word完整版初中几何证明题库菱形.docx
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word完整版初中几何证明题库菱形
B．25°
C．30°
那么∠CDE的度数为（）
A．20°
D．35°
考点：
菱形的性质．
分析：
依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC﹣∠ADE，从而求解．
解答：
解：
∠AD∠BC，
∠∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∠AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∠∠ADE=50°，
又∠∠B=80°，
∠∠ADC=80°，
∠∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．
故选C．
点评：
本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．
已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则MC的值是.
AM
B、D，已知AB=BC=CD=DA=公5里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的
距离是【
垂足为点E，则DE的长为
7.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，
过点O作AC的垂直平分线
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。
求证：
AE=AF。
答案】证明：
连接CE。
∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。
又∵AO=C，O∴△AEO≌△CFO（AAS）。
∴AE=CF。
∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
】
【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。
由EF⊥AC，根据对角线
互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。
根据菱形四边相等的性质
和AE=AF。
3.如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=4，则菱形ABCD的面积为3
▲cm2．
CF
经过B，EF为折痕，当D'FCD时，的值为【
FD
答案】A。
数定义，特殊角的三角函数值。
分析】延长DC与A′D′，交于点M，
∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质，可得
∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
∵∠BCM=18°0-∠BCD=12°0，∴∠CBM=18°0-∠BCM-∠M=30°。
∴∠CBM∠=M。
∴BC=C。
M
设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x。
+y∴FM=CM+CF=2x，+y
AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200，③AH+CH=D，H
2
④AD2=OD·DH中，正确的是【
答案】D。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。
【分析】∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ABC是等边三角形。
∴∠B=∠EAC=600。
又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS）。
结论①正确。
∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。
∴∠AHC=1800－（∠ACE＋∠CAF）=1800－（∠BAF＋∠CAF）=1800－∠BAC=1800－600=1200。
结论②正确。
如图，在HD上截取HG=AH。
∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ADC是等边三角形。
∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。
又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC=1200＋600=1800。
∴A，H，C，D四点共圆。
∴∠AHD=∠ACD=600。
∴△AHG是等边三角形。
∴AH=AG，∠GAH=600。
∴∠CAH=600－∠CAG∠=DAG。
又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAG（SAS）。
∴CH=D。
G∴AH+CH=HG+DG=D。
H结论③正
ADHD
ODAD
确。
∵∠AHD=∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。
∴
∴AD2=OD·DH。
结论④正确。
综上所述，正确的是①②③④。
故选D。
例5.已知：
如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
2）求证：
AM=DF+M．E
答案】解：
（1）
∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。
∴MC=M。
D
∵ME⊥CD，∴CD=2C。
E
∵CE=1，∴CD=2。
∴BC=CD=。
2
2）证明：
1
∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC。
∴CF=CE。
2
∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。
在△CEM和△CFM中，∵CE=C，F∠ACB=∠ACD，CM=C，M
∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=M。
F延长AB交DF于点G，
∵AB∥CD，∴∠G=∠2。
∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。
∴AM=M。
G在△CDF和△BGF中，∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。
∴GF=D。
F
由图形可知，GM=GF+M，F∴AM=DF+M。
E
【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】
（1）根据菱形的对边平行可得AB∥D，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=D，M再根据等腰三角形三线合一的性质可
得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。
（2）先利用SAS证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=M，F
延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=G，M再利用AAS
证明△CDF和
△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+M即F可得证。
例3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意
【答案】B。
【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】分两步分析：
（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：
如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K1。
由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K1=PK1，P1K=PK。
由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1K＋QK>P1Q=P1K1＋QK1=PK1＋QK1。
∴此时的K1就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB
时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。
∵∠A=120°，∴∠DAQ1=30°。
3又∵AD=AB=，2∴P1Q=AQ1=AD·cos300=23。
3
综上所述，
PK+QK的最小值为3。
故选B。
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