复数的三角形式与乘除运算.docx

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复数的三角形式与乘除运算

复数的三角形式及乘除运算

一、主要容：

复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义

二、学习要求：

1熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值

2•深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式

3•能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的围（最值）

4•利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题

5•注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法

三、重点：

复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用

四、学习建议：

1•复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的

前面已经学习过了复数的另两种表示•一是代数表示，即Z=a+bi（a,b€R）.二是几何表示，复数Z既可以用复平面上的点Z（a,b）表示，也可以用复平面上的向量来表示•现在需要学习复数的三角表示•既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r,辐角为0,则Z=r（cos0+isin0）（r>0）.

既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有在的联系并能够进行互化

代数形式r=三角形式

Z=a+bi（a,b€R）Z=r（cos0+isin0）（r>0）

复数三角形式的结构特征是：

模非负，角相同，余弦前，加号连•否则不是三角形式•三角形式中0应是复数

Z的一个辐角，不一定是辐角主值•

五、基础知识

1）复数的三角形式

①定义：

复数Uz=a+bi（a,b€R）表示成r（cos0+isin0）的形式叫复数z的三角形式。

即z=r（cos0

+isin0）

②非零复数z辐角0的多值性。

唯一性：

复数z的辐角主值是确定的，唯一的。

z

r

④不等于零的复数的模

5z=0时，其辐角是任意的。

6复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。

（求法）

这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。

因此复数化三角式是复数运算中极为重要的容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。

辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。

2）复数的向量表示

显然ozHZ1Z2

贝Vargzi=/xozi=91

argZ2=/xoz2=92

argz（Z2—zi）=argz=/xoz=9

3）复数运算的几何意义

主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化

女口zi=r1（cos9i+isin91）Z2=r2（cos92+isin92）

①乘法：

z=zi•Z2=r1•r2[cos（9什92）+isin（9什92）]

如图：

其对应的向量分别为0乙oz2oz

<1>若92>0则由|oz,|逆时针旋转92角模变为0乙的「2

倍所得向量便是积Z1•Z2=Z的向量Ioz|。

<2>若92<0则由向量|。

乙顺时针旋转|2角模变为

为此，若已知复数Z1的辐角为a,Z2的辐角为B求a+B时便可求出Z1-Z2=zaZ对应的辐角就是a+3这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法zZ1Z2-Zl旦[cos（12）isin（12）]（其中z2^0）

Z2「2

除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下:

<1>20时oz1顺时针旋转2角。

<2>20时oz1逆时针旋转|2角

例1.下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

（1）Z1=-2（cos9+isin9）2）Z2=cos-isin9（3）Z3=-sin9+icos9

⑷Z4=-sin-icos9（5）Z5=cos60+isin30°

分析:

由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向•变形时，可按照如下步骤进行：

首先确定复数

Z对应点所在象限（此处可假定9为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角•此步骤可简称

为定点t定名t定角”这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率

解：

（1）由模非负"知，不是三角形式，需做变换：

Zi=z（-cos仓sin0）

复平面上Zi（-2cos®2sin在第三象限（假定0为锐角），余弦-cos0已在前，不需再变换三角函数名称,

因此可用诱导公式"n+将"0变换到第三象限.•••Zi=z（-cos-isin0）=2[cos（n+0）+isin（n+0）]

（2）由-加号连”知，不是三角形式

复平面上点Z2（cos-sjn在第四象限（假定0为锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2-n或"0将0变换到第四象限.

•-Z2=cos-isin0=cos（）+isin（0或Z2=cos-isin0=cos（20）+isin（2-0n考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.

（3）由“余弦前”知，不是三角形式

复平面上点Z3（-sin0,cos在第二象限（假定0为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式

“+将”变换到第二象限.

•Z3（-sin,cos）=cos（+）+isin（+）

同理（4）Z4=-sin-icos0=cos（0n+isin（-0n

（5）Z5=cos60+isin30=+i=（1+i）=（cos+isin）=（cos+isin）

小结:

对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了定点t

定名t定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题

例2.求复数Z=1+cos0+isin0（n<0的模与辐角主值.

