变式训练2 为选拔运动员参加比赛,测得7名选手的身高(单位:
cm),其茎叶图分布为:
记录的平均身高为177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数字记为x,那么x的值为( )
A.5B.6C.7D.8
例3 甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件,现在从中各抽测10个,它们的尺寸(单位:
mm)分别为:
甲:
10。
2 10。
1 10。
9 8。
9 9。
9 10。
3 9。
7 10
9.9 10。
1
乙:
10。
3 10。
4 9。
6 9。
9 10。
1 10 9。
8 9。
7
10.2 10
分别计算上面两个样本的平均数与标准差.如果图纸上的设计尺寸为10mm,从计算结果看,用哪台机床加工这种零件较合适.
变式训练3 某班40人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表:
求全班的平均成绩和标准差.
A级
1.现从80件产品中随机抽出10件进行质量检验,下面说法正确的是( )
A.80件产品是总体B.10件产品是样本
C.样本容量是80D.样本容量是10
2.期中考试以后,班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M,如果把M当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起,算出这41个分数的平均值为N,那么M∶N的值为( )
A。
B.1C。
D.2
3.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:
[11。
5,15。
5),2;[15。
5,19。
5),4;[19。
5,23。
5),9;[23。
5,27。
5),18;[27。
5,31。
5),11;[31。
5,35。
5),12;[35。
5,39。
5),7;[39。
5,43。
5),3;根据样本的频率分布估计,大于或等于31。
5的数据约占( )
A。
B。
C。
D。
4.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的,且样本容量为160,则中间一组的频数为( )
A.32B.0。
2C.40D.0。
25
5.已知一组数据4。
7,4。
8,5。
1,5。
4,5。
5,则该组数据的方差是________.
6.若6个数的标准差为2,平均数为1,则此六数的平方和为________.
7.一组数据的方差为s2,将这组数据中的每个数据都扩大2倍,所得一组新数据的方差为________.
B级
8.根据甲、乙两名篮球运动员某赛季9场比赛得分的茎叶图,可知( )
A。
甲运动员的成绩好,乙运动员发挥稳定
B.乙运动员的成绩好,甲运动员发挥稳定
C.甲运动员的成绩好,且发挥更稳定
D.乙运动员的成绩好,且发挥更稳定
9.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17。
5,30],样本数据分组为[17。
5,20),[20,22。
5),[22。
5,25),[25,27。
5),[27。
5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22。
5小时的人数是( )
A.56B.60C.120D.140
10.将容量为n的样本中的数据分为6组,绘制频率分布直方图,若第一组至第六组的数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和为27,则n=______.
11.从甲、乙两个班中各随机选出15名同学进行随堂测验,成绩的茎叶图如图所示,则甲、乙两班的最高成绩分别是______,______.从图中看,________班的平均成绩较高.
12.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列)
13.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:
甲:
102,101,99,98,103,98,99;
乙:
110,115,90,85,75,115,110。
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)将两组数据用茎叶图表示;
(3)将两组数据进行比较,说明哪个车间产品较稳定.
14.甲乙两位同学进行投篮比赛,每人玩5局.每局在指定线外投篮,若第一次不进,再投第二次,依此类推,但最多只能投6次.当投进时,该局结束,并记下投篮次数.当6投不进,该局也结束,记为“×”.当第一次投进得6分,第二次投进得5分,第三次投进得4分,依此类推.第6次不投进,得0分.两人投篮情况如下:
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
5次
×
4次
5次
1次
乙
×
2次
4次
2次
×
请通过计算,判断哪个投篮的水平高?
专题3 数据的数字特征 用样本估计总体
典型例题
例1 解
(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[1。
30,1。
34)
4
0。
04
[1。
34,1。
38)
25
0。
25
[1。
38,1。
42)
30
0。
30
[1。
42,1。
46)
29
0。
29
[1。
46,1。
50)
10
0。
10
[1。
50,1。
54]
2
0。
02
合计
100
1。
00
频率分布直方图如图所示.
(2)纤度落在[1。
38,1。
50)的可能性即为纤度落在[1。
38,1。
50)的频率,即为0。
3+0。
29+0。
10=0。
69=69%。
纤度小于1。
42的可能性即为纤度小于1。
42的频率,即为0。
04+0。
25+0。
30=0。
59=59%。
变式训练1 25
解析 60~70的频率为0。
04×10=0。
4,设容量为x,则=0。
4,所以x=100,所以70~90之间的人数为100×(0。
015+0。
01)×10=25。
例2 C [从茎叶图可知,甲五次成绩中一次茎为8,一次茎为9,而乙五次成绩中,茎8和茎9各两次,故可知x甲<x乙,乙比甲成绩稳定.]
