自控非线性习题.docx

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自控非线性习题

［例9-1］具有饱和非线性元件的非线性控制系统如图9-20所示，

（1）当线性部

分K=5时，确定系统自振荡的幅值和频率。

（2）确定系统稳定时，K的临界值。

图9-20例9-1的系统结构图

c

K

s（0.1s+1）（0.2s+1）

解1.在复平面上分别绘制-1/

N（A）曲线和G（j）曲线。

饱和非线性特性的描述函数为

2K

N（A）:

由于非线性特性可知K=2,a=1，将

a和K代入上式，则得负倒数描述函数

1_N（A）」111

4sin—+—*1—2LAMA2|

（A—a）

Re

因饱和特性为单值特性，N（A）和-1/N（A）为实函数。

当A=1〜R时,

-1/N（A）=-1/2

OO0-1/N（A）曲线示于图9-21。

由

-15（1-0.02'）

ImG（p-）240

m（1+0.05）2+0.0004/）

解得.=50，代入ReG（p?

）求得，

ReG（j）

-4.5

''=50_1■0.05■20.0004■4,

50

则（-1，j0）点为

G（j）曲线与负实轴的交点，亦是-1/N（A）和G（j）的交点，如图

9-21所示。

因-1/

N（A）穿出G（j），故交点为自振点。

自振频率-=50,自振振幅

由下列方程解出

1ReG（j）N（A）

•41丄11

4[sin—亠一：

1一2]

AANA2

sin

A.1

1

A2

用试算法或作图法解得A=2.47。

2.-1/N（A）与G（j）的不相交，即ReG（j）>-1/2

时，系统退出自振。

ReG（j）=-1/2时的K值为临界放大倍数。

Re

K

j（1j0.1）（1j0.2）

解得K临=7.5。

[例9-2]非线性系统的结构图如图9-22所示，用描述函数法判断该系统的稳定

性。

例9-2的系统结构图

图9-22

解1.求非线性部分的描述函数

设e（t）=Asint，则x⑴=A3（n

3

t）；因此x（t）是奇函数，故有A0=0，A=0,

1=0，其中

12兀

B1（A）x（t）sintd（t）

兀0

非线性部分的描述函数为

A3（sin，t）4d（・t）=3A

N（A）=邑A2

A4

2.判断系统的稳定性描述函数的相对负倒数特性为

_1__4

N（A）一3A2

当A=0〜g时,-1/N（A）=-g〜0。

-1/N（A）

曲线示于图9-23，为整个负实轴。

由

1

ImG（j■）0

浮（浮+1）（j®+2）

Re

解得川-』2，代入ReG（j）求得,

ReG（jJ屮一）仃1）（.2）

—=-0.167

18

则（-0.167,jO）点为G（j■）曲线与负实轴的交点，亦是

-1/N（A）和G（j■）的交点,

如图9-30所示。

其振幅由下列方程解出

-^=ReG（jco）

N（A）

—「o.167

解得A=2、2。

因-1/N（A）穿入G（j），故交点为发散点。

当A2、2时，系统稳

定；当A：

：

：

2...2时，系统不稳定。

[例9-3]非线性系统的结构图如图9-24所示，其中死区继电特性的参数b=1.7，

a=0.7，试确定系统是否存在自振荡，若有自振荡，求出自振的幅值和频率。

解1.继电特性的描述函数为

n（a）=4a“（a）2

b4a

二K。

叫（为

JU

其中，K0」为比例系数，

a

a

N°（）为该继电特性的相对描述A

函数；该死区继电特性的相对负

倒数描述函数为

A=a

2

-1/N（A）M1

八Im

Re

a

N0*

图9-25'例9-3的—1/N0（—）和

A

K0G（j）曲线

因此，当A=a〜g时，-1/N0（a）=^T亦。

-1/N

AA

最大点和最大值为

aa1

（）max=0.707,max[-1/N°（）]=-1.57

AA0.64

该死区继电特性的相对负倒数描述函数曲线示于图9-25，曲线重合于实轴，为了清晰

起见，画成了双线。

460

2•系统线性部分的频率特性为

KqG（j■）:

j-（0.01j•1）（0.0025j•1）

令lmK0G（jJ=0,解得K0G（j）与负实轴的交点对应频率.=200。

从

a

-1/Nq（）曲线上求出与KoG（j）曲线交点Mi、M2处自振振幅，即令

A

ReK°G（j•）vqq—1/Nq（A）

aa

解得，交点M,处的（）=0.925，交点M2处的（）=0.382;故交点M,处的振幅AA

为A=0.76，交点M2处的振幅为A2=1.83。

M,点对应的周期运动是不稳定的，

M!

