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1、第五章 专题强化八 卫星变轨问题 双星模型专题强化八卫星变轨问题双星模型目标要求1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题题型一卫星的变轨和对接问题1变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道上，如图1所示图1(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道.2变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道和上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vAv1，在B点加速，则v3

2、vB，又因v1v3，故有vAv1v3vB.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道还是轨道上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道或轨道上经过B点的加速度也相同(3)周期：设卫星在、轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律k可知T1T2T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒若卫星在、轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1E2E3.例1(2021江苏连云港市期中)2020年7月23日，我国火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由长征五号运载火箭发射升空，随后准确地进入预定地火转移轨

3、道如图2所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道、为椭圆，轨道为圆探测器经轨道、运动后在Q点登陆火星，O点是轨道、的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道的远火星点和近火星点已知火星的半径为R，OQ4R，轨道上经过O点的速度为v，关于探测器，下列说法正确的是()图2A沿轨道运动时，探测器与P点连线在相等时间内扫过的面积相等B沿轨道的运动周期小于沿轨道的运动周期C沿轨道运动时，经过O点的速度大于vD沿轨道运动时，经过O点的加速度等于答案D例2宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是()A飞船加

4、速直到追上空间站，完成对接B飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接C飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接D无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接答案B解析飞船在轨道上正常运行时，有Gm.当飞船直接加速时，所需向心力m增大，则Gm，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C错误1(卫星变轨)(2019山西五地联考期末

5、)2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅她肩负着沉甸甸的使命：首次实现人类探测器月球背面软着陆.2018年12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图3所示，下列说法正确的是()图3A嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同B嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小C嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动的周期D嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P

6、的加速度大小，但方向有可能不一样答案B解析嫦娥四号从地月转移轨道的P点进入100公里环月轨道，需点火减速，所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度，故A错误；从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道，嫦娥四号需点火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；根据开普勒第三定律k知，100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期大于在椭圆环月轨道运动的周期，故C错误；嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D错误2(飞船回收)2017年9月，我国控制“天舟一号”飞船离轨，使它进入

7、大气层烧毁，残骸坠入南太平洋一处号称“航天器坟场”的远离大陆的深海区在受控坠落前，“天舟一号”在距离地面380 km的圆轨道上飞行，则下列说法中正确的是()A在轨运行时，“天舟一号”的线速度大于第一宇宙速度B在轨运行时，“天舟一号”的角速度小于同步卫星的角速度C受控坠落时，应通过“反推”实现制动离轨D“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行速度不断减小答案C解析第一宇宙速度是环绕地球圆轨道运行的卫星的最大速度，则“天舟一号”在轨运行时的线速度小于第一宇宙速度，选项A错误；在轨运行时，“天舟一号”的运行半径小于同步卫星的运行半径，根据可知，其角速度大于同步卫星的角速度，选项B错误；受控坠落时要先

8、减速，让前部的推进器点火，通过“反推”实现制动离轨，选项C正确；“天舟一号”离轨后，在进入大气层前，运行半径逐渐减小，地球的引力做正功，则运行速度不断增大，选项D错误题型二双星或多星模型1双星模型(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图4所示图4(2)特点：各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即m1r1，m222r2两颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，12.两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1r2L.2多星模型(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同(2)三星模型：三颗星体位于同

9、一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图5甲所示)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)图5(3)四星模型：其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示) 双星模型例3(2018全国卷20改编)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈将

10、两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A质量之积 B各自的质量C速率之和 D各自的自转角速度答案C解析两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知中子星运动时，由万有引力提供向心力得m12r1m22r2lr1r2由式得2l，所以m1m2，质量之和可以估算，但不能估算各自的质量由线速度与角速度的关系vr得v1r1v2r2由式得v1v2(r1r2)l，速率之和可以估算质量之积和各自的自转角速度无法求解，故选C. 多星模型例4宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图6所示三颗质量均为m

11、的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则()图6A每颗星做圆周运动的线速度大小为B每颗星做圆周运动的角速度为C每颗星做圆周运动的周期为2D每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关答案C解析每颗星受到的合力为F2Gsin 60G，轨道半径为rR，由向心力公式Fmamm2rmr，解得a，v，T2，显然加速度a与m有关，故C正确，A、B、D错误3.(双星模型)(2020广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图7所示若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为

