上海市七年级数学第一学期第3讲幂的运算教师版.docx

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上海市七年级数学第一学期第3讲幂的运算教师版

上海市七年级数学第一学期

本节课幂的运算主要分为三部分，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方．需要掌握三种运算的法则，重点是能够熟练地进行同底数幂的乘法，乘方和积的乘方以及加减的混合运算，难点是要灵活运用运算法则处理综合问题．

1、同底数幂的乘法法则

同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．即：

am⋅an=am+n（m、n都是正整数）．

【例1】在①a2n⋅an=a3n；②22⋅33=65；③32⋅32=81；④a2⋅a3=5a；⑤（-a）2⋅（-a）3=a5

中，计算正确的式子有（）个．

A.4B.3C.2D.1

【难度】★

【答案】C

【解析】②底数不同，指数不能相加；④a2⋅a3=a5；⑤（-a）2⋅（-a）3=（-a）5=-a5．

【总结】本题主要考查同底数幂的乘法法则，属于基础题．

【例2】计算：

（1）a5⋅a10⋅a4；

（2）（-a）4⋅（-a）3⋅（-a）2⋅（-a）；

（3）2a⨯2b⨯2c；（4）（a+b）3⋅（a+b）2．

【难度】★

【答案】

（1）a19；

（2）a10；（3）2a+b+c；（4）（a+b）5．

【解析】

（1）a5⋅a10⋅a4=a5+4+10=a19；

（2）（-a）4⋅（-a）3⋅（-a）2⋅（-a）=（-a）4+3+2+1=（-a）10=a10；

（3）2a⨯2b⨯2c=2a+b+c；

（4）（a+b）3.（a+b）2=（a+b）3+2=（a+b）5．

【总结】本题主要考查同底数幂的计算，要注意“奇负偶正”．

【例3】计算：

（1）（-x）2⋅xn+3⋅x1-n；

（2）x2n⋅（-x）3⋅xn．

【难度】★

【答案】

（1）x6；

（2）-x3n+3．

【解析】

（1）（-x）2⋅xn+3⋅x1-n=x2⋅xn+3⋅x1-n=x2+n+3+1-n=x6；

（2）x2n⋅（-x）3⋅xn=-x2n⋅x3⋅xn=-x2n+3+n=-x3n+3．

【总结】本题主要考查同底数幂的计算，可以先判断出正负，再计算．

【例4】计算：

（1）x3⋅x4+（-x）⋅（-x）3⋅x3；

（2）am+2an-1+am-1⋅an+2+an⋅am+1；

（3）（x-2y）m-1⋅（2y-x）2⋅（x-2y）2m+1．

【难度】★

【答案】

（1）2x7；

（2）3am+n+1；（3）（x-2y）3m+2．

【解析】

（1）x3⋅x4+（-x）⋅（-x）3⋅x3=x7+x7=2x7；

（2）am+2an-1+am-1an+2+anam+1=am+n+1+am+n+1+am+n+1=3am+n+1；

（3）（x-2y）m-1⋅（2y-x）2⋅（x-2y）2m+1=（x-2y）3m+2．

【总结】本题主要考查同底数幂的乘法加法混合计算，在计算过程中不要混淆．

【例5】用科学记数法表示：

（4.6⨯103）⨯（2.5⨯105）=．

【难度】★★

【答案】1.15⨯109．

【解析】（4.6⨯103）⨯（2.5⨯105）=4.6⨯2.5⨯108=1.15⨯109．

【总结】本题主要考查同底数幂的计算，注意科学计算法．

；

【例6】计算：

2100⋅（-2）100=（-2）1001+（-2）1002=

【难度】★★

【答案】2200；21001．

【解析】2100⋅（-2）100=2100⋅2100=2200；

（-2）1001+（-2）1002=-21001+2⋅21001=21001．

【总结】本题主要考查同底数幂的计算，注意“奇负偶正”．

【例7】

（1）2⨯8⨯16⨯2n=；

（2）已知：

3⨯9⨯3n=243，则n=．

【难度】★★

【答案】

（1）2n+8；

（2）n=2．

【解析】

（1）2⨯8⨯16⨯2n=2⨯23⨯24⨯2n=2n+8；

（2）3⨯9⨯3n=243，∴3⨯32⨯3n=3n+3，

∴n+3=5，∴n=2．

【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则．

【例8】

（1）若ax+y=28，ax=7，求ay的值．

（2）如果am=3，an=4，求am+n的值．

【难度】★★

【答案】

（1）ay=4；

（2）am+n=12．

243=35，∴3n+3=35．

【解析】

（1）

ax+y=ax⋅ay=28，ax=7，∴ay=28÷7=4；

（2）am+n=am⋅an，而am=3，an=4，∴am+n=3⨯4=12．

【总结】本题主要考查同底数幂的乘法法则，要熟练掌握法则的逆运算，另一面还要注意整体代换的思想．

【例9】已知2x=a，2y=b，求2x+y+23x+2y的值．

【难度】★★★

【答案】ab+a3b2．

【解析】解：

2x+y+23x+2y=2x⋅2y+2x⋅2x⋅2x⋅2y⋅2y．

2x=a，2y=b，

∴原式=a⋅b+a⋅a⋅a⋅b⋅b=ab+a3b2．

【总结】本题主要考查同底数幂计算中整体思想的应用．

【例10】已知x>1，y>1，xa-b⋅x2b-1=x8，ya-1⋅y5-b=y7，求a、b的值．

