届江苏省南京市盐城市淮安市淮安三模高三第二次模拟考试03word解析版.docx
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届江苏省南京市盐城市淮安市淮安三模高三第二次模拟考试03word解析版
南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学2014.03
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
柱体的体积公式：
V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
圆柱的侧面积公式：
S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．函数f（x）＝lnx＋的定义域为▲．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，aR）．若z1z2为实数，则a的值为▲．
（第3题图）
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有▲．
（第6题图）
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为▲．
5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为▲．
6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为▲．
（第7题图）
7．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）
的图象如下图所示，则f（）的值为▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为▲．
9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为▲．
10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲．
11．在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，3）作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲．
12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2，当x＞0时，f（x＋1）＝f（x）＋f
（1），且．
若直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．
13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．
14．设函数f（x）＝ax＋sinx＋cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．（0，1]2．43．3004．5．26．47．1
8．9．10．60°11．1或12．2－213．（，）14．[－1，1]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，
（第15题图）
BP＝BC，E为PC的中点．
（1）求证：
AP∥平面BDE；
（2）求证：
BE⊥平面PAC．
15．证：
（1）设AC∩BD＝O，连结OE．
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分
因为AP平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分
（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面PAB．………………………………………8分
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．
因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，
所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
于点A（x1，y1），α∈（，）．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B（x2，y2）．
（第16题图）
（1）若x1＝，求x2；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．
16．解：
（1）解法一：
因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．
所以sinα＝，cosα＝．………………………2分
所以x2＝cos（α＋）＝cosαcos－sinαsin＝－．…………………………………6分
解法二：
因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．A（，），则＝（，），…………2分
＝（x2，y2），因为·＝||||cos∠AOB，所以x2＋y2＝……4分
又x22＋y22＝1，联立消去y2得50x22－30x2－7＝0
解得x2＝－或，又x2＜0，所以x2＝－．………………………6分
解法三：
因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．因此A（，），所以tanα＝．………2分
所以tan（α＋）＝＝－7，所以直线OB的方程为y＝－7x……………4分
由得x＝±，又x2＜0，所以x2＝－．…………………6分
（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α．…………………………………………8分
因为α（，），所以α＋（，）．
所以S2＝－sin（α＋）cos（α＋）＝－sin（2α＋）＝－cos2α．……………………………10分
因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－．…………………………………12分
所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－．因为α（，），所以tanα＝2．………14分
17．（本小题满分14分）
（第17题图）
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：
千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．
解法一：
设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ）．………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）．…………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2（120°－θ）＋4－2×2×sin（120°－θ）cos（60°＋θ）………………………………8分
＝sin2（θ＋60°）－sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4
＝[1－cos（2θ＋120°）]－sin（2θ＋120°）＋4
＝－[sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋
＝－sin（2θ＋150°），θ∈（0，120°）．…………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
答：
设计∠AMN为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
D
解法二（构造直角三角形）：
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，（θ≥时，结论也正确）．……………6分
