天津河西高三上学期期中考试数学理试题.docx

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天津河西高三上学期期中考试数学理试题

河西区2017-2018学年度第一学期高三年级期中形成性质量调查

数学试卷（理工类）

第Ⅰ卷

一、选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设为虚数单位，则复数的虚部是（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】，所以其虚部为．

故选．

2．已知集合，，则（）．

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】，

，

∴．

故选．

3．设，则“”是“”的（）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题主要考查三角函数及充要条件的判断．

若，则，

则，充分性成立；

若，因为，所以，，必要性不成立．

故“”是“”的充分而不必要条件．

故选．

4．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）．

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，，，是，，

，

，是，，，

，是，，，

，否，．

故选．

5．设，，，则（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】解：

∵，

，

，

可得．

∴．

故选．

6．已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值为（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象；再把所得的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象．

结合所得的图象关于原点对称，可得，

即，，则的一个值是．

故选．

7．设，分别是正方形的边，上的点，且，，如果（，为实数），则的值为（）．

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】如图所示，

∴，．

∴．

故选．

8．定义在上的函数满足：

，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）．

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】本题主要考查导数在函数中的应用．

由题可知，

设，

因为，

所以函数在定义域上单调递增，又因为，

所以的解为．

故选．

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．命题“，”的否定是__________．

【答案】，

【解析】全称命题的否定要用存在量词，

再否定其性质，

所以为，．

10．已知向量为单位向量，向量，且，则向量与的夹角为__________．

【答案】

【解析】∵，

∴，

∴，

∵为单位向量，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

∴夹角为．

11．在中，若，，，则在的最大角的度数为__________．

【答案】

【解析】根据题意可知，所以中最大的角为，

由余弦定理可得

，

且为三角形内角，

所以．

12．已知，则__________．

【答案】

【解析】解：

∵，

∴

，

∴，

∴，

．

13．设函数是定义在实数上不恒为的偶函数，且，则__________．

【答案】

【解析】解：

由可得

，，

，

又∵，

∴，，，

又∵，

∴，

即，

∴．

14．已知函数，其中，若函数有两个零点，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】若函数有两个零点，

即与交于两点，

因为与在定义域内均为单调递增函数，

当时，当时，所以，

则的取值范围是．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分分）

已知函数的最小正周期为．

（）求的值及函数的单调递增区间．

（）求在区间上的最大值和最小值．

【答案】（），单调递增区间，．

（）最大值为，最小值为．

【解析】（）∵

∴，

∴．

在中，

即为单调递增区间．

（）由（）得，

∵，

∴，

∴当时，即时，，

当时，即时，．

16．（本小题满分分）

在中，，，，若，，且．

（）求向量在向量方向上的投影．

（）求实数的值．

【答案】（）．

（）．

【解析】（），

∴在方向上投影为．

（），

因为，

所以，

所以，

所以，

整理得：

，

因为，

所以①，

因为，，，

所以，，，代入①式，解得．

17．（本小题满分分）

在中，，，分别是角，，的对边，若，．

（）求的值．

（）若，求的面积．

【答案】（）．

（）．

【解析】（）∵，

∴，

∵，

∴，

．

（）∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴．

18．（本小题满分分）

已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（）求，的值．

（）求的单调区间及极值．

【答案】（），．

（）的增区间为与，减区间为．

极大值为，极小值为．

【解析】解：

（）由，

求导，，

由已知可得，

由，

∴，计算得出，

．

（）由（）可以知道：

，

求导，

令，计算得出或，

令，计算得出，

∴的增区间为与，

减区间为，

∴的极大值为，

极小值为．

19．（本小题满分分）

已知函数，其中，．

（）当时，且为奇函数，求的解析式．

（）当时，且在上单调递减，求的值．

【答案】（）．

（）．

【解析】解：

（）因为为奇函数，所以，

即，结合得，

所以当时，，

所以当时，

，

所以，

综上：

．

（）因为在上单调递减，则有

，

解得，，所以．

20．（本小题满分分）

已知函数．

（）若是函数的一个极值点，求实数的值．

（）设，当时，函数的图象恒不在直线的上方，求实数的取值范围．

【答案】（）．

（）．

【解析】解：

（）由可得

，

∵是函数的一个极值点，

∴，

∴，计算得出．

代入，

当时，；

当时，，

∴是的极值．

∴．

（）当时，函数的图象恒不在直线上方，

等价于，恒成立，

即，恒成立，

由（）知，，

令，得，，

当时，，

∴在单调减，

，与矛盾，舍去．

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

∴在或处取到，

，，

∴只要，

计算得出．

当时，，

在上单调增，，符合题意，

∴实数的取值范围是．