高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第十二章复数.docx

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高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第十二章复数

第十二章复数、算法、推理与证明

全国卷年考情图解

高考命题规律把握

1.复数主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算．运算是高考的热点,一般为选择题．

2.循环结构和条件结构是高考考查的热点,题型以选择题为主,属容易题．

3.高考对演绎推理、直接证明与间接证明的考查,单独命题的可能性不大,但其思想会渗透到多题之中.

第一节

数系的扩充与复数的引入

一、基础知识批注——理解深一点

1．复数的有关概念

（1）复数的概念:

形如a＋bi（a,b∈R）的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部．若b＝0,则a＋bi为实数；若b≠0,则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0,则a＋bi为纯虚数．

一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要求虚部不为0.　

（2）复数相等:

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a,b,c,d∈R）．

（3）共轭复数:

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c,b＝－d（a,b,c,d∈R）．

（4）复数的模:

向量的模r叫做复数z＝a＋bi（a,b∈R）的模,记作|z|或|a＋bi|,即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

（1）复数z＝a＋bi

复平面内的点Z（a,b）（a,b∈R）．

复数z＝a＋bi（a,b∈R）的对应点的坐标为（a,b）,而不是（a,bi）.

（2）复数z＝a＋bi（a,b∈R）

平面向量.

3．复数的运算

（1）复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi,z2＝c＋di（a,b,c,d∈R）,则

①加法:

z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；

②减法:

z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；

③乘法:

z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i；

④除法:

＝＝＝＋i（c＋di≠0）．

（2）复数加法的运算定律

设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:

①交换律:

z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律:

（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．

二、常用结论汇总——规律多一点

（1）（1±i）2＝±2i,＝i,＝－i.

（2）－b＋ai＝i（a＋bi）．

（3）i4n＝1,i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i（n∈N*）；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N*）．

（4）z·＝|z|2＝||2,|z1·z2|＝|z1|·|z2|,＝,|zn|＝|z|n.

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）方程x2＋x＋1＝0没有解．（　　）

（2）复数z＝a＋bi（a,b∈R）中,虚部为bi.（　　）

（3）复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小．（　　）

（4）原点是实轴与虚轴的交点．（　　）

（5）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模．（　　）

答案:

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）√

（二）选一选

1．（2018·全国卷Ⅱ）＝（　　）

A．－－i　　　　　　　B．－＋i

C．－－iD．－＋i

解析:

选D　＝＝＝－＋i.

2．设（1－i）x＝1＋yi,其中x,y是实数,则x＋yi在复平面内所对应的点位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析:

选D　∵（1－i）x＝1＋yi⇒x－xi＝1＋yi⇒（x－1）－（x＋y）i＝0⇒⇒

∴x＋yi＝1－i,其在复平面内所对应的点为（1,－1）,在第四象限,故选D.

3．若复数z＝＋1为纯虚数,则实数a＝（　　）

A．－2B．－1

C．1D．2

解析:

选A　因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数,

所以＋1＝0,且－≠0,解得a＝－2.故选A.

（三）填一填

4．已知复数z＝|（－i）i|＋i5（i为虚数单位）,则复数z的共轭复数是________．

解析:

由题意知z＝|i＋1|＋i＝＋i＝2＋i,则＝2－i.

答案:

2－i

5．设复数z1＝2－i,z2＝a＋2i（i是虚数单位,a∈R）,若z1z2∈R,则a＝________.

解析:

依题意,复数z1z2＝（2－i）（a＋2i）＝（2a＋2）＋（4－a）i是实数,因此4－a＝0,a＝4.

答案:

4

[典例]　

（1）（2017·山东高考）已知i是虚数单位,若复数z满足zi＝1＋i,则z2＝（　　）

A．－2i　　　　　　　　　B．2i

C．－2D．2

（2）（2019·山东师大附中模拟）计算:

＝（　　）

A．2B．－2

C．2iD．－2i

[解析]　

（1）∵zi＝1＋i,

∴z＝＝＋1＝1－i.

∴z2＝（1－i）2＝1＋i2－2i＝－2i.

（2）＝＝＝2,故选A.

