极化恒等式.docx

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极化恒等式

活跃在高考中的一个恒等式

极化恒等式

01何谓极化恒等式

2

abab

P为平面ABC内一点，

三角形模型：

在ABC中，D为BC的中点：

ABACADBDADCDAD1BC

平行四边形模型

在平行四边形ABCD中：

ABAD14ACBD

02极化恒等式应用

例1，（2017全国II，理12）已知ABC是边长为2的等边三角形，

则PAPBPC的最小值是（

解法2（极化恒等式）：

设BC的重点为O，OC的中点为M，连接OP，PM，

E，F分别是BC，AC上的

当且仅当M与P重合始去等号.

例2在ABC中，已知C90,AC4,BC3,D是AB的中点，

动点，且EF=1，

则DEDF的最小值为（）

A.5

4

B.145

C.147

D.17

4

3

则A4,0,B0,3,D2,,

解法1（坐标法）

以AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

DFa2,

2DFa2,

设E0,b,Fa,0,则a2b21，DE2,b3

DEDF252a3b2514a3b，

4242

本题也可用三角换元法解决

1P0是边AB上的一定点，满足P0B1AB，

4

点P，恒有PBPCP0BP0C，则（）

A.ABC90

B.ABAC

C.BAC90

D.ACBC

解法1（坐标法）

以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设AB4,Ca,b,Px,0，则P01,0,A2,0,B2,0,PB2x,0,PCax,b,P0B1,0,P0Ca1,b，

a11,即：

a0，

解法2（基地法）

解法3（极化恒等式）

解法1（坐标法）

以BC为x，D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系

例4、（2016江苏）如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，

解法2（基底法）

BACA4,BFCF1，则BECE值为

解法3（极化恒等式）

例5、（2018宝鸡一模）直线axbyc0与圆O:

x2y216相交于两点M，N，若c2a2b2

解法1（坐标法）

以O为坐标原点，MN的平行线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，

解法2（基底法）

例6，如图，已知B，D是直角

11

CMCACB,CNCDCA，

22

3,BAD

6

C两边上的动点，ADBD,AD则CMCN的最大值为

1

2

解法1（坐标法）

以C为坐标原点，BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系，

解法3（极化恒等式）

解法2（基底法）

:

∙CM9C^≤g+学尸一^=∣（√13+4）f

故詡的⅛⅛人值为?

（寸13+4）.