数字信号处理.docx

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数字信号处理

数字信号处理

绪论

1.模拟信号，离散信号，数字信号的定义；

模拟信号：

信号随时间（空间）连续变化，并且幅度值取自连续数据域。

自然界中大部分信号时模拟信号。

离散信号:

信号随时间（空间）以一定规律离散变化，幅度值取自连续数据域。

自然界中这样的信号很少，一般通过对模拟信号的采样形成，

数字信号：

信号随时间（空间）以一定规律离散变化，并且幅度值取自以二进制编码的离散数据域，一般通过对离散信号进行量化得到。

2.数字信号处理的组成；

数字信号处理系统并不是孤立的数字系统，一般以数字处理系统为核心，结合A/D和D/A（数字-模拟）转换器、滤波器和放大器等子系统组成，前置低通滤波器将信号中大于1/2采样频率的高频分量过滤掉，防止采样是出现频谱混叠现象，A/D转换包含采样和量化，采样得倒离散信号，量化后每个离散信号将被数字编码形成数字信号，经过D/A转化后形成跳变的模拟信号必须通过拼花滤波器将信号变成平滑的连续信号。

3.数字信号处理的优点；

1.软件可实现：

纯粹的模拟信号必须完全通过硬件实现，而数字化处理则不仅可以通过微处理器、专用数字器件实现，而且可以通过程序的方式实现。

软件可实现特性带来的出处之一就是处理系统能进行大规模的复杂处理，而且暂用空间极小

2.灵活性强：

模拟信号处理系统调试和修改不便，而数字处理系统的系统参数一般保存在寄存器或存储器中，修改这些参数对系统进行调试非常简单，软件实现尤其如此。

由于数字器件以及软件的特点，数字信号处理系统的复制也非常容易，便于大规模生产。

3.可靠性高：

模拟器件容易受电磁波、环境温度等因素影响，模拟信号连续变化，稍有干扰立即反映。

而数字器件是逻辑器件，一定范围的干扰不会引起数字值得变化，因此数字信号处理系统抗干扰性能强，可靠性高，数据也能永久保存。

4.精度高：

模拟器件的数据表示精度低。

第一章．离散时间信号与系统

1.奈奎斯特定理定义

若要从采样后的信号频谱中不失真的恢复信号，则采样频率 Ωs必须大于等于两倍的原信号频谱的最好截止频率 Ωc，即 Ωs≥2Ωc或fs≥2fc。

输入连续信号在A/D转换前需要经过前置滤波器，其作用是将信号中高于Ωs/2的频率分量滤除才能避免频谱混叠现象。

2.设系统的输入输出关系为y（n）=2x（n+1）+x（n）+3，判断系统是否为线性系统？

是否为时不变系统？

解：

当系统的输入为x1（n）=cx（n）（其中c为常数）时，

该系统的响应为y1（n）=2cx（n+1）+cx（n）+3

而系统应满足齐次性，即cy（n）=c[2x（n+1）+x（n）+3]。

显然cy（n）≠y1（n）

所以，该系统不是线性系统。

是移不变系统。

3.设系统的输入输出关系为y（n）=2sin（nπ/2）x（n）,判断系统是否为线性系,是否为移不变系统.

解：

当系统输入为x1（n）=cx（n）（其中c为常数）时，

由差分方程得到该系统的响应为y1（n）=2csin（nπ/2）x（n），

而线性系统应满足齐次性，即cy（n）=c[2sin（nπ/2）x（n）],

满足cy（n）=y1（n）

说明该系统满足齐次性，下面判断是否满足叠加性。

当系统的输入为x1（n）时，该系统响应为y1（n）=2sin（nπ/2）x1（n）；

当系统的输入为x2（n）时，该系统响应为y2（n）=2sin（nπ/2）x2（n）；

当系统的输入为x3（n）=x1（n）+x2（n）时，该系统响应为

y3（n）=2sin（nπ/2）[x1（n）+x2（n）],

显然满足y3（n）=y1（n）+y2（n）,说明该系统满足叠加性.