[答案]　

（1）A　

（2）A

[解题技法]　复数代数形式运算问题的解题策略

（1）复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．

（2）复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数,即分母实数化,解题中要注意把i的幂写成最简形式．

[题组训练]

1．（2019·合肥质检）已知i为虚数单位,则＝（　　）

A．5B．5i

C．－－iD．－＋i

解析:

选A　法一:

＝＝5,故选A.

法二:

＝＝＝5,故选A.

2．（2018·济南外国语学校模块考试）已知＝1＋i（i为虚数单位）,则复数z等于（　　）

A．1＋iB．1－i

C．－1＋iD．－1－i

解析:

选D　由题意,得z＝＝＝－1－i,故选D.

3．已知复数z＝,则复数z＝________.

解析:

因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0,

而2018＝4×504＋2,

所以z＝＝＝＝＝＝i.

答案:

i

[典例]　

（1）（2019·湘东五校联考）已知i为虚数单位,若复数z＝＋i（a∈R）的实部与虚部互为相反数,则a＝（　　）

A．－5　　　　　　　　B．－1

C．－D．－

（2）（2018·全国卷Ⅰ）设z＝＋2i,则|z|＝（　　）

A．0　　　　　　　　　　B.

C．1D.

[解析]　

（1）z＝＋i＝＋i＝＋i,∵复数z＝＋i（a∈R）的实部与虚部互为相反数,∴－＝,解得a＝－.故选D.

（2）∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i,

∴|z|＝1.故选C.

[答案]　

（1）D　

（2）C

[解题技法]　紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题

（1）求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi（a,b∈R）,则该复数的实部为a,虚部为b.

（2）求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成标准的代数形式,实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c,b＝－d（a,b,c,d∈R）．

[题组训练]

1．（2019·山西八校第一次联考）已知a,b∈R,i为虚数单位,若3－4i3＝,则a＋b等于（　　）

A．－9B．5

C．13D．9

解析:

选A　由3－4i3＝,得3＋4i＝,即（a＋i）（3＋4i）＝2－bi,（3a－4）＋（4a＋3）i＝2－bi,则解得故a＋b＝－9.故选A.

2．（2019·贵阳适应性考试）设是复数z的共轭复数,满足＝,则|z|＝（　　）

A．2B．2

C.D.

解析:

选B　法一:

由＝＝＝2＋2i,

得|z|＝||＝＝2,故选B.

法二:

由模的性质,得|z|＝||＝＝＝＝2.故选B.

3．若复数z＝a2－a－2＋（a＋1）i为纯虚数（i为虚数单位）,则实数a的值是________．

解析:

由于z＝a2－a－2＋（a＋1）i为纯虚数,因此a2－a－2＝0且a＋1≠0,解得a＝2.

答案:

2

[典例]　

（1）如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,若zz2＝z1,则z的共轭复数＝（　　）

A.＋i　　　　B.－i

C．－＋iD．－－i

（2）复数z＝4i2018－（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

[解析]　

（1）由题意知z1＝1＋2i,z2＝－1＋i,故z（－1＋i）＝1＋2i,

即z＝＝＝＝－i,＝＋i,故选A.

（2）z＝4i2018－＝4×i2016·i2－＝－4－＝－6－i,

故z在复平面内对应的点在第三象限．

[答案]　

（1）A　

（2）C

[解题技法]　对复数几何意义的再理解

（1）复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z＝a＋bi（a,b∈R）⇔Z（a,b）⇔.

（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观．

[题组训练]

1．（2019·安徽知名示范高中联考）已知复数z满足（2－i）z＝i＋i2,则z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析:

选B　z＝＝＝＝＝－＋i,则复数z在复平面内对应的点为,该点位于第二象限．故选B.

2．若复数z满足|z－i|≤（i为虚数单位）,则z在复平面内所对应的图形的面积为________．

解析:

设z＝x＋yi（x,y∈R）,由|z－i|≤得|x＋（y－1）i|≤,所以≤,

所以x2＋（y－1）2≤2,所以z在复平面内所对应的图形是以点（0,1）为圆心,以为半径的圆及其内部,它的面积为2π.

答案:

2π

3．已知复数z＝,其中a为整数,且z在复平面内对应的点在第四象限,则a的最大值为________．

解析:

因为z＝＝＝,

所以z在复平面内对应的点为,

所以解得－1＜a＜4,

又a为整数,所以a的最大值为3.