AP2＝AD2＋PD2＝（sinθ＋2cosθ）2＋（2sinθ）2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………8分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin（2θ－），θ∈（0，）．…………………………12分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°…………………………14分
解法三：
设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分
因为＝，即＝，
所以sinα＝y，cosα＝＝＝．…………………………………………6分
cos∠AMP＝cos（α＋60°）＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy．………………………………………12分
因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．
所以AP2≤12，即AP≤2．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．
答：
设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分
解法四（坐标法）：
以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
设M（x1，0），N（x2，x2），P（x0，y0）．∵MN＝2，
∴（x1－x2）2＋3x＝4．…………………………………………2分
MN的中点K（，x2）．
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
∴PK2＝（x0－）2＋（y0－x2）2＝3，
kMN·kPK＝－1，即·＝－1，…………………………………………6分
∴y0－x2＝（x0－），∴（y0－x2）2＝（x0－）2
∴（1＋）（x0－）2＝3，即（x0－）2＝3，∴（x0－）2＝x．
∵x0－＞0∴x0－＝x2，
∴x0＝x1＋2x2，∴y0＝x1．…………………………………………8分
∴AP2＝x＋y＝（2x2＋x1）2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12，…………………………………………12分
即AP≤2．
答：
设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
解法五（变换法）：
以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．
y
设M（x1，0），N（x2，x2），P（x0，y0）．
∵MN＝2，∴（x1－x2）2＋3x＝4．即x＋4x＝4＋2x1x2
∴4＋2x1x2≥4x1x2，即x1x2≤2．…………………4分
∵△MNP为正三角形，且MN＝2．∴PK＝，PK⊥MN．
顺时针方向旋转60°后得到．
＝（x0－x1，y0），＝（x2－x1，x2）．
∴＝，即
x0－x1＝（x2－x1）＋x2，y0＝－（x2－x1）＋x2．
∴x0＝2x2＋x1，y0＝x1．…………………………………………8分
∴AP2＝x＋y＝（2x2＋x1）2＋x＝x＋4x＋2x1x2
＝4＋4x1x2≤4＋4×2＝12，…………………………………………12分
即AP≤2．
答：
设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
E
解法六（几何法）：
由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．
由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧（优弧）上，…………4分
设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，
由图形的几何性质知：
AP的最大值为PF＋R．…………8分
在△AMN中，由正弦定理知：
＝2R，
∴R＝，…………10分
∴FM＝FN＝R＝，又PM＝PN，∴PF是线段MN的垂直平分线．
设PF与MN交于E，则FE2＝FM2－ME2＝R2－12＝．
即FE＝，又PE＝．……………………………12
∴PF＝，∴AP的最大值为PF＋R＝2．
答：
设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过P，Q，F2三点的圆的方程；
（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．
（1）解：
由题意得解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．
所以椭圆的方程为＋y2＝1．…………………………………………2分
（2）因为P（0，1），F1（－1，0），所以PF1的方程为x－y＋1＝0．
由解得或所以点Q的坐标为（－，－）．……………………4分
解法一：
因为kPF·kPF＝－1，所以△PQF2为直角三角形．……………………6分
因为QF2的中点为（－，－），QF2＝，
所以圆的方程为（x＋）2＋（y＋）2＝．……………………8分
解法二：
设过P，Q，F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0．…………………………………………8分
（3）解法一：
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则＝（x1＋1，y1），＝（－1－x2，－y2）．
因为＝λ，所以即
所以解得x2＝．…………………………………………12分
所以·＝x1x2＋y1y2＝x2（－1－λ－λx2）－λy＝－x22－（1＋λ）x2－λ
＝－（）2－（1＋λ）·－λ＝－（λ＋）．…………………………………………14分
因为λ∈[，2]，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．
所以·≤，即·最大值为．…………………………………………16分
解法二：
当PQ斜率不存在时，
在＋y2＝1中，令x＝－1得y＝±．
所以
，此时
…………………………2
当PQ斜率存在时，设为k，则PQ的方程是y＝k（x＋1），
由得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
韦达定理
………………………………………4
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
的最大值为，此时
………………………………8
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝ex，a，bR，且a＞0．
（1）若a＝2，b＝1，求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）＝a（x－1）ex－f（x）．
①当a＝1时，对任意x（0，＋∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值；
②设g′（x）为g（x）的导函数．若存在x＞1，使g（x）＋g′（x）＝0成立，求的取值范围．
解：
（1）当a＝2，b＝1时，f（x）＝（2＋）ex，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
所以f′（x）＝ex．…………………………………………2分
令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝，列表
x
（－∞，－1）
－1
（－1，0）
（0，）
（，＋∞）
f′（x）
－
－
f（x）
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
由表知f（x）的极大值是f（－1）＝e－1，f（x）的极小值是f（）＝4．……………………………………4分
（2）①因为g（x）＝（ax－a）ex－f（x）＝（ax－－2a）ex，
当a＝1时，g（x）＝（x－－2）ex．
因为g（x）≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．…………………………………………8分