12、圆心做匀速圆周运动根据所学知识，下列说法中正确的是()图7A双黑洞的角速度之比12M2M1B双黑洞的轨道半径之比r1r2M1M2C双黑洞的线速度大小之比v1v2M1M2D双黑洞的向心加速度大小之比a1a2M2M1答案D解析双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M12r1M22r2，得r1r2M2M1，故B错误；由vr得双黑洞的线速度大小之比为v1v2r1r2M2M1，故C错误；由a2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1a2r1r2M2M1，D正确4.(四星模型)(2019

13、安徽模拟)如图8为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G.下列说法中正确的是()图8A星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心B每个星体匀速圆周运动的角速度均为C若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍D若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变答案D解析四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由GG()Gm2L，可知，故B错误；由()Gma可

14、知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由()Gm可知星体匀速圆周运动的线速度大小为v，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确课时精练1目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A卫星的动能逐渐减小B由于地球引力做正功，引力势能一定减小C由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D卫星克服稀薄气体阻力做的功等于引力势能的减小量答案B解析地球引力做正功

15、，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D错误2(2019江苏卷4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则()图1Av1v2，v1 Bv1v2，v1Cv1v2，v1 Dv1v2，v1答案B解析“东方红一

16、号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中，只有万有引力做功，因而机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，卫星的势能增加，动能减小，因此v1v2；“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知Gm，解得v1，B正确，A、C、D错误3(2020江苏南京、盐城市一模)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成在引力作用下都绕某点做匀速圆周运动；但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动我们把前一种假设叫“模型一”，后一种假设叫“模型二”已知月球中心到地球中心的距离为L，月球运动的周期为T.利用()A“模型一”可确定地球的质量B“模型二”可确定月球的质量

17、C“模型一”可确定月球和地球的总质量D“模型二”可确定月球和地球的总质量答案C解析对于“模型一”，是双星问题，设月球和地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，间距为L，运行周期为T，根据万有引力定律有GMRmr其中RrL解得Mm可以确定月球和地球的总质量，A错误，C正确；对于“模型二”，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有GmL解得地球的质量为M，可以确定地球的质量，无法确定月球的质量，B、D错误4.(2021江苏苏州市期中)人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道如图2所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道的A点先变轨到椭圆轨道，然后在B点变轨进入地球同步轨道，

18、则下列说法正确的是()图2A该卫星的发射速度应大于11.2 km/s且小于16.7 km/sB该卫星在轨道上经过A点时的加速度比在轨道上经过B点时的加速度小C该卫星在B点通过减速实现由轨道进入轨道D若该卫星在轨道、上运动的周期分别为T1、T2、T3，则T1T2T3答案D5银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为()A. B.C. D.答案D解析取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由

19、牛顿第二定律得：Gm1()2r1，得：m2，故D正确6双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.T B.TC.T D.T答案B解析设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：Gm()2r，对质量为M的恒星：GM()2(Lr)，得GL，即T2；则当

20、总质量为k(Mm)，间距为LnL时，TT，选项B正确7.(2020福建龙岩市检测)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”天鹅座X1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图3所示在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是()图3A它们的万有引力大小变小B它们的万有引力大小不变C恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线

21、速度也变大D恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小答案C解析质量较大的M1和质量较小的M2之间的万有引力FG，结合数学知识可知M1M2时，M1M2有最大值，根据题意，质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，所以万有引力变大，A、B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，有GM1R1，GM2R2，解得两天体质量的表达式M2R1，M1R2，两天体总质量的表达式M1M2(R1R2)，两天体的总质量不变，天体之间的距离L不变，所以天体运动的周期T不变，较小质量的黑洞M2质量增大，所以恒星做圆周运动的半径R1增大，根据v可知恒星的线速度增大，C正确，D错误8太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相

22、等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图4)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则()图4A直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B直线三星系统的运动周期T4RC三角形三星系统中星体间的距离LRD三角形三星系统的线速度大小为答案B解析直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；直线三星系统中，对甲星有GGMR，解得T4R，选项B正确；对三角形三星系统中任一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30M，联立解得LR，选项C错误；三角形三星系统的线速度大小为v，选项D错误