分析:

式子中多3个“1；只有将“1消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

解:

Z=1+cos0+isin0=1+（2cb$）+2isincos=2cos（cos+isin）

（1）

n<0<2n•<

•

（1）式右端=-2cos（-cos-isin）=-2cos[cos（n+）]+isin（n+）]

•r=-2cos,ArgZ=n++2kn（kZ）

■/<

小结：

（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos,argZ=或ArgZ=

错误之处在于他们没有去考虑0角围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三

角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cos0+isin0（n<0<2=n+cos0isin0（n<等类似问题.

例3.将Z=（n<0<3化）为三角形式，并求其辐角主值.

分析:

三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”下.一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.

解：

====cos20+isin20

Tn<0<3<20<6n,

•n<2-4n<2卩二argZ=20-4n

小结:

掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其

与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，

举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itg0,tg0-+cti,gi0等.

2•复数Z的模|Z|的几何意义是：

复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是：

复平面上两点Z1,Z2之间距离.辐角几何意义是：

以x轴正半轴为角始边，以向量所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0,2n围的辐角称辐角主值，记为argZ.

要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.

例4.若Z€c,|Z-2|w；求|Z|的最大，最小值和argZ围.

解：

法一，数形结合

由|Z-2|w,知Z的轨迹为复平面上以（2,0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一

点到原点的距离.

显然1w|Z|w3,.|Z|max=3,|Z|min=1,

另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点，由|CA|=1,|OC|=2知

/AOC=/BOC=，二argZ€[0,]U[n,2n）

法二:

用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi（x,y€R）

则由|Z-2|w得（x-2）2+y2<1,

•••|Z|=w=,

•••（x-2）2+y2w1,.・.（x-2）2w1,.・.-1wxw1,.・.1wXw3,

•1w4x-3w9,•1w|Z|w3.

小结:

在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通

过分析与比较都一目了然.

例5.复数Z满足arg（Z+3）=n求|z+6|+|z-3i|最小值.

分析:

由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.

解法一:

由arg（Z+3）=n知Z+3的轨迹是一条射线OA，/xOA=n而

|Z+6|+|Z-3i|=|（z+3）-（-3）|+|（Z+3）-（3+3i）|

将B（-3,0）与C（3,3）连结，BC连线与OA交点为D,取Z+3为D点，表示复数时，

|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3,•所求最小值=3.

法二：

由arg（Z+3）=n，知Z+3的轨迹是射线OA，贝UZ轨迹应是平行于OA，且过点（-3,0）的射线BM,

•|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P（-6,0）和点Q（0,3）距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，

|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3,

•所求最小值=3.

小结:

两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方

法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便

例6.已知|Z-2i|w求arg（Z-4i）最大值.

解：

•••|Z-2i|w1,点Z轨迹是以（0,2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z,连Z与点（0,4）得一以（0,4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，贝UB为其对应的辐角主值，显然arg（Z-4i）最大

值为n.

3.两个复数相乘,积的模等于模的积,辐角为两辐角之和,其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.

两个复数相除,商的模等于模的商（除数不为零）,辐角为两辐角之差,其几何意义同乘法.

由复数三角形式乘除运算的几何意义,可解决向量或图形的旋转问题,如等腰、等边三角形、直角三角形,平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.

复数三角形式较之代数形式,在乘除运算中非常方便,可顺利解决多项相乘（乘方）,相除及乘除混合运算.

例7.若与分别表示复数Z1=1+2i,Z2=7+i,求/Z2OZ1并判断△OZZ2的形状.

解:

欲求/Z2OZ1，可计算

Z2OZ1=且=,

由余弦定理，设|OZ1|=k,|OZ2|=2k（k>0）|Z1Z2|2=k2+（2k）2-2k2kcos=3k2

•|Z1Z2|=k,而k2+（k）2=（2k）2,「・△OZZ2为有一锐角为60°勺直角三角形.

小结:

此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便.

例&已知直线I过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1,0）和B（0,8）关于

l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.

解:

如图，建立复平面x0y，设向量、对应复数分别为

x1+y1i,x2+y2i.

