专题研究之无锡市中考数学选择填空压轴题专题8几何变换问题.docx
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专题研究之无锡市中考数学选择填空压轴题专题8几何变换问题
专题08几何变换问题
例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）
同类题型1.1把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（ ）
A．是一个确定的值B．有两个不同的值
C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值
同类题型1.2已知：
如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达点，若设△ABC的面积为，C的面积为，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：
P′C＝2：
3，则PB：
P′A是（ ）
A．：
1B．2：
1C．：
2D．：
1
同类题型2.1如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：
①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
同类题型2.2如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：
①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④；⑤若AB＝2，则的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
同类题型2.3在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．
同类题型2.4如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．
同类题型2.5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．
同类题型2.6如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12，点G为边EF的中点，边FD与AB相交于点H，如图2，将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转到60°的过程中，BH的最大值是_________，点H运动的路径长是_________．
例3．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当E⊥AB时，的值等于（ ）
A．B．C．D．
同类题型3.1如图，正方形ABCD中，AD＝4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是_____________．
同类题型3.2如图，∠MON＝40°，点P是∠MON内的定点，点A、B分别在OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，则∠APB的度数为（ ）
A．20°B．40°C．100°D．140°
同类题型3.3如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE＝HF，下列结论：
①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
同类题型3.4△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED．连CE，则线段CE的长等于_______．
专题08几何变换问题
例1．如图，斜边长12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为______________．（结果保留根号）
解：
如图：
连接B′B″，
∵在Rt△ABC中，AB＝12，∠A＝30°，
∴AB＝6，，
∴B′C＝6，
∴－6，
∵B′C∥B″C″，B′C＝B″C″，
∴四边形B″C″CB′是矩形，
∴B″B′∥BC，B″B′＝C″C，
∴△AB″B′∽△ABC，
∴，
即：
，
解得：
．
∴．
同类题型1.1把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与另一个三角形拼合成一个四边形，那么x＋y（ ）
A．是一个确定的值B．有两个不同的值
C．有三个不同的值D．有三个以上不同的值
解：
（1）当两斜边重合的时候可组成一个矩形，此时x＝2，y＝3，
x＋y＝5；
（2）当两直角边重合时有两种情况，①短边重合，此时x＝2，y＝3，x＋y＝5；
②长边重合，此时x＝2，y＝5，x＋y＝7．
综上可得：
x＋y＝5或7．
选B．
同类题型1.2已知：
如图△ABC的顶点坐标分别为A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达点，若设△ABC的面积为，C的面积为，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
解：
△ABC的面积为×4×4＝8，
将B点平移后得到点的坐标是（2，1），
所以C的面积为×4×4＝8，
所以．
选B．
同类题型1.3
同类题型1.4
例2．如图，P是等边△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，已知∠AP′B＝150°，P′A：
P′C＝2：
3，则PB：
P′A是（ ）
A．：
1B．2：
1C．：
2D．：
1
解：
如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转60°到BP′，
∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝60°，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝60°，
∴∠ABP＝∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP＝P′C，
∵P′A：
P′C＝2：
3，
∴P′A，
连接PP′，则△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB，
∵∠AP′B＝150°，
∴∠AP′P＝150°－60°＝90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A＝x，则x，
根据勾股定理，x，
则x，
∴PB：
x：
：
2．
选C．
同类题型2.1如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：
①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：
①设∠1＝x度，则∠2＝（60－x）度，∠DBC＝（x＋60）度，故∠4＝（x＋60）度，
∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x＋60＋x＋60＝180度，
∴D、A、E三点共线；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠CDA＝120°－60°＝60°，
∴DC平分∠BDA；
③∵∠BAC＝60°，
∠E＝60°，
∴∠E＝∠BAC．
④由旋转可知AE＝BD，
又∵∠DAE＝180°，
∴DE＝AE＋AD．
∵△CDE为等边三角形，
∴DC＝DB＋BA．
同类题型2.2如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：
①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④；⑤若AB＝2，则的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：
∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＋∠DCN＝90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM＋∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，
又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON，∠COM＝∠BON，
∴∠DOC＋∠COM＝∠COB＋∠BPN，即∠DOM＝∠CON，
又∵DO＝CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON＋∠BOM＝∠COM＋∠BOM＝90°，
∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，
又∵Rt△BMN中，，
∴，故④正确；
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积＝△BOC的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN＝x＝CM，则BM＝2－x，
∴△MNB的面积＋x，
∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，
此时的最小值是，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
选D．
同类题型2.3在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为__________．
解：
∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，
∴△BOA≌△CDA，
∴AB＝AC，OA＝AD，
∵B、D、C共线，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝OB，
∵OA＝AD，BO＝CD＝BD，
∴OD⊥AB，
设直线AB解析式为y＝kx＋b，
把A与B坐标代入得：
，
解得：
，
∴直线AB解析式为x＋4，
∴直线OD解析式为x，
联立得：
，
解得：
，即，），
∵M为线段OD的中点，
∴，），
设直线CD解析式为y＝mx＋n，
把B与D坐标代入得：
，
解得：
，n＝4，
则直线CD解析式为x＋4．
同类题型2.4如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，则tanα﹒tanβ＝___________．
解：
过C点作MN⊥BF，交BG于M，交EF于N，
由旋转变换的性质可知，∠ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3，
由勾股定理得，＝4，
∴DG＝DC－CG＝1，
则，
∵，∠ABG＝∠CBE，
∴△ABG∽△CBE，
∴，
解得，，
∵∠MBC＝∠CBG，∠BMC＝∠BCG＝90°，
∴△BCM∽△BGC，
∴，即，
∴，
∴MN＝BE＝3，
∴，
∴，
∴，
∴
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