答案:

3

1．（2019·广州五校联考）＝（　　）

A．－1－i　　　　　　B．1＋i

C．－1＋iD．1－i

解析:

选C　＝＝＝＝－1＋i,选C.

2．（2018·洛阳第一次统考）已知a∈R,i为虚数单位,若为纯虚数,则a的值为（　　）

A．－1B．0

C．1D．2

解析:

选C　∵＝＝－i为纯虚数,∴＝0且≠0,解得a＝1,故选C.

3.（2018·甘肃诊断性考试）如图所示,向量,所对应的复数分别为z1,z2,则z1·z2＝（　　）

A．4＋2iB．2＋i

C．2＋2iD．3＋i

解析:

选A　由图可知,z1＝1＋i,z2＝3－i,则z1·z2＝（1＋i）（3－i）＝4＋2i,故选A.

4．若复数z1＝4＋29i,z2＝6＋9i,其中i是虚数单位,则复数（z1－z2）i的实部为（　　）

A．－20B．－2

C．4D．6

解析:

选A　因为（z1－z2）i＝（－2＋20i）i＝－20－2i,所以复数（z1－z2）i的实部为－20.

5．（2019·太原模拟）若复数z＝在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是（　　）

A．（－1,1）B．（－1,0）

C．（1,＋∞）D．（－∞,－1）

解析:

选A　法一:

因为z＝＝＝＋i在复平面内对应的点为,且在第四象限,所以解得－1

法二:

当m＝0时,z＝＝＝－i,在复平面内对应的点在第四象限,所以排除选项B、C、D,故选A.

6．（2018·昆明高三摸底）设复数z满足（1＋i）z＝i,则z的共轭复数＝（　　）

A.＋iB.－i

C．－＋iD．－－i

解析:

选B　法一:

∵（1＋i）z＝i,∴z＝＝＝＝＋i,

∴复数z的共轭复数＝－i,故选B.

法二:

∵（1＋i）z＝i,∴z＝＝＝＝＝＋i,

∴复数z的共轭复数＝－i,故选B.

法三:

设z＝a＋bi（a,b∈R）,∵（1＋i）z＝i,∴（1＋i）（a＋bi）＝i,∴（a－b）＋（a＋b）i＝i,由复数相等的条件得解得a＝b＝,∴z＝＋i,∴复数z的共轭复数＝－i,故选B.

7．设复数z满足i（z＋1）＝－3＋2i（i是虚数单位）,则复数z对应的点位于复平面内（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析:

选A　由i（z＋1）＝－3＋2i,得z＝－1＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i,它在复平面内对应的点为（1,3）,位于第一象限．

8．已知复数z＝,z·＝1,则正数m的值为（　　）

A.B．2

C.D.

解析:

选A　法一:

z＝＝＝＋i,＝－i,z·＝＝1,则正数m＝,故选A.

法二:

由题意知|z|＝＝,由z·＝|z|2,得＝1,则正数m＝,故选A.

9．已知a,b∈R,i是虚数单位,若（1＋i）（1－bi）＝a,则的值为________．

解析:

因为（1＋i）（1－bi）＝1＋b＋（1－b）i＝a,

所以解得所以＝2.

答案:

2

10．复数|1＋i|＋2＝________.

解析:

原式＝＋＝＋＝＋i－＝i.

答案:

i

11．（2019·重庆调研）已知i为虚数单位,复数z＝,复数|z|＝________.

解析:

法一:

因为z＝＝＝＝1＋i,所以|z|＝＝.

法二:

|z|＝＝＝＝.

答案:

12．已知复数z＝,是z的共轭复数,则z·＝________.

解析:

∵z＝＝

＝＝

＝＝－＋i,

∴z·＝|z|2＝＋＝.

答案:

13．计算:

（1）；

（2）；

（3）＋；

（4）.

解:

（1）＝＝－1－3i.

（2）＝＝＝＝＋i.

（3）＋＝＋＝＋＝－1.

（4）＝＝＝＝－－i.

第二节

算法与程序框图

一、基础知识批注——理解深一点

1．算法

（1）算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．

（2）应用:

算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题．

2．程序框图

程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．

3．三种基本逻辑结构

（1）顺序结构

定义

由若干个依次执行的步骤组成

程序框图

（2）条件结构

定义

算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构

程序框图

（3）循环结构

定义

从算法某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤,反复执行的步骤称为循环体

程序框图

直到型循环结构

先循环,后判断,条件满足时终止循环.