由对称性，|0A'|=|0A|=1,|0B'|=|0B|=8,

二X2+y2i=（xi+yii）8i=-8yi+8xii设抛物线方程为y2=2px（p>0）则有yi2=2pxi,y22=2px2,

二xi=,yi2=p2,又|OA'|=i,

•（）2+p2=i,•p=或-（舍）

•抛物线方程为y2=x，直线方程为:

y=x.

小结:

对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效•尤其涉及到特殊

位置，特殊关系的图形时，尤显其效•

五、易错点

i•并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值•如复数零的模为0,辐角主值不确定•

2.注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值•

ArgZ=argZ+2kn（k€Z）,argZ€[0,2n）辐角主值是[0,2曲）辐角，但辐角不一定是辐角主值•

3.复数三角形式的四个要求：

模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可•任何一个不满足，就不是三角

形式•

4.注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向

六、练习

i.写出下列复数的三角形式

（i）ai（a€R）

（2）tg0+i（<0

2.设Z=（-3+3i）n,n

3.在复平面上A,参考答案：

€N，当Z€R时，n为何值？

B表示复数为a,3（a且03=（i+i），判断AAOB形状，并证明SaAOB=|d|2

1.（i）ai=

（2）tg0+i（<0）n-[cos（n0）+isin（-n）]

（3）-（sin-cos0）=[cos（+0）+isin（+0）]

2.n为4的正整数倍

3.法一一:

Ta^,03=（i+i）a

•=i+i=（cos+isin）,AOB=,

•••分别表示复数a,禺a

由3-a=a,i得=i=cos+isin,

•/OAB=90,•△AOB为等腰直角三角形

法二：

•••||=|a|,忤1=3ai|=|•归|

又11=13l=l（i+i）a2=『a|ia+|a=2|a=||2

ll=la|

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•△AOB为等腰直角三角形，•Saaob=||

选择题

2

i.若复数z=（a+i）的辐角是，则实数a的值是（）

3.设n<0<,则复数的辐角主值为（）

2n-30

B30-2n

C30

4.

复数cos+isin经过n次乘方后，所得的幕等于它的共轭复数，则n的值等于（）

A、3

B、

12

C6k-1（k

€Z）

z为复数,

（）'z-3'

=（）

|z+3'（）-1的图形是（

）

A、直线

r

B、

半实轴长为1的双曲线

D6k+1（k€Z）

5.

复数三角形式的运算疑难问题解析

1.复数的模与辐角：

Z1|•|Z2|

⑴复数模的性质：

|Z1Z2|=

⑵辐角的性质：

积的辐角等于各因数辐角的和.

商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

一个复数n次幕（n€N）的辐角等于这个复数辐角的n倍.

注意：

（1）辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点.如下面两个问题：

若arg（2-i）=aarg（3-i）=3求a+的值.（a+€（3n4n））

若arg（2-i）=aarg（3-i）=，求arg[（2-i）（3-i）]的值.

（2）两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差

2.关于数的开方

（1）复数的开方法则：

r（cos0+isin的）n次方根是

几何意义:

设对应于复平面上的点，则有：

所以，复数z的n次方根，在复平面表示以原点为中心的正n边形的n个顶点.

（2）复数平方根的求法．

求-3-4i的平方根.

解法一利用复数代数形式•设-3-4i的平方根为x+yi（x,y€R），则有

（x+yi）2=-3-4i,即（x2-y2）+2xyi=-3-4i,由复数相等条件，得

•••-3-4i的平方根是±1-2i）.

法二利用复数的三角形式.

3．复数集中的方程．

关于实系数的一元二次方程的解法：

设ax2+bx+c=0（a工,a,b,c€R,xi,x2为它的两个根）

（1）当厶=b2-4ac》时，方程有两个实数根当厶=b2-4acv0时，方程有一对共轭虚根

（4）二次三项式的因式分解：

ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）

关于复系数的一元二次方程的解法：

设ax2+bx+c=0（a工,a、b、c€C,且至少有一个虚数，xix2为它的两

个根）

⑷二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a（x-xi）（x-x2）仍然适用.