因此该系统式线性系统,不是移步变系统。

4.判断系统y（n）=[x（n）]2是否为移不变系统。

解：

设系统的输入为x（n），系统对x（n）的响应为y（n）=[x（n）]2

当系统的输入为x1（n）=x（n-n0）时，

系统的响应为：

y1（n）=[x（n）]2=[x（n-n0）]2=y1（n-n0）

显然，输入输出满足T[x（n-n0）]=y1（n-n0）的关系，说明系统是移不变系统。

5.判断系统y（n）=nx（n）是否为移不变系统。

解：

设系统的输入为x（n）=δ（n），则该系统响应为y（n）=nx（n）=nδ（n）=0

当系统的输入为x1（n）=x（n-1）=δ（n-1），

则系统响应为y1（n）=nx1（n）=nδ（n-1）=δ（n-1）

而y（n-1）=（n-1）δ（n-1）≠y1（n）,因此，该系统不是移不变系统。

6.判断系统y（n）=x（n）+x（-n）是否为移不变系统

解：

设系统的输入为x1（n）=δ（n），则该系统响应为

y1（n）=x1（n）+x1（-n）=δ（n）+δ（-n）=2δ（n）

1/a当系统的输入为x2（n）=δ（n-1）则该系统响应为

y2（n）=x2（n）+x2（-n）=δ（n-1）+δ（-n-1）

而y1（n-1）=2δ（n-1），显然y1（n-1）≠y2（n）因此，该系统不是移不变系统.

7.求双边序列x（n）=a│n│的Z变化，其中a为正实数。

解：

双边序列x（n）=a│n│可以分解为一个左边序列a-nu（-n-1）和移个因果序列anu（n），即

∞∞∞

X（z）=∑a│n│z-n=∑a-nz-n+∑anz-n

n=-∞n=-∞n=0

当收敛域满足a<│z│<1/a时

X（z）=

反之当收敛域不满足a<│z│<1/a时，则双边序列x（n）=a│n│的Z变化不存在。

8.求序列x（n）=an[u（n）-u（n-N）]的Z变化,其中a为正实数。

N为正整数.

解:

x（n）=an[u（n）-u（n-N）]=anu（n）–aNan-Nu（n-N）]

X（z）==

这是一个因果的有限长序列的Z变换。

虽然在X（z）的结果中z=a是极点，但是分子zN－aN中可以分解出z=a的零点，零极相消，收敛域扩大，所以收敛域│z│>0

9.已知序列x（n）的图形如图，试画出下列序列的示意图

图1.41

（1）y=x（n−4）

（2）y=（2n−4）

（4）y=x（n/2−4）

（5）y=x（2n）[δ（n）+δ（n−4）]（6）y=x（2n）*δ（n−4）

10.计算下列序列的Z变换，并标明收敛域。

（1）（1/4）nu（n）

解：

Z（（1/4）nu（n））=,Z>1/4

（2）（1/4）nu（-n-1）

解：

Z（（1/4）nu（-n-1））=，Z<1/4

（3）（1/4）nu（-n）

解:

Z（（1/4）nu（-n））=+1,Z<1/4

（4）（1/4）│n│

解:

（1/4）n=（1/4）nu（n）+（1/4）-nu（-n-1）,

Z（（1/4）│n│）=－,收敛域不存在

（5）（1/4）│n│[u（n）-u（n-N）],其中N为正整数.

