，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C错误．
1．（卫星变轨）（2019·山西五地联考期末）2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅．她肩负着沉甸甸的使命：
首次实现人类探测器月球背面软着陆.2018年12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图3所示，下列说法正确的是（ ）
图3
A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同
B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小
C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动的周期
D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样
答案 B
解析 嫦娥四号从地月转移轨道的P点进入100公里环月轨道，需点火减速，所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度，故A错误；从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道，嫦娥四号需点火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；根据开普勒第三定律
＝k知，100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期大于在椭圆环月轨道运动的周期，故C错误；嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D错误．
2．（飞船回收）2017年9月，我国控制“天舟一号”飞船离轨，使它进入大气层烧毁，残骸坠入南太平洋一处号称“航天器坟场”的远离大陆的深海区．在受控坠落前，“天舟一号”在距离地面380km的圆轨道上飞行，则下列说法中正确的是（ ）
A．在轨运行时，“天舟一号”的线速度大于第一宇宙速度
B．在轨运行时，“天舟一号”的角速度小于同步卫星的角速度
C．受控坠落时，应通过“反推”实现制动离轨
D．“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行速度不断减小
答案 C
解析 第一宇宙速度是环绕地球圆轨道运行的卫星的最大速度，则“天舟一号”在轨运行时的线速度小于第一宇宙速度，选项A错误；在轨运行时，“天舟一号”的运行半径小于同步卫星的运行半径，根据ω＝
可知，其角速度大于同步卫星的角速度，选项B错误；受控坠落时要先减速，让前部的推进器点火，通过“反推”实现制动离轨，选项C正确；“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行半径逐渐减小，地球的引力做正功，则运行速度不断增大，选项D错误．
题型二 双星或多星模型
1．双星模型
（1）模型构建：
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图4所示．
图4
（2）特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
＝m1ω
r1，
＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：
r1＋r2＝L.
2．多星模型
（1）模型构建：
所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
（2）三星模型：
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图5甲所示）．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）．
图5
（3）四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）．
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）．
双星模型
例3
（2018·全国卷Ⅰ·20改编）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A．质量之积B．各自的质量
C．速率之和D．各自的自转角速度
答案 C
解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12圈，角速度已知
中子星运动时，由万有引力提供向心力得
＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②
l＝r1＋r2③
由①②③式得
＝ω2l，所以m1＋m2＝
，
质量之和可以估算，但不能估算各自的质量．
由线速度与角速度的关系v＝ωr得
v1＝ωr1④
v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω（r1＋r2）＝ωl，速率之和可以估算．
质量之积和各自的自转角速度无法求解，故选C.
多星模型
例4
宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图6所示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则（ ）
图6
A．每颗星做圆周运动的线速度大小为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案 C
解析 每颗星受到的合力为F＝2G
sin60°＝
G
，轨道半径为r＝
R，由向心力公式F＝ma＝m
＝mω2r＝m
r，解得a＝
，v＝
，ω＝
，T＝2π
，显然加速度a与m有关，故C正确，A、B、D错误．
3.（双星模型）（2020·广东深圳中学质检）有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图7所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是（ ）
图7
A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1
B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M1∶M2
C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2
D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1
答案 D
解析 双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B错误；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确．
4.（四星模型）（2019·安徽模拟）如图8为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G.下列说法中正确的是（ ）
图8
A．星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变
答案 D
解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由
G
＋G
＝（
＋
）G
＝mω2·
L，可知ω＝
，故B错误；由（
＋
）G
＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的
，故C错误；由（
＋
）G
＝m
可知星体匀速圆周运动的线速度大小为v＝
，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
课时精练
1．目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是（ ）
A．卫星的动能逐渐减小
B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D．卫星克服稀薄气体阻力做的功等于引力势能的减小量
答案 B
解析 地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D错误．
2．（2019·江苏卷·4）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则（ ）
图1
A．v1＞v2，v1＝
B．v1＞v2，v1＞
C．v1＜v2，v1＝
D．v1＜v2，v1＞
答案 B
解析 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中，只有万有引力做功，因而机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，卫星的势能增加，动能减小，因此v1＞v2；“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G
＜m
，解得v1＞
，B正确，A、C、D错误．
3．（2020·江苏南京、盐城市一模）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成在引力作用下都绕某点做匀速圆周运动；但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动．我们把前一种假设叫“模型一”，后一种假设叫“模型二”．已知月球中心到地球中心的距离为L，月球运动的周期为T.利用（ ）
A．“模型一”可确定地球的质量
B．“模型二”可确定月球的质量
C．“模型一”可确定月球和地球的总质量
D．“模型二”可确定月球和地球的总质量
答案 C
解析 对于“模型一”，是双星问题，设月球和地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，间距为L，运行周期为T，根据万有引力定律有G
＝M
R＝m
r
其中R＋r＝L
解得M＋m＝
可以确定月球和地球的总质量，A错误，C正确；
对于“模型二”，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G
＝m
L
解得地球的质量为M＝
，可以确定地球的质量，无法确定月球的质量，B、D错误．
4.（2021·江苏苏州市期中）人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道．如图2所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则下列说法正确的是（ ）
图2
A．该卫星的发射速度应大于11.2km/s且小于16.7km/s
B．该卫星在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度比在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度小
C．该卫星在B点通过减速实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ
D．若该卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的周期分别为T1、T2、T3，则T1＜T2＜T3
答案 D
5．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
G
＝m1（
）2r1，得：
m2＝
，故D正确．
6．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
A.
TB.
T
C.
TD.
T
答案 B
解析 设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：
G
＝m（
）2·r，对质量为M的恒星：
G
＝M（
）2（L－r），得G
＝
·L，即T2＝
；则当总质量为k（M＋m），间距为L′＝nL时，T′＝
T，选项B正确．
7.（2020·福建龙岩市检测）2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图3所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是（ ）
图3
A．它们的万有引力大小变小
B．它们的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线速度也变大
D．恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小
答案 C
解析 质量较大的M1和质量较小的M2之间的万有引力F＝G
，结合数学知识可知M1＝M2时，M1M2有最大值，根据题意，质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，所以万有引力变大，A、B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，有G
＝M1
R1，G
＝M2
R2，解得两天体质量的表达式M2＝
R1，M1＝
R2，两天体总质量的表达式M1＋M2＝
（R1＋R2）＝
，两天体的总质量不变，天体之间的距离L不变，所以天体运动的周期T不变，较小质量的黑洞M2质量增大，所以恒星做圆周运动的半径R1增大，根据v＝
可知恒星的线速度增大，C正确，D错误．
8．太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式（如图4）：
一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则（ ）
图4
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝
R
D．三角形三星系统的线速度大小为
答案 B
解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；直线三星系统中，对甲星有G
＋G
＝M
R，解得T＝4πR
，选项B正确；对三角形三星系统中任一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2G
cos30°＝M
·
，联立解得L＝
R，选项C错误；三角形三星系统的线速度大小为v＝
＝
＝
·
·
，选项D错误．
升级会员 