新课标202x高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 题组层级快练17 导数的应用二极.docx
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新课标202x高考数学大一轮复习第三章导数及其应用题组层级快练17导数的应用二极
题组层级快练（十七）
1．函数y＝x3－3x2－9x（－2A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值D．极大值为－27，无极小值
答案 C
解析 y′＝3x2－6x－9＝3（x2－2x－3）＝3（x－3）（x＋1），∴y′＝0时，x＝3或x＝－1.
∵－2x＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值．
2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝（ ）
A.
B．－
C．－ln2D．ln2
答案 B
解析 由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.
令y′＝0，得2x（1＋x·ln2）＝0.∵2x>0，∴x＝－
.
3．（2019·唐山一中模拟）设函数f（x）＝
＋lnx，则（ ）
A．x＝
为f（x）的极大值点B．x＝
为f（x）的极小值点
C．x＝2为f（x）的极大值点D．x＝2为f（x）的极小值点
答案 D
解析 因为f（x）＝
＋lnx，所以f′（x）＝－
＋
＝
，且x>0.当x>2时，f′（x）>0，这时f（x）为增函数；当04．（2019·苏锡常镇一调）f（x）＝ex－x（e为自然对数的底数）在区间[－1，1]上的最大值是（ ）
A．1＋
B．1
C．e＋1D．e－1
答案 D
解析 f′（x）＝ex－1，令f′（x）＝0，得x＝0.令f′（x）>0，得x>0，令f′（x）<0，得x<0，则函数f（x）在（－1
，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，f（－1）＝e－1＋1，f
（1）＝e－1，f（－1）－f
（1）＝
＋2－e<
＋2－e<0，所以f
（1）>f（－1）．故选D.
5．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和
，则（ ）
A．a－2b＝0B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0D．a＋2b＝0
答案 D
解析 y′＝3ax2＋2bx，据题意，0，
是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴－
＝
，∴a＋2b＝0.
6．已知f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是（ ）
A．－37B．－29
C．－5D．以上都不对
答案 A
解析 f′（x）＝6x2－12x＝6x（x－2），
∴f（x）在（－2，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减．
∴x＝0为极大值点，也为最大值点．
∴f（0）＝m＝3，∴m＝3.
∴f（－2）＝－37，f
（2）＝－5.
∴最小值是－37，选A.
7．若函数f（x）＝x3－3bx＋3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
A．0＜b＜1B．b＜1
C．b>0D．b＜
答案 A
解析 f（x）在（0，1）内有极小值，则f′（x）＝3x2－3b在（0，1）上先负后正，∴f′（0）＝－3b＜0.
∴b>0.f′
（1）＝3－3b>0，∴b＜1.
综上，b的取值范围为0＜b＜1.
8．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图像可能是（ ）
答案 C
解析 由f（x）在x＝－2处取得极小值可知，
当x<－2时，f′（x）<0，则xf′（x）>0；
当－20，则xf′（x）<0；
当x>0时，xf′（x）>0.
9．已知f（x）＝x3＋px2＋qx的图像与x轴相切于非原点的一点，且f（x）极小值＝－4，那么p，q值分别为（ ）
A．6，9B．9，6
C．4，2D．8，6
答案 A
解析 设图像与x轴的切点为（t，0）（t≠0），
设
注意t≠0，
可得出p＝－2t，q＝t2.∴p2＝4q，只有A满足这个等式（亦可直接计算出t＝－3）．
10．若函数f（x）＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]总有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[2，＋∞）B．[4，＋∞）
C．{4}D．[2，4]
答案 C
解析 f′（x）＝3ax2－3，
当a≤0时，f（x）min＝f
（1）＝a－2≥0，a≥2，不合题意；
当0）（x－
），f（x）在[－1，1]上为减函数，
f（x）min＝f
（1）＝a－2≥0，a≥2，不合题意；
当a>1时，f（－1）＝－a＋4≥0，且f（
）＝－
＋1≥0，解得a＝4.综上所述，a＝4.
11．若f（x）＝x（x－c）2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
答案 6
解析 f′（x）＝3x2－4cx＋c2，
∵f（x）在x＝2处有极大值，
∴
解得c＝6.
12．（2019·河南信阳调研）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f
（2）的值为________．
答案 18
解析 f′（x）＝3x2＋2ax＋b，由题意得
即
解得
或
当a＝－3，b＝3时，f′（x）＝3（x－1）2≥0，f（x）无极值．
当a＝4，b＝－11时，令f′（x）＝0，得x1＝1，x2＝－
.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－
）
－
（－
，1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
∴f（x）＝x3＋4x2－11x＋16，f
（2）＝18.
13．（2019·北京市昌平区一模）若函数f（x）＝
在x＝1处取得极值，则a＝________．
答案 3
解析 f′（x）＝
，由f（x）在x＝1处取得极值知f′
（1）＝0，∴a＝3.
14．已知函数f（x）＝（x－k）ex.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．
答案
（1）减区间（－∞，k－1），增区间（k－1，＋∞）
（2）k≤1时，最小值f（0）＝－k；
1k≥2时，最小值f
（1）＝（1－k）e
解析
（1）f′（x）＝（x－k＋1）ex.
令f′（x）＝0，得x＝k－1.
f（x）与f′（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，k－1）
k－1
（k－1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
－ek－1
所以f（x）的单调递减区间是（－∞，k－1），单调递增区间是（k－1，＋∞）．
（2）当k－1≤0，即k≤1时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）＝－k；
当0由
（1）知f（x）在[0，k－1]上单调递减，在（k－1，1]上单调递增，
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k－1）＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，
所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f
（1）＝（1－k）e.
15．（2015·重庆）已知函数f（x）＝ax3＋x2（a∈R）在x＝－
处取得极值．
（1）确定a的值；
（2）若g（x）＝f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
答案
（1）a＝
（2）g（x）在（－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞）上为增函数
解析
（1）对f（x）求导得f′（x）＝3ax2＋2x，
因为f（x）在x＝－
处取得极值，所以f′（－
）＝0，
即3a×
＋2×（－
）＝
－
＝0，解得a＝
.
（2）由
（1）得g（x）＝（
x3＋x2）ex.
g′（x）＝（
x3＋
x2＋2x）ex
＝
x（x＋1）（x＋4）ex.
令g′（x）＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.
当x<－4时，g′（x）<0，故g（x）为减函数；
当－40，故g（x）为增函数；
当－1当x>0时，g′（x）>0，故g（x）为增函数．
综上，知g（x）在（－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞）上为增函数．
16．（2019·成都诊断）成都市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k>0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．
（1）设A，C两处的距离为x，试将y表示为x的函数；
（2）若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．
答案
（1）y＝
＋
（0（2）b＝25
解析
（1）设点C处受A污染源的污染指数为
，受B污染源的污染指数为
（k>0）．
从而点C处污染指数y＝
＋
（0（2）因为a＝1，所以y＝
＋
.
y′＝k[－
＋
]，
令y′＝0，解得x＝
，
当x∈（0，
）时，函数y单调递减，
当x∈（
，＋∞）时，函数y单调递增．
所以当x＝
时，函数取得最小值．
又此时x＝6，解得b＝25，经验证符合题意．
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