解:

（1/4）│n│[u（n）-u（n-N）]=（1/4）│n│u（n）-（1/4）n-N·u（n–N）·4N

Z（（1/4）│n│[u（n）-u（n-N）]）=－4N·,Z>1/4

11.若存在一离散时间系统的系统函数H（z）=

根据下面的收敛域，求系统的单位脉冲响应h（n）,并判断系统是否因果？

是否稳定？

（1）┃z┃>3,

（2）1/3<┃z┃<3,（3）┃z┃<1/3

解：

H（z）==

（1）┃z┃>3,h（n）=3n+1u（n）-2（1/3）nu（n），因果不稳定系统

（2）1/3<┃z┃<3,h（n）=-3n+1u（-n-1）-2（1/3）nu（n），非因果稳定系统

（3）┃z┃<1/3，h（n）=-3n+1u（-n-1）+2（1/3）nu（-n-1），非因果非稳定系统

12.一个因果系统由下面的差分方程描述

y（n）+5/6y（n−1）+1/6y（n−2）=x（n）+2x（n−1）

（1）求系统函数H（z）及收敛域，

（2）系统的单位脉冲响应h（n）

解：

y（n）+5/6y（n−1）+1/6y（n−2）=x（n）+2x（n−1）,

（1+5/6z-1+1/6z-2）Y（z）=（1+2z-1）X（z）

（1）H（z）==,┃z┃>1/2

（2）H（z）==

收敛域为（-1/2，-1/3），∴┃z┃>1/2为因果。

∵z=0，因稳定。

∴┃z┃>1/2既因果又稳定。

h（n）=-9（1/3）nu（n）+10（-1/3）nu（n）

13.若线性移不变移不变离散系统的单位阶跃响应

g（n）=[4/3－3/7（0.5）n＋2/21（－0.2）n]u（n）,

（1）求系统函数H（z）和单位脉冲响应h（n）；

（2）使系统的零状态y（n）=10/7[4/3-3/7（0.5）n+2/21（-0.2）n]u（n），

求输入序列x（n）

（3）若已知激励x（n）=u（n）求系统的稳态响应ys（n）。

解:

（1）g（n）=[4/3－3/7（0.5）n＋2/21（－0.2）n]u（n）z

G（z）=

激励信号为阶跃信号x（n）=u（n）zX（z）=,┃z┃>1

G（z）=H（z）X（z）,H（z）==

h（n）=3/7（0.5）nu（n）+4/7（－0.2）nu（n）

（2）根据题意：

y（n）=10/7g（n），∴x（n）=10/7u（n）

（3）若x（n）=u（n）zX（z）=

Y（z）=X（z）H（z）=

从Y（z）可以判断出稳定分量：

Ys（z）=z-1ys（n）=3/4u（n）

12.已知序列x1（n）=3nu（n）,x2（n）=（3/5）nu（n）,求y（n）=x1（n）*x2（n.）

解：

X1（z）=Z[x1（n）]=z/（z-3）,｜z｜>3

X2（z）=Z[x2（n）]=z/（z-3/5）,｜z｜>（3/5）

根据Z变换的卷积性质，有

Y（z）=X1（z）·X2（z）=z/（z-3）·z/（z-3/5）=（4/5）z/（z-3）+（-1/4）z/（z-3/5）,

｜z｜>3.

因此y（n）=Z-1[Y（z）]=5/4（3）nu（n）-1/4（3/5）nu（n）

13.一个离散时间系统的差分方程如下：

y（n+2）-3y（n+1）+2y（n）=x（n+1）-2x（n）

（1）试求该系统的系统函数H（z）；

（2）若x（n）=u（n）,试求系统的单位阶跃响应y（n）.