当型循环结构

先判断,后循环,条件满足时执行循环.

三种基本逻辑结构的适用情境

（1）顺序结构:

要解决的问题不需要分类讨论．

（2）条件结构:

要解决的问题需要分类讨论．

（3）循环结构:

要解决的问题要进行许多重复的步骤,且这些步骤之间有相同的规律．

二、基础小题强化——功底牢一点

（1）算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算．（　　）

（2）一个程序框图一定包含顺序结构,也包含条件结构和循环结构．（　　）

（3）一个循环结构一定包含条件结构．（　　）

（4）当型循环是给定条件不成立时,执行循环体,反复进行,直到条件成立为止．（　　）

答案:

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

（二）选一选

1．（2018·北京高考）执行如图所示的程序框图,输出的s值为（　　）

A.　　　　　　　　　　　B.

C.D.

解析:

选B　第一步:

s＝1－＝,k＝2,k<3；

第二步:

s＝＋＝,k＝3,输出s.故选B.

2.某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费,每月收费方法是:

4人和4人以下的住户,每户收取6元；超过4人的住户,每超出1人加收1.1元,相应收费系统的程序框图如图所示,则①处应填（　　）

A．y＝6＋1.1x

B．y＝15＋1.1x

C．y＝6＋1.1（x－4）

D．y＝15＋1.1（x－4）

解析:

选C　依题意得,费用y与人数x之间的关系为y＝则程序框图中①处应填y＝6＋1.1（x－4）．

（三）填一填

3．如图所示的程序框图的运行结果为________．

解析:

因为a＝2,b＝4,所以输出S＝＋＝2.5.

答案:

2.5

4．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为________．

解析:

进行第一次循环时,

S＝＝20,i＝2,S＝20>1；

进行第二次循环时,

S＝＝4,i＝3,S＝4>1；

进行第三次循环时,

S＝,i＝4,S＝<1,

此时结束循环,输出的i＝4.

答案:

4

[例1]　（2019·沈阳质检）已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的实数x的值为（　　）

A．－3B．－3或9

C．3或－9D．－3或－9

[解析]　当x≤0时,y＝x－8＝0,x＝－3；当x>0时,y＝2－log3x＝0,x＝9.故x＝－3或x＝9,选B.

[答案]　B

[例2]　某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数为（　　）

A．f（x）＝

B．f（x）＝

C．f（x）＝

D．f（x）＝x2ln（x2＋1）

[解析]　由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数,选项A、C中的函数虽然是奇函数,但在给定区间上不存在零点,故排除A、C.选项D中的函数是偶函数,故排除D.选B.

[答案]　B

[解题技法]　顺序结构和条件结构的运算方法

（1）顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．解决此类问题,只需分清运算步骤,赋值量及其范围进行逐步运算即可．

（2）条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能,然后根据“是”的分支成立的条件进行判断．

（3）对于条件结构,无论判断框中的条件是否成立,都只能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支．

[题组训练]

1．半径为r的圆的面积公式为S＝πr2,当r＝5时,计算面积的流程图为（　　）

解析:

选D　因为输入和输出框是平行四边形,故计算面积的流程图为D.

2．运行如图所示的程序框图,可输出B＝______,C＝______.

解析:

若直线x＋By＋C＝0与直线x＋y－2＝0平行,则B＝,且C≠－2,

若直线x＋y＋C＝0与圆x2＋y2＝1相切,则＝1,解得C＝±2,

又C≠－2,所以C＝2.

答案:

　2

考法

（一）　由程序框图求输出（输入）结果

[例1]　（2018·天津高考）阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

[解析]　输入N的值为20,

第一次执行条件语句,N＝20,

i＝2,＝10是整数,

∴T＝0＋1＝1,i＝3＜5；

第二次执行条件语句,N＝20,i＝3,＝不是整数,

∴i＝4＜5；

第三次执行条件语句,N＝20,i＝4,＝5是整数,

∴T＝1＋1＝2,i＝5,此时i≥5成立,∴输出T＝2.