关于二项方程的解法

xn=b（b€C）的形式,

形如anxn+ao=O（ao,an€C且昂工（的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成因此都可以通过复数开方来求根.

可以充分利用复数z的整体性质,复数z的三种表示方法及其转换来解方程.

已知方程X2-4x+p=0两虚数根为a、且|a3|=2数p的值.

解法1•••实系数一元二次方程虚根共轭设a=a+b,

3=ebi,（a,b€R）/.a+3=2a=4/•a=2

又•••Ia3|=2,•••|2bi|=2得b=±1

即两根为2+i,2-i由韦达定理得：

p=（2+i）（2-i）=5

法2由韦达定理可得：

a+3=,a3=p

于是I-32=|（哪）=|（a+3）3I=-4p|=4,即|4-p|=1

又=42_4p<0p>4,/•p-4=1,得p=5

说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别．

因为丨a31

一等式成立．若有两个虚根则上述等式不成立．

◎ca）因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰.已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，数a的值．

分析已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故数a要注意分域讨论.

解⑴若所给方程有实根则△=（3a）2-4l（a2-a）=a2+8a>0,即av-8或a>0

由条件得根必为1或-1，

①将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解．

即a2-a-2=0,•••a=-1或a=2（舍）

已知方程x2-（2i-1）x+3m-i=0有实数根，数m．

分析数m的围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数．利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来数m均可以．现仅介绍一种方法．

解•/x,m€R,方程变形可得，（x2+x+3m）-（2x+1）i=0

复数例题讲解与分析例1．已知x,y互为共轭复数，且（x+y）2-3xyi=4-6i,求x,y.

［思路1］：

确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。

［解法1］:

设x=a+bi（a,b€R）,则y=a-bi,代入原等式得：

（2a）2-3（a2+b2）i=4-6i.

或或或，

•••或或或。

［思路2］:

“x,y互为共轭"含义？

fx+y€R,xy€R,则（x+y）2-3xyi=4-6i.

［解法2］:

■/x=,•x+y€R,xy€R,•由两复数相等可得：

，

•由韦达定理可知：

x,y同是方程：

z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根，分别解两个一元二次方程则得x,y……（略）。

例2.已知z€C,|z|=1且z2=1，则复数（）

A、必为纯虚数B、是虚数但不一定是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数

［思路分析］:

选择题，从结论的一般性考虑，若z=±1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷

举验证不能得出一般结论只能推演

解：

［法1］设z=a+bi,a,b€R,a2+b2=1,a工0.

则===€R,故，应选C。

［法2］设z=cos0+isin0€（R,且0^kn,+）

则===€R。

［法3］tz=lzl2,•••当|z|=1时有z=1,

•===€R.

［法4］•••当|z|=1时有z=1,

•==€R.

［法5］•••复数z为实数的充要条件是z=,

而（）=,又•/|z|=1时，=,

•==，•€R。

［评注］:

复习中，概念一定要结合意义落实到位，一方面深化理解（比如复数定义：

形如a+bi（a,b€R）的

数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；……。

）

同时对一些概念的等价表达式要熟知。

（比如：

z=a+bi€Rb=0（a,b€R）z=z2>0

z=a+bi是纯虚数a=0且b丰0（a,€R）z+=0（z丰仍0;.）

在面对具体问题时要有简捷意识（比如该例方法1，有同学可能会在算到时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行），多方理解挖掘题目立意。

例3.求使关于x的方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.

［思路分析］：

根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。

解：

设x0为方程的一个实根，则有

x02+mx0+2+（2x0+m）i=0，解得：

m=±2。

例4.设z€C，arg（z+2）=,arg（z-2）=,求z。

［思路分析］:

常规思路，设z=a+bi,由已知列关于a,b的方程求解；数形结合思想，由题设可知z+2对应的

点A在射线OA上，/AOX=,z-2对应的点B应在射线OB上，

/BOX=,z对应的点Z应在AB中点上，|AB|=4,AB//Ox轴，/AOB=,

故而易得：

z=-1+i.

解：

（略）

例5.设x,y€R,z1=2-x+xi,z2=y-1+（-y）i,

已知|z1|=|z2|