变式训练2 D [由茎叶图可知=7,解得x=8。
]
例3 解 甲=(10。
2+10。
1+10。
9+8。
9+9。
9+10。
3+9。
7+10+9。
9+10。
1)=10(mm)。
乙=(10。
3+10。
4+9。
6+9。
9+10。
1+10+9。
8+9。
7+10。
2+10)=10(mm).s甲=
==0。
477(mm).
s乙=
==0。
245(mm).
∵甲=乙=10,s甲>s乙,∴乙比甲稳定,用乙较合适.
变式训练3 解 设第一组20名学生的成绩为xi(i=1,2,…,20),第二组20名学生的成绩为yi(i=1,2,…,20),依题意有:
=(x1+x2+…+x20)=90,=(y1+y2+…+y20)=80,
故全班平均成绩为:
=(x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20)
=(90×20+80×20)=85;
又设第一组学生成绩的标准差为s1,第二组学生成绩的标准差为s2,则s=(x+x+…+x-202),
s=(y+y+…+y-202),
(此处,=90,=80),又设全班40名学生的标准差为s,平均成绩为(=85),
故有s2=(x+x+…+x+y+y+…+y-402)
=(20s+20s+202+202-402)
=(62+42+902+802-2×852)=51。
所以s=。
强化提高
1.D [本题考查的对象是80件产品的质量,故总体是80件产品的质量;个体是1件产品的质量;样本是所抽取的10件产品的质量,故样本容量是10。
故选D。
]
2.B [∵N==M,∴M∶N=1。
]
3.B [根据所给的数据的分组和各组的频数知道,大于或等于31。
5的数据有[31。
5,35。
5),12;[35。
5,39。
5),7;[39。
5,43。
5),3,可以得到共有12+7+3=22,∵本组数据共有66个,
∴大于或等于31。
5的数据约占=,故选B。
]
4.A [频率等于长方形的面积,所有长方形的面积和等于1,设中间长方形的面积等于S,则S=(1-S),S=,设中间一组的频数为x,则=,得x=32。
]
5.0。
1
解析 ==5。
1,则方差s2=[(4。
7-5。
1)2+(4。
8-5。
1)2+(5。
1-5。
1)2+(5。
4-5。
1)2+(5。
5-5。
1)2]=0。
1。
6.30
解析 由s=
=+x+…+x)-\o(x,\s\up6(-))2),
即2=+x+…+x)-1),
得x+x+…+x=30。
7.4s2
解析 根据题意可得,因为方差公式
s2=,
所以,s2==4s2。
8.C [由茎叶图可知,甲运动员的得分大部分集中在14~18分之间,而乙运动员的得分相对比较散且在低分区的较多,故甲篮球运动员比赛得分更稳定,甲运动员的成绩好.]
9.D [设所求人数为N,则N=2。
5×(0。
16+0。
08+0。
04)×200=140,故选D。
]
10.60
解析 由已知,得×n=27,即×n=27,解得n=60。
11.96 92 乙
解析 由茎叶图可知,甲班的最高分是96,乙班的最高分是92。
甲班的成绩集中在(60,80)内,乙班的成绩集中在(70,90)内,故乙班的平均成绩较高.
12.1,1,3,3
解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x1,x2,x3,x4,
则
∴
又s=
=
==1,
∴(x1-2)2+(x2-2)2=2,
同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2,
由x1,x2,x3,x4均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2上的点,
分析知x1,x2,x3,x4应为1,1,3,3。
13.解
(1)根据系统抽样的定义可知,每隔30分钟抽取一包产品,抽取的时间间隔相同,满足系统抽样的定义,
∴这种抽样方法是系统抽样.
(2)将两组数据用茎叶图表示如图:
(3)甲的平均数为(102+101+99+98+103+98+99)=100。
乙的平均数为(110+115+90+85+75+115+110)=100。
由茎叶图中的数据可知甲的成绩主要集中在90和100附近,乙的成绩比较分散,∴甲比乙稳定.
14.解 依题意,甲乙得分情况如下表:
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
2
0
3
2
6
乙
0
5
3
5
0
因为甲得分平均数=2。
6,乙得分平均数=2。
6,甲得分的标准差≈1。
96,乙得分的标准差≈2。
24,所以,甲得分平均数=乙得分平均数,甲得分的标准差<乙得分的标准差,故甲投篮的水平高.