解：

（1）对差分方程y（n+2）-3y（n+1）+2y（n）=x（n+1）-2x（n）两边求Z变换得（z2-3z+2）Y（z）=（z-2）X（z）,

即Y（z）=（z-2）/（z2-3z+2）X（z）

所以，系统函数为

H（z）=Y（z）/X（z）=（z-2）/（z2-3z+2）

Z

（2）当激励x（n）=u（n）输入时，该输入信号的Z变换为

x（n）=u（n）X（z）=z/（z-1）

所以Y（z）=（z-2）/（z2-3z+2）·z/（z-1）=z/（z-1）2

因此系统的单位阶跃响应为y（n）=nu（n）

14.已知系统函数为h（n）=0.5nu（n），输入信号为x（n）=u（n）-3u（n-1）+2u（n-2）

求y（n）

x（n）=u（n）-3u（n-1）+2u（n-2）=u（n）-u（n-1）-2u（n-1）+2u（n-2）

=δ（n）-2δ（n-1）

y（n）=h（n）*x（n）=h（n）*[δ（n）-2δ（n-1）]=h（n）-2h（n-1）

=0.5nu（n）-0.5n-1u（n-1）

15.因果系统y（n）-ay（n-1）=x（n）-bx（n-1）

求H（z）系统函数

Y（z）-az-1Y（Z）=X（z）-bz-1X（z）

（1-az-1）Y（z）=（1-bz-1）X（z）

H（z）=Y（z）/X（z）=（1-az-1）/（1-bz-1）

收敛域：

极点z=a,｜z｜>｜a｜

Ps:

若是稳定系统，则｜a｜<1,b任意值。

第二章．傅里叶变换与频谱分析

1.离散时间信号x（n）的傅立叶变换：

X（ejw）=∑x（n）e-jwn,这里w为角频率，其与普通频率f和采样频率fs的关系式如下：

w=2πf/fs.

2.离散信号的傅里叶变换与Z变换的关系：

X（ejw）=X（Z）｜z=ejw.离散信号傅里叶变换存在的条件是信号时收敛的。

3.线性移不变系统的输入和输出信号之间的关系在时域是线性卷积关系，在频域是乘积关系。

系统单位脉冲响应H（ejw）=∑h（n）e-jwn,设输入信号x（n）=ejwn,系统单位脉冲响应为h（n）,则系统的输出y（n）为：

y（n）=H（ejw）ejwn=H（ejw）x（n）

4.设输入信号为3ej0.5πn,求线性移不变系统h（n）的输出y（n）.

y（n）=H（ej0.5π）3ej0.5πn=3ej0.5πnH（ej0.5π）

5.有一个稳定的因果线性移不变系统，其差分方程如y（n）-0.5y（n-1）=x（n），当输入信号x（n）=cos（0.5πn）时，求系统输出y（n）.

解：

两边同时Z变换，得到系统函数H（z）=1/（1-0.5z-1）,｜z｜>0.5

由于收敛于包含单位圆，因此相应的傅里叶变换存在，由H（z）推导出得

H（z）=1/（1-0.5z-jw）=1/（1-0.5cosw+1.5jsinw）

当输入信号x（n）=cos（0.5πn）时，系统的频率响应为H（ej0.5π），相应的幅度相应和相位相应为

｜H（ej0.5π）｜=｜1/（1+0.5）｜=1/（1+1.52）1/2=0.894

θH（w）=-tan-1（0.5）=-0.4636

因此，系统的输出信号y（n）=0.894cos（0.5πn-0.4636）

ps:

y（n）=｜H（ejw0）｜cos（w0n-θH（w0））,输入信号为cos（wn）

6.给定一个线性移不变系统的系统函数为：

H（z）=（1-ejπ/4z-1）（1-e-jπ/4z-1）

求：

（1）系统的频率响应H（ejw）

（2）画出0≤w≤2π以及-π≤w≤2π范围的幅度谱｜H（ejw）｜

（3）当输入信号x（n）=Acos（πn/4）时，求系统输出y（n）.

