投资学讲义第3章2概要.docx
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投资学讲义第3章2概要
3.2资产组合理论第3章投资组合理论现代投资理论的产生以1952年3月Harry.M.Markowitz发表的《投资组合选择》为标志1962年，WillianSharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（Capitalassetpricingmodel，CAPM）1976年，StephenRoss提出了替代CAPM的套利定价模型（Arbitragepricingtheory，APT）。
上述的几个理论均假设市场是有效的。
人们对市场能够真正地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，EugeneFama在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficientmarkethypothesis，EMH）天津大学管理与经济学部投资学23.2资产组合理论基本假设
（1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）
（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。
（3）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。
（4）投资者希望持有有效资产组合。
天津大学管理与经济学部投资学33.2.1组合的可行集和有效集可行集与有效集可行集：
资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。
有效组合（Efficientportfolio）：
给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。
每一个组合代表一个点。
有效集（Efficientset）：
又称为有效边界（Efficientfrontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。
天津大学管理与经济学部投资学4两种风险资产构成的组合的风险与收益若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为rp=w1r1＋w2r222σp＝w12σ12+w2σ22+2w1w2σ1222＝w12σ12+w2σ2+2w1w2σ1σ2ρ12注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。
其他所有的可能情况，在这两个边界之中。
由于w1＋w2=1，则rp（w1=w1r1＋（1−w1r2σp（w1＝w12σ12+（1−w12σ22+2w1（1−w1σ1σ2ρ12由此就构成了资产在给定条件下的可行集！
天津大学管理与经济学部投资学5天津大学管理与经济学部投资学61
3.2.2两种完全正相关资产的可行集两种资产完全正相关，即ρ12＝1，则有组合的风险－收益二维表示收益rpσp（w1＝w1σ1+（1−w1σ2rp（w1=w1r1＋（1−w1r2当w1＝1时，σp＝σ1，rp=r1.当w1＝0时，σp＝σ2，rp=r2所以，其可行集连接两点（r1，σ1）和（r2，σ2）的直线。
天津大学管理与经济学部投资学风险σp7天津大学管理与经济学部投资学8命题3.1：
完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。
证明：
由资产组合的计算公式可得σp（w1=w1σ1+（1−w1σ2w1=（σp－σ2/（σ1−σ2rp（σp=w1r1+（1−w1r2=（（σp－σ2/（σ1−σ2r1+（1−（σp－σ2/（σ1−σ2r2=r2−r1−r2则从而两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。
收益Erp（r1,σ1σ1−σ2σ2+σ1−σ2r1−r2σp投资学9天津大学管理与经济学部（r2,σ2投资学风险σp10故命题成立，证毕。
天津大学管理与经济学部3.2.3两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有σp（w1=w12σ12+（1−w12σ22－2w1（1−w1σ1σ2=|w1σ1−（1−w1σ2|rp（w1=w1r1＋（1−w1r2命题3.2：
完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。
证明：
σ当w1≥σ1+σ2σp（w1=w1σ1−（1−w1σ2，则可以得到w1=f（σp，从而σp＋σ2σp＋σ2r1＋（1−rσ1+σ2σ1+σ22σ1+σ2r1−r22时σ2时,σp=0σ1+σ2σ2当w1≥时，σp（w1=w1σ1−（1−w1σ2σ1+σ2σ2当w1≤时，σp（w1=（1−w1σ2−w1σ1σ1+σ2当w1=天津大学管理与经济学部投资学11rp（σp==σp+σ1+σ2投资学r1−r2σ2+r212天津大学管理与经济学部2
两种证券完全负相关的图示同理可证当w1≤σ2时,σ1+σ2σp（w1=（1−w1σ2−w1σ1，则rp（σp=−r1−r2r−rσp+12σ2+r2σ1+σ2σ1+σ2收益rp（r1,σ1σ1+σ2r−r21σ2+r2（r2,σ2风险σp命题成立，证毕。