点是发散点；M2点对应的周期运动是稳定的，M2点是自振荡点，所以系统自振

的幅值为A2=1.83，频率为忌-200o

［例8-1］非线性系统的G（j■）及一1N（X）的轨迹如图8-2所示，试判断该系统是否稳

图8-2

线性系统框图

图8-3非线性系统框图

所以不论幅值X如何变化，该

解：

因为由图可知，G（j）曲线包围了-1N（X）曲线,

非线性系统都是不稳定的。

［例8-2］非线性系统的G（j■）及一1N（X）的轨迹如图8-3所示，试判断该系统有几个

点存在自振荡。

解：

因为由图可知，在复平面上G（j.）曲线与—1N（X）相交，系统可能发生自持振荡。

图中-1N（X）曲线沿箭头方向由稳定区经交点P进入不稳定区，所以P点不存在自持振荡；

而一1.N（X）曲线沿箭头方向从不稳定区经交点Q进入到稳定区，所以交点Q处存在自持振

荡。

［例8-3］具有理想继电型非线性元件的非线性控制系统如图8-4（a）所示，试确定系统

自振荡的幅值和频率。

y15c

fs（0.1s4）（0.2s=1）」"

图8-4（a）非线性控制系统结构图

解：

（1）在复平面上分别绘制-1N（X）曲线和G（j■）曲线。

①绘制-1N（X）曲线：

由理想继电型非线性特性可知

N（X）二

4M

由图8-4（a）的系统结构图知M=2，则得负倒数描述函数:

N（X）4M8

当X从0—；心变化时，-1N（X）=0—；心，-1N（X）曲线起始于坐标原点（0,0），并随着

幅值X的增大沿着复平面的复实轴向左移动，终止于

②绘制G（jco）曲线：

-：

-，如图8-4（b）所示。

由于G（j）与实轴相交

2

—15（1—0.02国2）

（10.0520.00044）

解得：

•-..50，代入ReG（j）求得:

-4.5

4501+0.05叮2+0.00044心场1

（2）确定系统自振荡的幅值和频率:

由图8-4（b）可见：

（-1,jO）点为G（jco）曲线与负实轴的交点,亦是—1/N（X）和G（jco）

的交点。

因—1N（X）穿出G（j.），故交点为自持振荡点。

自振频率•.二,50,自振振幅由下列方程解出：

1

NCX）

二ReG（j•）=50=—1

8

X2.55

JT

［例8-4］非线性系统的G（j■）及-1N（X）的轨迹如图8-5所示，（该非线性系统相对负

倒数描述函数-1N（X）曲线重合于实轴，为了清晰起见，画成了双线）。

其中交点M1处的

振幅为X1=0.76，交点M2处的振幅为

X2=1.83，频率为

一1N（X）

1-才

打（®

!

国—200。

试确疋系统是否存在自持振荡，

若有自持振荡，

求

4

/M20

a

出系统自持振荡的幅值和频率。

—

解：

—1/N（X）的轨迹

与

G（j■）曲线相交，则系统的输出有

可能产生自持振荡。

在交点M1处，-1N（X）曲线沿箭头方向从

稳定

图8-5非线性系统

区进入了不稳定区，Mj点产生的自持振荡就是不稳定的；而

在交点M2处，-1N（X）曲线沿箭头方向是由不稳定区进入到

了稳定区，故在该交点处产生的自持振荡是稳定的；即M2点

是自振荡点，所以系统自持振荡的幅值为X2=1.83，频率为

川二200。

四•习题

8-1如图8-6所示的非线性系统，非线性部分的描述函数为

N（X^4M（M=1）,线性部

兀X

试用描述函数法讨论:

分的传递函数为G（jJ2,

s（0.5s+1）

（1）该系统是否存在稳定的自持振荡点。

⑵确定其自持振荡的幅值和频率。

「x卜

1

M

y

G（商）

c

0x*

Jt

-M

图8-6非线性控制系统框

8-2非线性系统如图8-7所示，

（1）该系统是否存在稳定的自持振荡点。

⑵确定其自持振荡的幅值和频率。

「X」

i

1

$

y

10

h

—

—►

0X

s（s+1）（s+2）

图8-7非线性控制系统框

8-3非线性系统G（j）及-1N（X）的轨迹如图8-8所示，试判断该系统有几个点是稳定的自持振荡点。

四、应用描述函数分析非线性系统的举例

【例7-1】如图7-24所示非线性系统，其中死区继电特性的参数M=1.7,h=0.7。

试问该系统是否存在自振，若存在自振，求出自振的振幅和频率。

解死区继电特性的描述函数式（7-13）,即

（X）

4M

二氷

（X—h）

将N（X）表示成相对描述函数

M4h

hX

（X）

Ko

0.7

No（X）

4h

:

