应变）与（位移）之间的关系。
5.弹性力学问题的基本解法为（应力法）、（位移法）和（混合法）。
6.有限元法中得将一个受力物体按照对称问题计算时，其必须同时具备的三个条件是（结构对称）
（载荷对称）和（约束对称）。
7.整体刚度矩阵所具有的三个特性是（对称性）、（稀疏性）和（带状结构）。
8.进行有限法计算时，首先必须将受力物体划分成有限个单元，这个过程称之为物体（离散）化。
9.采用等参元后就可以将一个实际单元转化成一个（基本）单元。
10.高斯积分中，积分区间长度是
（2）。
3
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31.在进行有限元法计算时，将受力物体离散化，划分成有限个单元对单元和节点，编号建立一时（整
体编码），二是节点布局编码。
11.对平面应力问题z0，z0。
（X）
12.平面问题的几何方程体现的是物体微元中的位移分量与应力分量之间的关系，且当物体的应变分
量完全确定时，位移分量即完全确定。
（×）
13.节点力是结构中实际存在的力，节点力就是节点载荷。
（×）
14.单元刚阵子矩阵
e
k为节点j节点取单位位移，且其他节点位移为零是，对应于i节点的节点力。
y
（√）
15.有限元的计算结果与位移模式的选取无关。
（X）
16.对于简单四面体单元，如果单元的某个表面作用有均匀的面积力，可将此面上的全部面积力平均
分配到相应的三个节点上。
（√）
17.轴对称问题简单三角形单元的的形状函数矩阵与平面问题简单三角形单元的形状函数矩阵完全相
同，故应力、应变都是常值。
（×）
18.一个结构的位移向量和力向量在弹性范围内所对应的变换矩阵为刚度矩阵。
（√）
19.等参元函数满足相容性及完备性要求，其有限元近似解是收敛的。
（√）
20.用平板单元分析壳体，集合成整体结构后，壳体中面内的变形和弯曲变形是耦合的。
（√）
13.对平面应力问题z0，对平面应变问题z0。
（√）
14.平面问题的平衡微分方程体现的是物体微元中的应力分量与外力分量之间的关系。
（×）
15.节点力是结构中实际存在的力，节点力就是节点载荷。
（×）
16.单元刚阵子矩阵
e
k为节点j节点取单位位移，且其他节点位移为零是，对应于i节点的节点力。
y
（√）
17.有限元的计算结果与位移模式的选取有关。
（√）
18.对于简单四面体单元，如果单元的某个表面作用有均匀的面积力，可将此面上的全部面积力平均
分配到相应的三个节点上。
（√）
19.轴对称问题简单三角形单元的的形状函数矩阵与平面问题简单三角形单元的形状函数矩阵完全
相同，故应力、应变都是常值。
（×）
20.通过分析单元的应变能可知，应变能为单元节点位移的二次型。
（√）
21.用平板单元分析壳体，集合成整体结构后，壳体中面内的变形和弯曲变形不是耦合的。
（×）
22.用高斯积分法进行数值积分时，采用N个积分点，如果被积函数是2N阶以下多项式，则高斯积
分能给出准确结果。
（X）
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三、证明题（每题10分，共20分）
32.证明在简单三角形单元内三个形函数之和为1，即NlNmNn1。
证明：
Ni+Nj+Nm=1/2△（（ai+aj+am）+（bi+bj+bm）x+（ci+cj+cm）y）=1/2△·2△=1
四、计算题（共30分）
21.（5分）已知弹性体的位移为
u
f（x,y）
1
2
Az
Dzy
y
z
a
v
f（x,y）
2
2
Bz
Dzx
x
z
b
w
f（x,y）（2Ax2Byc）zxy
3
c
其中A，B，C，D，a，b，c，d，，，为常数，试求应变分量。
一、判断题（每题2分，共20分）
23.给定单元节点位移可以确定相应的单元节点力；给定了单元节点力也可以确定对应的单元节点位
移。
（×）
24.薄壳在局部坐标系下的单元刚阵可直接由平板弯曲的单元刚阵及平面问题的单元刚阵叠加而成。
（√）
25.节点力是结构中实际存在的力，节点力就是节点载荷。
（×）
26.等参元函数满足相容性及完备性要求，其有限元近似解是收敛的。
（√）
27.用高斯积分法进行数值积分时，采用N个积分点，如果被积函数是2N阶以下多项式，则高斯积
分能给出准确结果。
（×）
28.用三角形平板单元分析壳体比使用矩形单元具有更大的适用性和灵活性。
（√）
29.对平面应力问题z0，z0。
（×）
30.用平板单元分析壳体，集合成整体结构后，壳体中面内的变形和弯曲变形是不耦合的。
（×）
31.对于简单四面体单元，如果单元的某个表面作用有均匀的面积力，可将此面上的全部面积力平均
分配到相应的三个节点上。
（√）
32.有限元法的计算结果与位移模式的选取有关。
（√）
三、计算题（共35分）
4.（5分）若不计体力，试证明由下列应力分量给出的应力场是不可能的。
x
xy
2，xz
zysin3，z10z，
xy3xz4y，
yxxy3xz4y，
3
22
yzz，z（y4）
zyxzzx
2
5
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33.（10分）推导轴对称图形简单三角形单元的单元刚阵，如果旋转体绕中心轴z转动的角速度为，
材料密度为，试写出离心力分配的节点载荷的表达式。
22.（20分）如图表示一个等腰三角形单元及其节点编码情况，设0，弹性模量为
E210。
5N/mm2
5N/mm2
55
其中1点延X的位移为u210mm，2点延Y的位移v10mm，3点的位移为0，求：
12
（1）形状函数矩阵N；
（2）应变矩阵B；
（3）应力矩阵S；
（4）单元刚度矩阵
e
K；
（5）单元的应力及3个节点的节点力。
6
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