中考数学复习知识点.docx
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中考数学复习知识点
2021年中考数学复习知识点汇总
一、垂线的性质：
1、
⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短。
2、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做_点到直线的距离。
线段AB叫做点A到直线BC的垂线段，它的长度就是点A到直线BC的距离
3、两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，
⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做同位角;
⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做内错角;
⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做同旁内角
二、最小公倍数
一、设：
按照题意设出未知数.一般地，所设的未知数为工人人数分配;
二、列：
列式表示两类产品生产总量;
三、求：
求出配套关系中出示的具体数据的最小公倍数;
四、等：
根据最小公倍数与产品配套关系，分配相乘，写出等式.
下面我就针对具体的例题来讲解用最小公倍数法及四步教学巧解产品配套问题.
例1 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?
注：
在解决上述问题前，我们必须要清楚“产品配套关系”这一特定问题中的特定概念：
如上述问题中出示的“2个大齿轮与3个小齿轮配成一套”即为该问题中的产品配套关系.
分析：
第一步：
设：
安排x名工人加工大齿轮，则安排（85-x）名工人加工小齿轮才能使每天加工的大小齿轮刚好配套;
第二步：
列：
x名工人每天共生产大齿轮16x个，（85-x）名工人每天共加工小齿轮10（85-x）个;
第三步：
求：
该问题中的配套关系是“2个大齿轮与3个小齿轮配成一套”，它们的最小公倍数是：
2×3=6;
第四步：
等：
因为x名工人每天共生产大齿轮16x，（85-x）名工人每天共加工小齿轮10（85-x）个，则分配相乘为：
三、因式定理
因式定理、综合除法分解因式
对于整系数一元多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
由因式定理可先判断它是否含有一次因式（x-）（其中p，q互质），p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数
若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解
例8分解因式x3-4x2+6x-4
解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4
∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4
∵f
（1）≠0,f
（1）≠0
但f
（2）=0,故（x-2）是这个多项式的因式，再用综合除法
21-46-4
2-44
1-220
所以原式=（x-2）（x2-2x+2）
当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4
=x（x-2）2+（x-2）
=（x-2）（x2-2x+2）
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握！
四、代数式的六大分类
代数式：
1.有理式；2.整式；3.多项式；4.单项式；5.分式；6.无理式。
在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
有理式
有理式包括整式（除数中没有字母的有理式）和分式（除数中有字母且除数不为0的有理式）。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.
整式有包括单项式（数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母）和多项式（若干个单项式的和）.
无理式
含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
单项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数：
单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的数字系数，简称系数
单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
多项式
几个单项式的代数和叫做多项式;多项式中每个单项式叫做多项式的项。
不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数：
多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
齐次多项式：
各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式：
次数大于零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时，称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式，复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式：
在多元多项式中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项：
多项式中含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
五、一元一次方程组
1、引入未知数列出方程：
某渔场甲仓库有鱼48吨，乙仓库比甲仓库少12吨，现因仓库改造，要求甲仓库存鱼量比乙仓库多2倍，问需要从乙仓库运多少吨鱼到甲仓库？
2．某水果店一次批发买进苹果若干筐，每筐苹果的进价为30元，如果按照每筐40元的价钱卖出，那么当卖出比全部苹果的一半多5筐时，恰好收回全部苹果的成本，那么这个水果店这次一共批发买进苹果多少筐？
3一艘载重400吨的商船，容积为600立方米．现有两种货物待运，甲种货物每立方米3吨，乙种货物每吨体积为2立方米，试问甲、乙两种货物分别装多少吨才能最大限度的利用这艘商船的载重量和容积.
4．下表为某照相馆的价目表，今逢开业周年庆，底片冲洗与照片冲洗皆打6折，小玲带了一卷底片去冲洗相纸为"布纹"的照片若干张，打折后共付了60元。
请问小玲洗了多少张照片？
5．休息日小明和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1小时后，爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时8千米的速度去追，如果小明和妈妈每小时行3千米，他们从家里到外婆家需要1小时40分钟，问爸爸能在小明和妈妈到外婆家之前追上他们吗？
6．由于最近受甲型H1N1流感的影响，猪肉价格下降比较明显，由原来的每千克20元下降了10%；海鲜类价格有所上升，如河虾由原来的每千克46元上调至50元．某饭店到市场分别购进猪肉和河虾共180千克，发现调价前后的总价格仍然不变，问饭店购进猪肉和河虾各多少千克？
27．青岛、大连两个城市各有机床12台和6台，现将这些机床运往海南10台和厦门8台，每台费用如表一：
问题1：
如表二，假设从青岛运往海南台机床，并且从青岛、大连运往海南机床共花费36万元，求青岛运往海南机床台数．
问题2：
在问题1的基础上，求从青岛、大连运往海南、厦门的总费用为多少万元？
7、甲乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，40分钟相遇，已知甲每小时行30千米，乙每小时行20千米，相遇甲再行多少分钟能够到达B地，这时乙离A地还有多少米？
8、在"爱心传递"活动中，我区某校积极捐款，其中六年级的3个班级的捐款金额如下表所示：
小杰在统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款数额上，但他知道下面三条信息：
信息一：
这三个班的捐款总金额是7700元；
信息二：
（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；
信息三：
（1）班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元；
请根据以上信息，帮助小杰同学解决下列问题：
问题一：
求出
（2）班和（3）班的捐款金额各是多少元？
问题二：
求出
（1）班的学生人数．
六、方程与不等式
方程（组）与不等式（组）
易错点1：
各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。
易错点2：
运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。
（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X公因式要回头检验!