X

（X-h）

相对负倒描述函数式（7-18），即

在复平面上分别作出

1

No（X）

（X—h）

-1No（X）及KoG（j）曲线。

给定

X和•，一系列数值，可算出

1N0（X）及K0G（j）值如下:

h/X

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.707

0,8

0.9

0.95

1

-1/N/X）

一789

-4.13

-274

一214

-1.E1

—1.64

-L

—1

-2

-2.65

⑷（rad/s）

120

150

180

200

250

300

400

|Gj）|

2.35

1.6

1.13

0.9

0.6

0.4

0.2

NG（jm）

-155s

-165.5°

-173.3°

-180°

-189s

-196°

-209°

K°|Gj）|

5.7

3.9

2.75

2.23

1.40

0.94

0.49

根据上述数据，分别绘制K0G（j）曲线和-1.N0（X）曲线，如图7-25所示。

图中

-1N°（X）曲线在hX=0.707时取最大值（这一点可由-1「N°（X）对hX求导来计算）而在hX:

:

0.707和hX0.707时的曲线与负实轴完全重叠，只是重叠点所对应的振幅不同。

为了清楚起见，图7-25中画成两条直线，对应于hX由1>1.2（即0.707）及hX由12>0,1N°（X）曲线上箭头表示hX增加方向，亦即X减小的方向。

由图可见，KoG（j）与-1No（X）曲线有两个交点，从KoG（j）曲线看，交点频率

■为200（rad,s）；从-「N°（X）曲线看，交点对应hX为0.92及0.38，相应的X则分

别为0.757及1.84。

这说明系统存在着两个频率相同，但振幅不同的周期运动。

根据判别周期运动稳定性的方法即可判定：

振幅伪0.75的周期运动是不稳定的，振幅稍有衰减，则逐渐收敛到死区内，最终系统保持静止状态；或振幅稍有增加，则逐渐发散到大振幅（1.84）的周期运动状态，而大振幅的周期运动是稳定的，即为系统的自振点。

因此，该系统存在自振，自振频率

图［例7-1］系统的K°G（山）

和T/N/X）曲线

=200rads，自振振幅X=1.84。

为了消除自振，可以改变K°G（jJ使它与-1.N°（X）曲线不相交，最简单的办法是

减小线性部分的开环增益。

若系统稳态误差要求不允许减小开环增益时，可采取其他措施，如在系统中串联适当的相角超前环节来实现。

【7-2】系统结构如图7-26所示，已知M=10、h=1，试判别系统是否存在自振，

若有自振，求出自振振幅及频率。

解具有滞环继电特性的描述函数式（7-14）即

相对描述函数为

令K。

=M=10，则相对负倒描述函数为

h

i.»2

-1N°（X）

4「h1,.兀

—J—!

一1一J兀认X丿4

hjX

1

2

2.3

2.5

3

4

5

6

班［一1/%（斶］

0

-0785

-1玄

^1.63

-178

-2.22

-304

-3.85

-465

。

再以hX为自变量从hX=1开始，算出-1「No（X）的一系列数

0

0.2

OS

1

1.25

2

2J

3

4

5

9.32

8.66

5.36

2

0

-1.8

-1.76

-1.2

-0.7

hn[KaG（j^]

0

-J.71

-6

-5.13

-32

-1.9

-1.06

0.1

可见其虚部为常数

值。

同时也对线性部分K°G（j•）计算出实部Re［KoG（j）］和虚部lm［K°G（j）］，计算

值如下表所示：

根据上列数据作出-1N0（X）与K0G（j）曲线，如图7-27所示。

由图可见，两条曲线有一个交点，根据稳定性分析可知，该点为自振点，自振频率为

【例7-3】具有间隙非线性特性的系统如图

是否存在自振，若有自振，求出自振参数。

7-28

所示。

已知b=0.5。

试分析系统

O.Ss+1

10

1

3

0ls+l

-=3.2rad「s，振幅为X=2.3。

圏7-28具有间隙非线性特•性的系统

解根据间隙非线性特性的描述函数式（7-15），可求得-1/N（X）的计算值如下表

所示。

X

0.625

0.83

1.25

2.5

I-1/N（X）|

5

2.38

1.54

1.18

4-1/N（X））

-1204

—138*

-155°

—166"

系统线性部分的频率特性

10（0.8j‘1）

2

-r（0.1b1）

则G（j）的实部ReG（j）1和虚部lmG（j.）】计算如下表所示。

灼（rad/s）

1

2

3

4

5

6

10

ReG（jco）]

-10.7

-3.18

-1.75

-1.24

-0.96

-0.59

-0.45

ImGj）】

-7

-3.36

-2.13

-1.5

-1.1

-0.86

-0.35

由图可见，两条曲线有一个交点。

由稳定性分析可知，该点为自振点，自振参数

X=0.67=2.63（rad/s）。