不定积分与定积分的运算.docx
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不定积分与定积分的运算
不定积分与定积分的计算
1.不定积分
1.1不定积分的概念
原函数：
若在区间上
的一个
F（x）f（x），则称F（x）是原函数.
原函数的个数:
在区间
上的一个原函数,则对
都是
在区间
上的原函数；若
也是
在区间
上的原函数，则必有
可见，若
的全体原函数所成集合为
R}.
原函数的存在性:
连续函数必有原函数
不定积分：
的带有任意常数项的原
函数称为
的不定积分。
记作f（x）dx
一个重要的原函数：
若f（X）在区间
X
上连续，aI,则f（t）dt是的一个a
原函数。
1.2不定积分的计算
（1）裂项积分法
3
X2arctanxC。
3
例2：
dx
2.2CoSXSInX
2・2
cosXsinx,
2^^2dx
cosXSinX
（csc2Xsec2x）dx
例3:
dx
x2（x21）
（x21）
x2（x2
—dx
1）
dx
~
X
dx
1x2
arctanXC
X
（2）第一换元积分法
有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出
（arctgx）2C.
2
2arctantd（arctant）（arctgt）
（3）第二换元积分法
第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下:
被积函数包含naxb,处理方法是令naxbt,x-（tnb）;
a
被积函数包含a2X2（a0）,处理方法是令XSint或Xcost;
被积函数包含.a2χ2（a0）,处理方法是令Xtant;
例7:
计算一:
aXdxa0
2
a.XarcsIn
2
ln1
（1）XneXdx,XnSinxdx,XnCOSXdX等,方法是把ex,sinX）CQSX移至Ud后面,分部积分的目的是降低X的次数
（2）Xnlnmxdx,Xnarcsinmxdx,XnarctanmXdX等，方法是把Xn移到d后面,
分部几分的目的是化去lnX,arcsinx,arctanX.
例9：
x2exdxx2dexx2ex
ex2xdx
x2ex2XdXx2ex2（xexexdx）ex（x22x2）C
例10:
lnXIdx
lnXd
Ilnx
lnXX
dx
x2
-（lnx1）CX
例11:
（16x2）arctanXdX
3
arctanxd（x2x）
X2x3arctanX
2x3
-2
X
dx
X2x3arctanx
X
2x2dx
1X
X2x3arctanx
x2丄ln1x2
2
例12:
cos2XdX
CQSXdSinxCQSXSinxSin2XdX=
CQSXSinxXcos2XdX，
解得
2X1
CQSxdx一一sin2xC.
24
例13:
SeGXdXSeCXSeGXdXSeCXdtgXSeCXtgX
tgxsecxtgxdx
23
SeCXtgX（SeCX1）SeCXdXSeCXtgXSeCXdXSeCXdX
3
SeCXtgXInlSeCXtgx∣SeCXdX,
以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧例14设函数f（X）的一个原函数是竺，求Xf（X）dX
X
2sinX
COSXC
X
［评］:
本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法
arctanx
例15计算兰MX
（1X2）"
（1）用分部积分法；
（2）
［说明］涉及到arcsinx,arctanX的积分一般有两种处理方法
作变量替换令arcsinxt或arctanxt
解法
arctanX
Xe
（1x2
TdX
arctanXe
2
2（Ix2）-3d（IX）
1arctanXI
-2ed
2
_1_
：
1「2
_1_
1X2
arctanXe
_1_
1X2
arctanX
e-
1
ydx
_1_
1X2
arctanXe
arctanXe
（1X2）
dx
评:
分部积分后,后面的积分计算更加困难•为此我们考虑变量替换法
解法二:
令arctanxy,Xtany
评:
变量替换后几分的难度大大降低,Sinyeydy是每种教材上都有的积分
2.定积分
定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算
（1）基本积分法
解：
令Xtant，则
（1
206^≡⅛2arctan（2Sint）lθ§
⑵分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数
3
例17计算XX2dx
0
3
例17计算°max{x,1x}dx
（3）利用函数的奇偶性化简定积分
1
例18计算I（X.1x2）2dx
111:
解：
（X、1x2）2dx=1dx2x1χ2dx=2+0=2
1'11
1
例19计算I（Xx）edX
111
解:
I（Xx）eIXdX=IXeIXdXIXelXdX
1X1
02xedx24e
0
x・2
例20计算：
亍驴X
分析：
被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。
但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。
解:
X・2
7eSinXn4Xdx
01ex
CX-2
0eSinXI
・2
SinXI
—dx
41e
0ex
0^⅛卫d（y）
^eysin2
01ey
.2匸SinyI4ydy01ey
.2忆SlnXI
4rdx01ex
所以
4
~4
X・2
eSinXI
Xdx
1e
X.2
NeSInXI4XdX01eX
CX・2
0esinXI
Xdx
41e
4・2
4Sin
o
XdX1
8
（4）一类定积分问题
1
求f（x）
例21已知f（X）是连续函数，f（X）3x22Of（X）dX,
分析：
本题的解题关键是理解定积分是一个固定的常数
“A12
解：
令J（x）dxA,则f（x）3x2A，
1121
AOf（x）dxq（3x22A）dx12A所以A-
f（x）3x2—
3
6x
（4）分部积分法
当积分f（x）dg（x）不好计算，但g（x）df（x）容易计算时，使用分部积分公式
f（x）dg（x）f（x）g（x）g（x）df（X）.常见能使用分部积分法的类型
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