易错点3：
运用不等式的性质3时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。
易错点4：
关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。
易错点5：
关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。
易错点6：
解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
易错点7：
不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。
易错点8：
利用函数图象求不等式的解集和方程的解。
七、函数
易错点1：
各个待定系数表示的的意义。
易错点2：
熟练掌握各种函数解析式的求法，有几个的待定系数就要几个点值。
易错点3：
利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用图像性质确定增减性。
易错点4：
两个变量利用函数模型解实际问题，注意区别方程、函数、不等式模型解决不等领域的问题。
易错点5：
利用函数图象进行分类（平行四边形、相似、直角三角形、等腰三角形）以及分类的求解方法。
易错点6：
与坐标轴交点坐标一定要会求。
面积最大值的求解方法，距离之和的最小值的求解方法，距离之差最大值的求解方法。
易错点7：
数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质解题。
函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法，图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。
易错点8：
自变量的取值范围有：
二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0，0指数底数不为0，其它都是全体实数。
八、三角形
易错点1：
三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。
易错点2：
三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。
最短距离的方法。
易错点3：
三角形的内角和，三角形的分类与三角形内外角性质，特别关注外角性质中的“不相邻”。
易错点4：
全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定。
着重学会论证三角形全等，三角形相似与全等的综合运用以及线段相等是全等的特征，线段的倍分是相似的特征以及相似与三角函数的结合。
边边角两个三角形不一定全等。
易错点5：
两个角相等和平行经常是相似的基本构成要素，以及相似三角形对应高之比等于相似比，对应线段成比例，面积之比等于相似比的平方。
易错点6：
等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，这里需注意分类讨论思想的渗入。
易错点7：
运用勾股定理及其逆定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题。
易错点8：
将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用探究各种解题方法。
易错点9：
中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。
易错点10：
直角三角形判定方法：
三角形面积的确定与底上的高（特别是钝角三角形）。
易错点11：
三角函数的定义中对应线段的比经常出错以及特殊角的三角函数值。
九、四边形
易错点1：
平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。
三角形的稳定性与四边形不稳定性。
易错点2：
平行四边形注意与三角形面积求法的区分。
平行四边形与特殊平行四边形之间的转化关系。
易错点3：
运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分。
对角线将四边形分成面积相等的四部分。
易错点4：
平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透。
易错点5：
矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算。
矩形与正方形的折叠。
易错点6：
四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，掌握其中的不变与旋转一些性质。
易错点7：
梯形问题的主要做辅助线的方法
十、圆
易错点1：
对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况。
易错点2：
对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题。
易错点3：
对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。
易错点4：
考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，学生很容易忽视其中的一种情况。
易错点5：
与圆有关的位置关系把握好d与R和R+r，R-r之间的关系以及应用上述的方法求解。
易错点6：
圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
易错点7：
几个公式一定要牢记：
三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系。
十一、实数的分类
十二、实数的概念
十二、实数与数轴
1、数轴:
规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴
2、数轴上的点和实数的对应关系:
数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可
以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系
十三、实数的运算
1、加法
2、减法
减去一个数等于加上这个数的相反数。
（1）同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。
（2）n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;
（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
4、除法:
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
0除以任何数都等于0,0不能做被除数
5、乘方与开方:
乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序:
乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。
无论何种运算,都要注意先定符号后运算
十四、有效数字和科学记数法
1、科学记数法:
设N>0,则Na×10n（其中1≤a<10,n为整数）
2、有效数字:
一个近似数,从左边第一个不是0的数,到精确到的数位为止,所有的数叫做这个数的有效数字。
精确度的形式有两种:
（1）精确到那一位;
（2）保留几个有效数字
十五、整式的概念及运算
1、概念
（1）单项式:
像x、7、2x2y,这种数与字母的积叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
单项式的系数:
单项式中的数字因数叫单项式的系数。
（2）多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项:
多项式中每一个单项式都叫多项式的项。
一个多项式含有几项,就叫几项式。
多项式的次数:
多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
不含字母的项叫常数项。
升（降）幂排列:
把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列