解：

（1）因为Z=ejw

H（ejw）=（1-ejπ/4e-jw）（1-e-jπ/4e-jw）

（2）

（3）因为y（n）=｜H（ejw0）｜cos（w0n-θH（w0））

Wo=π/4,H（ejw）=（1-ejπ/4e-jπ/4）（1-e-jπ/4e-jπ/4）=0

所以y（n）=0

7.设一个线性移不变系统的系统函数为

H（z）=（1-z-1）/（1+0.8z-1）

求：

（1）系统的零极点是多少；

（2）H（ejw），并画出0≤w≤π范围的幅度谱；

（3）θH（w）。

解：

（1）1-z-1=0，所以z=1为零点；

1+0.8z-1=0，所以z=-0.8为极点；

（2）

（3）θH（w）=-tan-1（w0）

H（ejw）=（1-e-jw）/（1+0.8e-jw）

，

8.对于离散信号x（n），设其傅里叶变换X（ejw）,证明：

∑x（n）x*（n）=（1/2π）∫π-πX（ejw）X*（ejw）dw

证明：

（1/2π）∫π-πX（ejw）X*（ejw）dw

=（1/2π）∫π-πX（ejw）·∑x*（n）（ejwn）dw

=（1/2π）∫π-πX（ejw）·[∑x*（n）（e-jwn）]*dw

=（1/2π）∫π-πX（ejw）·X*（ejw）dw

第三章．离散傅里叶变换与快速算法

1.设有一个离散信号x（n）,其采样频率fs=1000Hz，对它短时窗获取512点信号值，试回答下问题。

（1）如果求512点的DFT，则离散频谱采样点之间的间隔是多少；

（2）如果信号通过补0至2048点，则频率分辨率指标变成多少；

（3）有限长信号补0后其傅里叶变换频谱X（ejw）和DFT离散频谱X（k）会变化吗；

（4）如果信号因为时域采样频率太低倒是频谱混叠，那么，可以通过补0的方法来消除混叠吗。

解：

（1）Δ f=fs/N=1000/512=1.953125H

（2）Δ f=fs/N=1000/2048=0.48825H

（3）补零后：

X（ejw）不变；X（k）变化，变的更加逼近X（ejw）

（4）不能

2.一个频率为6kHz的正弦信号经过40kHz的时域采样形成离散信号，问当计算下列不同点数的DFT时幅度频谱谱峰的位置k分别是多少？

（1）32点DFT

（2）64的DFT

（3）128的DFT

解：

Δ f=fs/N

k=f/Δf=f/（fs/N）=（f/fs）N=（6000/40000）N

（1）N=32,k=6/40·32=4.8,考虑对称位置取k=527

（2）N=64,k=6/40·64=9.6考虑对称位置取k=1054

（3）N=128,k=6/40·128=19.2考虑对称位置取k=19109

3.对以下4个信号计算16个点DFT，设采样频率为12kHz，预测个信号离散幅度频谱谱峰的位置k

（1）x（n）=cos（nπ/7）

（2）x（n）=sin（2nπ/3）

（3）x（n）=cos（3nπ/4）

（4）x（n）=cos（nπ/4）+cos（5nπ/9）

解：

Δw=（2π/N）k=w/Δw=（w/2π）·N

（1）w=π/7,k=（w/2π）·N=（π/7）/2π·16=16/14

k=115

（2）w=2π/3,k=（w/2π）·N=（2π/3）/2π·16=16/3

k=511

（3）w=3π/4,k=（w/2π）·N=（3π/4）/2π·16=6

k=610

（4）w=π/4,k=（w/2π）·N=（π/4）/2π·16=2

k=241214

w2=5π/9,k2=（w/2π）·N=（5π/9）/2π·16=40/9

第四章．无线脉冲相应数字滤波器设计

1.数字滤波器的技术指标：

滤波器的主要性能指标：

1.频带：

包括通带，过渡带，阻带。

2.误差：

通带和阻带误差

2.数字滤波器频率响应：

1.幅频响应平方函数2.相位响应3.群延迟响应

3.IIR滤波器类型：

a.直接I型；b.直接II型；c.级联型；d.并联型；e.全通滤波器。

4.常用滤波器分类及特点

（1）巴特沃兹滤波器

幅度频率响应在通带内具有最大平坦的特性，并且在通带和阻带内，随着频率的增加而单调地下降。

（2）切比雪夫滤波器

I型特点是在通带内有等滤纹变化，阻带内单调下降。

II特点在通带内单调下降，阻带内有等波纹变化。

（3）随圆滤波器

幅度频率响应在通带和阻带内均匀等波纹的，且与上述两种滤波器相比，过渡带的下降斜度更大。

5.模拟滤波器到数字滤波器的转换方式及其优点

（1）.脉冲响应不变法

优点是模拟频率到数字频率的转换时线性的，即w=ΩTs，用此方法设计的滤波器将很好的重现模拟滤波器的频率特性。

缺点是会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器，如低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计，因为混叠对高频段影响较大。