记h（x）＝x2－2x－（x＞0），则h′（x）＝．
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）上是增函数．
所以h（x）min＝h
（1）＝－1－e－1．
所以b的最大值为－1－e－1．…………………………………………10分
解法二：
因为g（x）＝（ax－a）ex－f（x）＝（ax－－2a）ex，
当a＝1时，g（x）＝（x－－2）ex．
因为g（x）≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
所以g
（2）＝－e2＞0，因此b＜0．…………………………………………6分
g′（x）＝（1＋）ex＋（x－－2）ex＝．
因为b＜0，所以：
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是减函数；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，＋∞）上是增函数．
所以g（x）min＝g
（1）＝（－1－b）e－1…………………………………………8分
因为g（x）≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，
所以（－1－b）e－1≥1，解得b≤－1－e－1
因此b的最大值为－1－e－1．…………………………………………10分
②解法一：
因为g（x）＝（ax－－2a）ex，所以g′（x）＝（＋ax－－a）ex．
由g（x）＋g′（x）＝0，得（ax－－2a）ex＋（＋ax－－a）ex＝0，
整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g（x）＋g′（x）＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．…………………………………………12分
因为a＞0，所以＝．
设u（x）＝（x＞1），则u′（x）＝．
因为x＞1，u′（x）＞0恒成立，所以u（x）在（1，＋∞）是增函数，所以u（x）＞u
（1）＝－1，
所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）．…………………………………………16分
解法二：
因为g（x）＝（ax－－2a）ex，所以g′（x）＝（＋ax－－a）ex．
由g（x）＋g′（x）＝0，得（ax－－2a）ex＋（＋ax－－a）ex＝0，
整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g（x）＋g′（x）＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．…………………………………………12分
设u（x）＝2ax3－3ax2－2bx＋b（x≥1）
u′（x）＝6ax2－6ax－2b＝6ax（x－1）－2b≥-2b当b≤0时，u′（x）≥0
此时u（x）在[1，＋∞）上单调递增，因此u（x）≥u
（1）＝－a－b
因为存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立
所以只要－a－b＜0即可，此时－1＜≤0…………………………………………13分
当b＞0时，令x0＝＞＝＞1，得u（x0）＝b＞0，
又u
（1）＝－a－b＜0于是u（x）＝0，在（1，x0）上必有零点
即存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立，此时＞0…………………………………………15分
综上有的取值范围为（－1，＋∞）．…………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，
a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．
（1）若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
（2）设a1＜a2，求证：
对任意n∈N*，且n≥2，都有＜．
解：
（1）解法一：
因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d．
因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝＝．………………3分
因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2，或d＝．因为an＞0，所以d＝．
因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－（3－2d）＝．……………5分
解法二：
因为a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5成等差数列，
则
，……………3分
则
，解得
或
（舍），所以
。
………5分
解法三：
因为a1，a2，a3成等差数列，则
，
因为a2，a3，a4成等比数列，则
………………3分
因为a3，a4，a5成等差数列，则
，则
解得：
或
；当
时，
（与
矛盾，故舍去），所以
．
………5分（注：
没有舍去一解，扣1分）
（2）证法一：
因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，
所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①a＝a2na2n＋2．②；所以a＝a2n－2a2n，n≥2．③
所以＋＝2a2n．
因为an＞0，所以＋＝2．…………7分
即数列{}是等差数列．
所以＝＋（n－1）（－）．
由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，
可得a4＝．………………8分
所以＝＋（n－1）（－）＝．
所以a2n＝．……………………10分
所以a2n＋2＝．
从而a2n＋1＝＝．
所以a2n－1＝．………………12分
①当n＝2m，mN*时，
－＝－＝－
＝－＜0．……………14分
②当n＝2m－1，mN*，m≥2时，
－＝－＝－
＝－＜0．
综上，对一切n∈N*，n≥2，有＜．………………16分
证法二：
①若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列．
因为－＝＝＝－≤0，
所以≤．………………9分
②若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以＝．………11分
由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，≤≤…≤．………13分
又因为－＝－＝＝－，
因为a1＜a2，所以－＜0，即＜．………15分
综上，＜．…………16分．
南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学附加题2014.03
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与
第21题A图
DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：
四边形ACBE为平行四边形；
（2）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长.
A．选修4—1：
几何证明选讲
解：
（1）因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB．
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB．
所以∠ABC＝∠BAE．
所以AE∥BC．因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．…………………………………4分
（2）因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·（EB＋BD），即62＝EB·（EB＋5），解得BE＝4．
根据
（1）有AC＝BE＝4
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