天津大学管理与经济学部投资学13天津大学管理与经济学部投资学143.2.4两种不完全相关的风险资产的组合的可行集总结：
在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集收益Erp当1>ρ>−1时rp（w1=w1r1＋（1−w1r22σp（w1＝w12σ12+（1−w12σ2+2w1（1−w1σ1σ2ρ12（r1,σ1ρ=1尤其当ρ＝0时σp（w1＝wσ+（1−w1σ2121222σ1+σ2r−r21σ2+r2（r2,σ2ρ=0风险σp这是一条二次曲线，事实上，当1>ρ>−1时，可行集都是二次曲线。
ρ=-1天津大学管理与经济学部投资学15天津大学管理与经济学部投资学DynamicWeights.xls16Figure：
PortfolioExpectedReturnasafunctionofStandardDeviation最小方差组合（最低风险组合）在可行集中，方差最低的投资机会，成为最低风险组合或最小方差组合。
2minσP=w12σ12+w22σ22+2w1w2ρ12σ1σ2s.tw1+w2=1w1，w2≥0天津大学管理与经济学部投资学17天津大学管理与经济学部投资学183
2minσp=w12σ12+w22σ22+2w1w2ρ1,2σ1σ22.最小方差组合最小方差组合:
ρ=.2（.22-（.2（.15（.2w1=（.152+（.22-2（.2（.15（.2w1+w2=1证券1E（r1=.10证券2E（r2=.14σ1=.15ρ=.2σ2=.2012σ2-Cov（r1r22w1=σ1+σ2-2Cov（r1r222投资学19w1=.6733w2=（1-.6733=.3267天津大学管理与经济学部投资学20w2=（1-w1天津大学管理与经济学部最小方差组合ρ=-.3rp=.6733（.10+.3267（.14=.1131（.22-（.2（.15（.2w1=（.152+（.22-2（.2（.15（-.32（.2（.15（-σp=[（.67332（.152+（.32672（.22+2（.6733（.3267（.2（.15（.2]1/2w1=.6087w2=（1-.6087=.3913σp=[.0171]1/2=.1308投资学21天津大学管理与经济学部投资学22天津大学管理与经济学部最小方差组合ρ=-.3rp=.6087（.10+.3913（.14=.11573种风险资产的组合二维表示一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。
收益rp423σp=[（.60872（.152+（.39132（.22+2（.6087（.3913（.2（.15（-.3]1/22（.6087（.3913（.2（.15（1/2σp=[.0102]1/2=.1009投资学231风险σp天津大学管理与经济学部投资学24天津大学管理与经济学部4
n种风险资产的组合二维表示类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。
收益rp总结：
可行集的两个性质1.在n种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域2.可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。
天津大学管理与经济学部投资学25风险σp天津大学管理与经济学部投资学26不可能的可行集收益rpBA3.2.5风险资产组合的有效集在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合。
其特点是：
在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。
我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；风险σp天津大学管理与经济学部投资学27由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。
投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。
天津大学管理与经济学部投资学28马克维茨的数学模型均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里·马克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边界。
通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：
害怕风险和收益多多益善。
因此，根据均值方差准则可以转化为一个优化问题，即
（1）给定收益的条件下，风险最小化
（2）给定风险的条件下，收益最大化天津大学管理与经济学部投资学293.3多种风险资产的有效边界E（r有效边界最小方差组合单个资产可行集St.Dev.天津大学管理与经济学部投资学305
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Figure:
TheMinimum-Variance
FrontierofRiskyAssets
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1111
mins.t.