[答案]　B

[例2]　（2019·安徽知名示范高中联考）执行如图所示的程序框图,如果输出的n＝2,那么输入的a的值可以为（　　）

A．4B．5

C．6D．7

[解析]　执行程序框图,输入a,P＝0,Q＝1,n＝0,此时P≤Q成立,P＝1,Q＝3,n＝1,此时P≤Q成立,P＝1＋a,Q＝7,n＝2.因为输出的n的值为2,所以应该退出循环,即P>Q,所以1＋a>7,结合选项,可知a的值可以为7,故选D.

[答案]　D

[解题技法]　循环结构的一般思维分析过程

（1）分析进入或退出循环体的条件,确定循环次数．

（2）结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．

（3）辨析循环结构的功能．

考法

（二）　完善程序框图

[例1]　（2018·武昌调研考试）执行如图所示的程序框图,如果输入的a依次为2,2,5时,输出的s为17,那么在判断框中可以填入（　　）

A．k

B．k>n?

C．k≥n?

D．k≤n?

[解析]　执行程序框图,输入的a＝2,s＝0×2＋2＝2,k＝1；输入的a＝2,s＝2×2＋2＝6,k＝2；输入的a＝5,s＝2×6＋5＝17,k＝3,此时结束循环,又n＝2,所以判断框中可以填“k>n？

”,故选B.

[答案]　B

[例2]　（2018·全国卷Ⅱ）为计算S＝1－＋－＋…＋－,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填入（　　）

A．i＝i＋1B．i＝i＋2

C．i＝i＋3D．i＝i＋4

[解析]　由题意可将S变形为S＝－,则由S＝N－T,得N＝1＋＋…＋,T＝＋＋…＋.据此,结合N＝N＋,T＝T＋易知在空白框中应填入i＝i＋2.故选B.

[答案]　B

[解题技法]　程序框图完善问题的求解方法

（1）先假设参数的判断条件满足或不满足；

（2）运行循环结构,一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；

（3）根据此时各个变量的值,补全程序框图．

[题组训练]

1．（2018·凉山质检）执行如图所示的程序框图,设输出的数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素a,则函数y＝xa,x∈[0,＋∞）是增函数的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析:

选C　执行程序框图,x＝－3,y＝3；x＝－2,y＝0；x＝－1,y＝－1；x＝0,y＝0；x＝1,y＝3；x＝2,y＝8；x＝3,y＝15；x＝4,退出循环．则集合A中的元素有－1,0,3,8,15,共5个,若函数y＝xa,x∈[0,＋∞）为增函数,则a>0,所以所求的概率为.

2．（2019·珠海三校联考）执行如图所示的程序框图,若输出的n的值为4,则p的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析:

选A　S＝0,n＝1；S＝,n＝2；S＝＋＝,n＝3；满足条件,所以p>,继续执行循环体；S＝＋＝,n＝4；不满足条件,所以p≤.输出的n的值为4,所以

3．（2019·贵阳适应性考试）某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则整数a的值为（　　）

A．6B．7

C．8D．9

解析:

选A　先不管a的取值,直接运行程序．首先给变量S,k赋值,S＝1,k＝1,执行S＝S＋,得S＝1＋,k＝2；执行S＝1＋＋,k＝3；……继续执行,得S＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－,由2－＝得k＝6,所以整数a＝6,故选A.

[典例]　执行如图程序语句,输入a＝2cos,b＝2tan,则输出y的值是（　　）

INPUT　a,b

IF　a

y＝a（a＋b）

ELSE

y＝a2－b

END　IF

PRINT　y

END

A．3B．4

C．6D．－1

[解析]　根据条件语句可知程序运行后是计算y＝

且a＝2cos＝2cosπ＝－2,

b＝2tan＝2tan＝－2.

因为a≥b,所以y＝a2－b＝（－2）2－（－2）＝6,

即输出y的值是6.

[答案]　C

[解题技法]　算法语句应用的4关注

输入、输出语句

在输入、输出语句中加提示信息时,要加引号,变量之间用逗号隔开

赋值语句

左、右两边不能对换,赋值号左边只能是变量

条件语句

条件语句中包含多个条件语句时,要分清内外条件结构,保证结构的完整性

循环语句

分清“当型”和“直到型”的格式,不能混用

[变透练清