（3）同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项
2、运算
（1）整式的加减：
合井同类项:
把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变。
去括号法则:
括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变;括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里的各项都变号
添括号法则:
括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都变号
（2）整式的乘除
幂的运算法则:
其中m、n都是正整数
同底数幂相乘:
am·an=am÷n;同底数幂相除:
am÷an=am-n;幂的乘方:
（am）n=amn
积的乘方:
（ab）n=anbn
平方差公式:
（a+b）（a-b）=a2-b2
完全平方公式:
（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2
十六、因式分解
1、因式分解概念:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解。
2、常用的因式分解方法:
（1）提取公因式法:
ma+mb+mc=m（a+b+c）
（2）运用公式法
平方差公式:
a2-b2=（a+b）（a-b）;完全平方公式:
a2±2ab+b2=（a±b）2
（3）十字相乘法:
x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）
（4）运用求根公式法:
若ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2,则有:
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）
3、因式分解的一般步骤:
（1）如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
（2）提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法;
（3）对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法。
十七、分式
1、分式定义:
形如
的式子叫分式,其中A、B是整式,且B中含有字母。
（1）分式无意义:
B=0时,分式无意义;B≠0时,分式有意义。
（2）分式的值为0:
A=0,B≠0时,分式的值等于0
（3）最简分式:
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式,一定要化为最简分式
2、分式的基本性质
（1）
（M是≠0的整式）；
（2）
（M是≠0的整式）
（3）分式的变号法则:
分式的分子,分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。
十八、二次根式
十九、方程概念
1、方程:
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解:
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程:
求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根:
在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的増根。
二十、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的标准形式:
ax+b=0（其中x是未知数,a、b是已知数,a≠0
2、一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式:
ax2+bx+c=0（其中x是未知数,a、b、c是已知数,a≠0）
（2）一元二次方程的解法:
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程的根的判别式:
△=b2-4ac
当Δ>0时分方程有两个不相等的实数根
当△=0时方程有两个相等的实数根
当Δ<0时今方程没有实数根,无解;
当Δ≥0时方程有两个实数根。
（4）一元二次方程根与系数的关系：
若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,那么:
x1+x2=-
，x1·x2=
二十一、分式方程
（1）定义:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：
一般解法:
去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
（3）检验方法:
一般把求得的未知数的值代入最简公分母,使最简公分母不为0的就是原方程的根;使得最简公分母为0的就是原方程的增根,增根必须舍去,也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
二十二、方程组
一次方程组:
（1）二元一次方程组：
一般形式：
解法:
代入消远法和加减消元法
解的个数:
有唯一的解,或无解,当两个方程相同时有无数的解。
（2）三元一次方程组：
解法:
代入消元法和加减消元法
二元二次方程组：
（1）定义:
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。
（2）解法:
消元,转化为解一元二次方程,或者降次,转化为二元一次方程组。
二十三、方程组常见题型
1、工程问题
（1）基本工作量的关系:
工作量=工作效率×工作时间。
（2）常见的等量关系:
甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量。
（3）注意:
工程问题常把总工程看作”1”,水池注水问题属于工程问题。
2、行程问题
（1）基本量之间的关系:
路程=速度×时间
（2）常见等量关系:
相遇问题:
甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：
甲的时间=乙的时间；甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距路程
同地不同时:
甲的时间=乙的时间-时间差;甲的路程=乙的路程
3、水中航行问题
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度;
逆流速度=船在静水中的速度-水流速度
4、增长率问题
常见等量关系:
增长后的量=原来的量+增长的量;增长的量=原来的量×（1+增长率
5、数字问题
基本量之间的关系:
三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
二十四、不等式的类型
1、一元一次不等式
（1）概念:
含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式。
（2）解法:
与解一元一次方程类似,但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时,不等号方向要改变。
2、一元一次不等式组:
（1）概念:
含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。
（2）解法:
先求出各不等式的解集,再确定解集的公共部分。
注:
求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
二十五、一次函数
二十六、二次函数
二十七、反比例函数
二十八、线
1同角或等角的余角相等
2过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
3过两点有且只有一条直线
4两点之间线段最短
5.同角或等角的补角相等
6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
二十九、几何图形初步
三十、三角形及性质
三十一、特殊三角形
三十二、全等三角形
三十三、相似三角形
三十四、锐角三角形
三十五、平行四边形
三十六、矩形
三十七、圆形基本性质
三十八、点，直线与圆的位置关系
三十九、扇形
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