1
nn
i
j
ij
ijn
ii
in
i
iwwwrcw
σ
======∑∑∑∑11111212...c-=（,,...,w=（,,...,,nnnnT
nnrrrwwwσσσσ⎡⎤
⎢⎥∑=⎢⎥⎢⎥⎣⎦#%#"r若已知资产组合收益、方差协方差矩阵和
组合各个资产期望收益向量,求解组合中资产权重向量则有
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对于上述带有约束条件的优化问题,可以引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化问题。
构造拉格朗日函数如下
11
1
1
L（（1
nnnn
ijijiiiijiiwwwrcwσλμ=====−−−−∑∑∑∑上式左右两边对wi求导数,令其一阶条件
为0,得到方程组
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111
122121000n
jjjnjjjn
jnjnjn
L
wrwL
wrwL
wrwσλμσλμσλμ===∂⎧=−−=⎪∂⎪⎪∂=−−=⎪
∂⎨⎪⎪
⎪∂=−−=⎪
∂⎩∑∑∑#和方程
11
1n
iiiniiwrcw==⎧=⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩∑∑天津大学管理与经济学部
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这样共有n+2方程,未知数为wi（i=1,
2,…,n、λ和μ,共有n+2个未知量,其解是存在的。
注意到上述的方程是线性方程组,可以通过线性代数加以解决。
例:
假设三项不相关的资产,其均值分别为1,2,3,方差都为1,若要求三项资产构成的组合期望收益为2,求解最优的权重。
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36
3
1111
132********133
12313
1231
020302321jjjjjjjjjiiiiiL
wrwwLwrwwLwrwwwrwwwwwwwσλμλμσλμλμσλμλμ=====∂⎧=−−=−−=⎪∂⎪⎪∂=−−=−−=⎪∂⎪
⎪∂⎪=−−=−−=⎨∂⎪⎪=++=⎪⎪⎪⎪=++=⎪⎩∑∑∑∑∑1
000
1
00
1⎡⎤⎢⎥∑=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由于1=（1,2,3,2
Tc=r
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12301/3
1/31/31/3
wwwλμ=====课外练习:
假设三项不相关的资产。
其均值分别为1,2,3,方差都为1,若要求三项资产构成的组合期望收益为1,求解最优的权重。
由此得到组合的方差为
2
13
σ=
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3.2.6最优风险资产组合
1.由于假设投资者是风险厌恶的,因此,最
优投资组合必定位于有效集边界上,其他非有效的组合可以首先被排除。
2.虽然投资者都是风险厌恶的,但程度有所
不同,因此,最终从有效边界上挑选那一个资产组合,则取决于投资者的风险规避程度。
3.度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效
边界共同决定了最优的投资组合。
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不同理性投资者具有不同风险厌恶程度
由无差异曲线族的陡峭程度来反映。
无差异曲线越陡峭,投资者越厌恶风险。
图a代表的投资者与图b代表的投资者相比,风险水平增加相同幅度,图a代表的投资者要求收益率的补偿要远远高于图b所代表的投资者。
因此,图a对应的投资者更加厌恶风险。
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最优组合的确定
最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切点O处。
由G点可见,对于更害怕风险的投资者,他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。
天津大学管理与经济学部投资学41
以上我们讨论了由风险资产构成的组合,但未讨论资产中加入无风险资产的情形。
假设无风险资产的具有正的期望收益,且其方差为0。
将无风险资产加入已经构成的风险资产组合（风险基金中,形成了一个无风险资产+风险基金的新组合,则可以证明:
新组合的有效前沿将是一条直线。
3.3资产配置与最优风险资产组合
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3.2资本在风险资产与无风险资产之间配
置
资产配置是构建投资组合的重要组成部分。
它可以看成一个无风险资产与一个风险证券组合的组合。
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命题3.3:
一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。
11111111（1（1
fppf
rrwwrrwrwrσ−=+−证明:
假定风险组合（基金已经构成,其期望收益为,方差为,无风险资产的收益为,方差为0。
为风险组合的投资比例,为无风险证券的投资比例,则组合的期望收益为
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p11
11111
11
（2
12（
（1,ppfpffpf
fwrrrrrrrrrσσσσσσσσσ=−=
+−+−组合的标准差为
由（和（可得=可以发现这是一条以为截距以为斜率的直线。
命题成立,证毕。
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rf=7%σf=0%E（rp=15%σp=22%y=75%inrp
（1-y=25%inrf
案例无杠杆组合与杠杆组合
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c
=.75（.22=.165or16.5%
Ify=.75,then
c=1（.22=.22or22%
Ify=1
c=（.22=.00or0%
Ify=0
σσσ
无杠杆组合
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以无风险利率借入,投资于股票（风险资产50%杠杆