（2）.双线性变换法

双线性变换法设计的数字低通滤波器，其频率特性曲线在w=π处｜H（ejw）｜=0,这种Ω与w非线性变换关系消除了频率混叠现象，但是其频率特性曲线与原模拟低通滤波器特性曲线相比，有较大失真，因此双线性变换只适合分段常数滤波器设计。

6.IIR滤波器的设计步骤：

（1）将数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，主要是Wp，Ws。

（2）根据通带阻带的衰减，Ωp，Ωs，解析两个方程。

（3）根据两个方程解出巴特沃兹滤波器的阶数n。

（4）根据两个方程解出巴特沃兹滤波器的频率Ωc。

（5）根据两个方程解出巴特沃兹滤波器的N个极点。

（6）根据两个方程解出巴特沃兹滤波器的系统函数Has。

（7）根据脉冲响应不变法，将模拟巴特沃兹滤波器的N个极点，映射到数字Z平面上，得到数字滤波器的系统函数H（z）。

第五章．有限脉冲响应数字滤波器设计

1.线性相位是什么？

有什么影响？

如何来实现？

（1）.相位是线性的

（2）.仅仅引起一个延时

（3）.只要满足中点对称条件h（n）=h（N-1-n），其相位始终具有线性相位特征。

2.窗函数设计原理：

实质是一种IIR滤波器的时域逼近，通过一个短时窗w（n）,n=0~N-1，将IIR的单位脉冲响应hi（n）截断有限长，保留主要能量部分而形成有限长单位脉冲响应h（n）,从而完成FIR数字滤波器的设计。

3.FIR设计步骤：

（1）设定指标：

截止频率fc，过度带宽度Δf，阻带衰减A；

（2）求理想低通滤波器（LPF）的时域响应hd（n）；

（3）选择窗函数w（n）,确定窗长N；

（4）将hd（n）右移（N-1）/2点，并加窗获取线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h（n）；

（5）求FIR的频率响应H（ejw），分析是否满足指标，若不满足，转（3）继续选择，否则继续。

4.IIR 与FIR滤波器对比：

它们各有特点，可以由实际应用时的要求，从多方面考虑来加以选择。

（1）. 在相同的技术指标下, IIR滤波器由于存在着输出对输入的反馈，因而可用比FIR滤波器较少的阶数来满足指标的要求，这样一来所用的存储单元少，运 算次数少，较为经济。

（2）. FIR滤波器可得到严格的线性相位, 而IIR滤波器则做不到这一点，IIR滤波器选择性愈好则相位的非线性愈严重。

（3）. FIR滤波器主要采用非递归结构，因而从理论上以及实际的有限精度的运算中 都是稳定的。

IIR滤波器必须采用递归的结构, 极点必须在z平面单位圆内才能稳定，这种结构，运算中的四舍五入处理, 有时会引起寄生振荡。

（4）. FIR滤波器，由于冲激响应是有限长的，因而可以用快速傅里叶变换算法 ，这样运算速度可以快得多，IIR滤波器则不能这样运算。

（5） .从设计上看，IIR 滤波器可以利用模拟滤波器设计的现成的闭合公式，数据和表格，因而计算工作量较小，对计算工具要求不高。

FIR滤波器则一般没有现成设计公式，窗函数法,只给出窗函数的计算公式，但计算通带、阻带衰减仍无显示表达式。

一般FIR滤波器设计只有计算