三角形角平分线专题讲解.docx

三角形角平分线专题讲解.docx

《三角形角平分线专题讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角形角平分线专题讲解.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

三角形角平分线专题讲解

三角形角平分线专题讲解

1．

2．

3．已知：

在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。

求证：

BM-CM>AB-AC

4．已知：

D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。

求证：

BD+CD>AB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：

∠ADC+∠B=180 

分析：

可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

求证：

BC=AB+AD

分析：

过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。

此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3．

已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

求证：

∠BAC的平分线也经过点P。

分析：

连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，

如果PC=4，则PD=（）

A4B3C2D1

2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：

如图2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，

AE=

（AB+AD）.求证：

∠D+∠B=180 。

4.已知：

如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC

上的点，∠FAE=∠DAE。

求证：

AF=AD+CF。

5．已知：

如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。

求证CF=BH。

（三）：

作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1．

已知：

如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。

求证：

DH=

（AB-AC）

分析：

延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。

问题可证。

例2．已知：

如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：

BD=2CE。

分析：

给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：

如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。

求证：

AM=ME。

分析：

由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。

例4．已知：

如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。

求证：

AM=

（AB+AC）

分析：

题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=

EC，另外由求证的结果AM=

（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。

练习：

1．已知：

在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。

2．已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=

BC

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

如图4-1和图4-2所示。

例4如图，AB>AC,∠1=∠2，求证：

AB－AC>BD－CD。

例5如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：

∠A+∠C=180。

例6如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：

AD=AB+CD。

练习：

1.已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。

求证：

△ABC是直角三角形。

2．已知：

如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：

DC⊥AC

3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：

AC=AE+CD

4．已知：

如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：

BC=AB+AD

三由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：

在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：

将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、已知如图1-1：

D、E为△ABC内两点,求证:

AB+AC>BD+DE+CE.

证明：

（法一）

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，

在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;

（1）

在△BDM中，MB+MD>BD；

（2）

在△CEN中，CN+NE>CE；（3）

由

（1）+

（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

∴AB+AC>BD+DE+EC

（法二：

图1-2）

延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…

（1）

GF+FC>GE+CE（同上）

（2）

DG+GE>DE（同上）（3）

由

（1）+

（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：

如图2-1：

已知D为△ABC内的任一点，求证：

∠BDC>∠BAC。

分析：

因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：

延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC

证法二：

连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的

外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+

∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：

∠BDC>∠BAC。

注意：

利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、

有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：

如图3-1：

已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：

BE+CF>EF。

分析：

要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明：

在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，

在△DBE和△NDE中：

DN=DB（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

ED=ED（公共边）

∴△DBE≌△NDE（SAS）

∴BE=NE（全等三角形对应边相等）

同理可得：

CF=NF

在△EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE+CF>EF。

注意：

当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、截长补短法作辅助线。

例如：

已知如图6-1：

在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点

求证：

AB-AC>PB-PC。

分析：

要证：

AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN

即：

AB-AC>PB-PC。

证明：

（截长法）

在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中

AN=AC（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）

∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等）

∵在△BPN中，有PB-PN

∴BP-PC

证明：

（补短法）

延长AC至M，使AM=AB，连接PM，

在△ABP和△AMP中

AB=AM（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）

∴△ABP≌△AMP（SAS）

∴PB=PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：

CM>PM-PC（三角形两边之差小于第三边）

∴AB-AC>PB-PC。

例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE。

例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，

求证：

∠ADC+∠B=180º

例3已知：

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，

A=108°，BD平分

ABC。

求证：

BC=AB+DC。

例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。

求证：

CD=

DB。

1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：

AD=AB+CD。

2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，

BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。

求证：

BD=DE+CE

四由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=

SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。

已知ΔABC的面积为2，求：

ΔCDF的面积。

解：

因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=

SΔABC=

×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，

因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=

SΔCDE=

×1=

。

∴ΔCDF的面积为

。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

求证：

∠BGE=∠CHE。

证明：

连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，

∵ME是ΔBCD的中位线，

∴ME

CD，∴∠MEF=∠CHE，

∵MF是ΔABD的中位线，

∴MF

AB，∴∠MFE=∠BGE，

∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，

从而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

解：

延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。

在ΔACD和ΔEBD中，

∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，

∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，

从而BE=AC=3。

在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，

∴BD=

=

=

，故BC=2BD=2

。

例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：

ΔABC是等腰三角形。

证明：

延长AD到E，使DE=AD。

仿例3可证：

ΔBED≌ΔCAD，

故EB=AC，∠E=∠2，

又∠1=∠2，

∴∠1=∠E，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：

AC=BD。

证明：

取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC

斜边AB上的中线，故DE=CE=

AB，因此∠CDE=∠DCE。

∵AB//DC，

∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，

∴∠1=∠2，

在ΔADE和ΔBCE中，

∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，

∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，

CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：

BD=2CE。

证明：

延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

注：

此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。

（六）中线延长

口诀：

三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

例一：

如图4-1：

AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

BE+CF>EF。

证明：

廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。

在△BDE和△CDM中，

BD=CD（中点定义）

∠1=∠5（对顶角相等）

ED=MD（辅助线作法）

∴△BDE≌△CDM（SAS）

又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）

∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）

∴∠3+∠2=90°

即：

∠EDF=90°

∴∠FDM=∠EDF=90°

在△EDF和△MDF中

ED=MD（辅助线作法）

∠EDF=∠FDM（已证）

DF=DF（公共边）

∴△EDF≌△MDF（SAS）

∴EF=MF（全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE+CF>EF

上题也可加倍FD，证法同上。

注意：

当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

例二：

如图5-1：

AD为△ABC的中线，求证：

AB+AC>2AD。

分析：

要证AB+AC>2AD，由图想到：

AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

证明：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE

∵AD为△ABC的中线（已知）

∴BD=CD（中线定义）

在△ACD和△EBD中

BD=CD（已证）

∠1=∠2（对顶角相等）

AD=ED（辅助线作法）

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：

AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）

∴AB+AC>2AD。

练习：

1如图，AB=6，AC=8，D为BC的中点，求AD的取值范围。

2如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：

AD=2AE。

3如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。

求证：

AM⊥DC。

4，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。

5．已知：

如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：

BF=AC