rc=（-.5（.07+（1.5（.15=.19σc=（1.5（.22=.33
杠杆组合
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资产配置线
P
F
S=8/22
E（rp-rf=8%
σ
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P
F
σ
c
E（rc=13%
C
3.2不同的资产配置组合可行集:
CAL
投资者所有可行的风险投资组合的期望收益与风险构成的直线,称为资本配置线（CapitalAllocationLine,CAL
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最优资本配置
投资者的效用函数:
A是风险厌恶系数,整个资产组合期望收益:
全部资产组合的方差
投资者试图通过选择风险资产的最优配置y来使效用最大化
由微分的知识,令导数为0,得到
风险资产的比例由A值决定
最优配置与风险厌恶水平成反比,与风险溢价成正比。
2
（0.005UErAσ=−（（（
CfpfErryErr=+−22
2C
P
yσσ
=222
（0.005（（0.005CCfpfP
MaxUErAryErrAyσσ=−=+−−*2
（0.01Pf
P
ErryAσ−=
2
（0.01pfP
UErrAyσ′=−−天津大学管理与经济学部
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在整个投资组合中,较高的风险厌恶水平配置较高比例的无风险资产
较低的风险厌恶水平配置较高比例的风险资产
对于高风险高收益的接受程度决定杠杆组合的比例
风险厌恶与资本配置
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风险厌恶与资产配置
E（r
σ
7%
P
贷
借
σ
p=22%
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借贷利率不一时的CAL
E（r
σ
9%7%
S=.36
S=.27
P
σp=22%
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3.4含有无风险资产的资产配置线
CAL
M
E（r
CAL（最小方差
CAL（A
CAL（PPA
F
PP&FA&F
MAG
P
M
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E（r
F
rf
A
P
Q
BCAL
St.Dev
3.5包含无风险资产的有效边界
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DeterminationoftheOptimal
OverallPortfolio
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TheProportionsoftheOptimal
OverallPortfolio
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3.6最优全部资产组合的决定
最优的资产配置线
¾最大化过rf切线的斜率,则得到最优的资产配置
线。
最优风险资产组合
¾最优资产配置线与风险资产组合的有效边界相
切的点,即为最优风险资产组合。
max（（/..
1
ppfp
i
i
SErrstw
σ=−=∑天津大学管理与经济学部投资学59
3.6最优全部资产组合的决定
完成一个完整的资产组合的步骤:
¾1确定所有各类证券的收益特征（例如期望收益、方
差、斜方差等。
¾2确定风险资产组合:
a.计算最优风险资产组合P;
b.运用步骤（a中确定的权重计算资产组合P的资产。
¾3把资金配置在风险资产组合和无风险资产上:
a.计算资产组合P（风险资产组合和无风险资产的权重;
b.计算出完整的资产组合中投资于每一种资产和无风险资产上的投资份额。
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分离定理
无论投资者的偏好如何,直线FM上的点就是最优投资组合。
资产组合选择问题可分为两项相互独立的工作。
第一项工作是决定最优风险资产组合。
第二项工作是根据个人的偏好,决定资本在无风险资产和风险资产组合中的分配。
所有的投资者,无论他们的风险规避程度如何不同,都会将切点组合（风险组合与无风险资产混合起来作为自己的最优风险组合。
因此,无需先确知投资者偏好,就可以确定风险资产最优组合。
风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M,少投资无风险证券F,反之亦反。
分离定理对组合选择的启示若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capitalallocationdecision）和资产选择决策（Assetallocationdecision）。
资本配置决策：
考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。
资产选择决策：
在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。
由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。
61天津大学管理与经济学部投资学资产组合理论的优点首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。
分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。
单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。
从单个证券的分析，转向组合的分析天津大学管理与经济学部投资学62资产组合理论的缺点当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。
解的不稳定性。
重新配置的高成本。
因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法，这就是CAPM。
天津大学管理与经济学部投资学63最优资产组合选择所需数据计算最优资产组合的基础数据计算量大。
如果n=100，则需要100个期望收益的估计值100个方差的估计值4950个协方差估计值计：
5150个估计值天津大学管理
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