学年高中数学第二章推理与证明22综合法和分析法习题课苏教版选修22.docx

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学年高中数学第二章推理与证明22综合法和分析法习题课苏教版选修22

习题课　综合法和分析法

明目标、知重点　加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．

1．综合法

综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．

综合法的证明步骤用符号表示是：

P0（已知）⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn（结论）

2．分析法

分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．

分析法的证明步骤用符号表示是：

P0（已知）⇐…⇐Pn－2⇐Pn－1⇐Pn（结论）

分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆．

题型一　选择恰当的方法证明不等式

例1　设a，b，c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，试证：

3S≤I2<4S.

证明　I2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca

＝a2＋b2＋c2＋2S.

欲证3S≤I2<4S，

即证ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.

先证明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2，

只需证2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，

即（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2≥0，显然成立；

再证明a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca，

只需证a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca<0，

即a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－b－a）<0，

只需证a

由于a、b、c为三角形的三边长，

上述三式显然成立，故有3S≤I2<4S.

反思与感悟　本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明，可以分段来证，使证明过程层次清晰．证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：

（1）a2≥0（a∈R）．

（2）（a－b）2≥0（a、b∈R），其变形有a2＋b2≥2ab，（）2≥ab，a2＋b2≥.

（3）若a，b∈（0，＋∞），则≥，特别地＋≥2.

（4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．

跟踪训练1　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：

＋≥4.

证明　方法一　∵a，b是正数且a＋b＝1，

∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.

方法二　∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，

＋≥2>0，

∴（a＋b）（＋）≥4.

又a＋b＝1，∴＋≥4.

方法三　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”．

题型二　选择恰当的方法证明等式

例2　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：

＋＝.

证明　要证原式，只需证＋＝3，

即证＋＝1，即只需证＝1，

而由题意知A＋C＝2B，

∴B＝，∴b2＝a2＋c2－ac，

∴＝

＝＝1，

∴原等式成立，即＋＝.

反思与感悟　综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：

根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．

跟踪训练2　设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：

＋＝2.

证明　由已知条件得

b2＝ac，①

2x＝a＋b,2y＝b＋c.②

要证＋＝2，

只要证ay＋cx＝2xy，

只要证2ay＋2cx＝4xy.

由①②得2ay＋2cx＝a（b＋c）＋c（a＋b）＝ab＋2ac＋bc，

4xy＝（a＋b）（b＋c）＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，

所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．

题型三　立体几何中位置关系的证明

例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

（1）证明：

CD⊥AE；

（2）证明：

PD⊥平面ABE.

证明　

（1）在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，

∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，

可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由

（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，

∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，

∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE.

反思与感悟　综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：

两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．

跟踪训练3　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

（1）求证：

AF∥平面BDE；

（2）求证：

CF⊥平面BDE.

证明　

（1）如图，设AC与BD交于点G.

因为EF∥AG，且EF＝1，

AG＝AC＝1，

所以四边形AGEF为平行四边形．

所以AF∥EG.

因为EG⊂平面BDE，

AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.

（2）连结FG.

因为EF∥CG，EF＝CG＝1，

且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．

所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，

所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

所以BD⊥平面ACEF.

所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，

所以CF⊥平面BDE.

1．已知p：

ab>0；q：

＋≥2，则p是q的________条件．

答案　充要

2．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的大小关系是________．

答案　x

解析　y2＝（）2＝a＋b＝>＝x2.

3．给出下列命题：

①ab，c>d，abcd≠0⇒>；④a·b≠0⇒<1；⑤a>b>0，c>d>0⇒>.其中，真命题的序号是________．

答案　①②⑤

4．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m>0，

求证：

＋>.

证明　要证明＋>，

只需证明＋－>0即可，

∴＋－

＝，

∵a>0，b>0，c>0，m>0，

∴（a＋m）（b＋m）（c＋m）>0，

∵a（b＋m）（c＋m）＋b（a＋m）（c＋m）－c（a＋m）（b＋m）

＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2

＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2

＝2abm＋abc＋（a＋b－c）m2.

∵△ABC中任意两边之和大于第三边，

∴a＋b－c>0，∴（a＋b－c）m2>0，

∴2abm＋abc＋（a＋b－c）m2>0，

∴＋>.

[呈重点、现规律]

1．综合法的特点：

从已知看可知，逐步推出未知．

2．分析法的特点：

从未知看需知，逐步靠拢已知．

3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

一、基础过关

1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则下列结论正确的是________．

①a≤②ab≥

③a2＋b2≥2④a2＋b2≤3

答案　③

解析　∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.

∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.

2．下面四个不等式：

①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；

②a（1－a）≤；

③＋≥2；

④（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2.

其中恒成立的有________个．

答案　3

解析　a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋ac＋bc，a（1－a）≤（）2＝；（a2＋b2）（c2＋d2）＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝（ac＋bd）2；当<0时，＋≥2不成立．

3．若实数a，b满足0

①②2ab③a2＋b2④a

答案　③

解析　∵a＋b＝1，a＋b>2，

∴2ab<，

由a2＋b2>＝，

又∵0

∴a<，

∴a2＋b2最大．

4．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是________．

答案　a>b>c

解析　a＝，b＝，c＝.

∴a>b>c.

5.如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.

求证：

AF⊥SC.

证明：

要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC（因为______），只需证______，只需证AE⊥BC（因为________），只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA（因为______）．由SA⊥平面ABC可知，上式成立．

答案　EF⊥SC　AE⊥平面SBC　AE⊥SB　AB⊥BC

解析　要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC⊥平面SAB，可得AE⊥BC，进而AE⊥平面SBC，SC⊥平面AEF，问题得证．

6．如果a，b都是正数，且a≠b，求证：

＋>＋.

证明　方法一　用综合法

＋－－＝

＝＝>0，

∴＋>＋.

方法二　用分析法

要证＋>＋，

只要证＋＋2>a＋b＋2，

即要证a3＋b3>a2b＋ab2，

只需证（a＋b）（a2－ab＋b2）>ab（a＋b），

即需证a2－ab＋b2>ab，

只需证（a－b）2>0，

因为a≠b，所以（a－b）2>0恒成立，

所以＋>＋成立．

7．已知a>0，求证：

－≥a＋－2.

证明　要证－≥a＋－2，

只要证＋2≥a＋＋.

因为a>0，故只要证2≥2，

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，

从而只要证2≥，

只要证4≥2，

即a2＋≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立．

二、能力提升

8．命题甲：

（）x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：

lgx、lg（x＋2）、lg（2x＋1）成等差数列，则甲是乙的________条件．

答案　充要

解析　由（）x、2－x、2x－4成等比数列可得：

（2－x）2＝（）x·2x－4，解得x＝4；由lgx、lg（x＋2）、lg（2x＋1）成等差数列得：

2lg（x＋2）＝lgx＋lg（2x＋1），可解得x＝4（x＝－1舍去），所以甲是乙的充要条件.

9．若x，y∈R＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是________．

答案　

解析　原不等式可化为a≥＝＝，

要使不等式恒成立，只需a不小于的最大值即可．

∵≤2，

当x＝y时取等号，∴a≥，

∴a的最小值为.

10．已知α、β为实数，给出下列三个论断：

①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2，|β|>2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________