【难度】★★★

【答案】a=6，b=3．

【解析】解：

xa-b⋅x2b-1=x8，xa+b-1=x8，∴a+b-1=8，a+b=9，

又因为ya-1⋅y5-b=y7，ya-b+4=y7，∴a-b+4=7，a-b=3．

⎧a+b=9⎧a=6

由⎨a-b=3，可解得：

⎨b=3．

⎩⎩

【总结】本题主要考查同底数幂的运算，并结合了前面学习过的解二元一次方程组的知识点．

【例11】已知n为正整数，试计算：

（-a）2n+1⨯（-a）3n+2⨯（-a）．

【难度】★★★

【答案】a5n+4或-a5n+4．

【解析】解：

（-a）2n+1⨯（-a）3n+2⨯（-a）=（-a）5n+4．

①当n为奇数时，5n+4也为奇数，此时（-a）5n+4=-a5n+4；

②当n为偶数时，5n+4也为偶数，此时（-a）5n+4=a5n+4．

【总结】本题灵活的运用了“奇负偶正”来解题，要讨论指数是奇数还是偶数的情况，属于分类讨论的题目．

2、幂的乘方运算法则

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

即：

（am）n=amn（m、n都是正整数）．

【例12】计算：

（1）-（x2）3；

（2）（-a4）2；（3）（a2n）4；

（4）⎡（-2）3⎤4；（5）（-x4）3；（6）⎡（a+b）2⎤3⋅（a+b）2．

⎣⎦⎣⎦

【难度】★

【答案】

（1）-x6；

（2）a8；（3）a8n；（4）212；（5）-x12；（6）（a+b）8．

【解析】

（1）-（x2）3=-x2⨯3=-x6；

（2）（-a4）2=a2⨯4=a8；（3）（a2n）4=a2n⨯4=a8n

（4）⎡（-2）3⎤4=⎡-23⎤4=23⨯4=212；（5）（-x4）3=-x4⨯3=-x12；

⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

（6）⎡（a+b）2⎤3⋅（a+b）2=（a+b）6⋅（a+b）2=（a+b）8．

【总结】本题主要考查了幂的乘方运算法则，属于基础题型．

【例13】计算（x2）3⋅（-2x）4的结果是（）．

A.16x9

【难度】★

【答案】B

B.16x10

C.16x12

D.16x24

【解析】解：

（x2）3⋅（-2x）4=16x6⋅x4=16x10．

【总结】要注意区别同底数幂的乘法和幂的乘方，在运用运算法则时不要混淆．

【例14】若n是正整数，-an=-（-a）n（a≠0）成立的条件是（）．

A.n是奇数B.n是偶数C.n是正整数D.n是整数

【难度】★★

【答案】B

【解析】解：

①当n为奇数时，-（-a）n=-（-an）=an

②当n为偶数时，-（-a）n=-an，故选B．

【总结】本题主要考到了奇负偶正的运用，要注意讨论的结果，注意符号．

【例15】已知：

（xm）n=x20，则mn（mn-1）的值是．

【难度】★★

【答案】380．

【解析】解：

xmn=x20，∴mn=20，

∴mn（mn-1）=20⨯19=380．

【总结】本题中要先计算幂的乘方的结果，然后再整体代换．

【例16】（-a2）n（n为正整数）=．

【难度】★★

【答案】a2n或-a2n．

【解析】解：

①当n为奇数时，（-a2）n=-a2n；

②当n为偶数时，（-a2）n=a2n．

【总结】本题没有告诉n是奇数还是偶数，要分类讨论．

【例17】计算：

（1）4（x3）8-7（x4）6+2（x2）3⋅（x3）2⋅（x2）6；

（2）（x4）2+（x2）4-x（x2）2⋅x3-（-x）3⋅（-x2）2⋅（-x）；

（3）2（xa+1）2+xa⋅xa+2；

⎣⎦⎣⎦

（4）⎡（a-b）n⎤2⋅⎡（b-a）n-1⎤2⋅（a-b）2n+1．

【难度】★★

【答案】

（1）-x24；

（2）0；（3）3x2a+2；（4）（a-b）6n-1．

【解析】

（1）4（x3）8-7（x4）6+2（x2）3⋅（x3）2⋅（x2）6=4x24-7x24+2x24=-x24；

（2）（x4）2+（x2）4-x（x2）2⋅x3-（-x）3⋅（-x2）2⋅（-x）=x8+x8-x8-x8=0；

（3）2（xa+1）2+xa⋅xa+2=2x2a+2+x2a+2=3x2a+2；

⎣⎦⎣⎦

（4）⎡（a-b）n⎤2.⎡（b-a）n-1⎤2.（a-b）2n+1=（a-b）2n⋅（b-a）2n-2⋅（a-b）2n+1=（a-b）6n-1．

【总结】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂的乘法的混合运算，在运算过程中要注意指数的运算．

【例18】如果2⋅8n⋅16n=222，求n的值．

【难度】★★

【答案】n=3

【解析】解：

由题可得，

2⋅8n⋅16n=21⋅23n⋅24n=27n+1，∴27n+1=222，

∴7n+1=22，n=3．

【总结】本题中，要先化成同底数，再指数对应相等，本题结合了同底数幂的乘法和幂的乘方的混合计算，要注意基本法则的准确运用．

【例19】已知10m-1=3，10n+1=5，求102m+n的值．

【难度】★★★

【答案】450

【解析】解：

∵10m-1=3，10.10m-1=30，∴10m=30．

10n+1=5，∴10.10n=5，∴10n=0.5．

102m+n=（10m）2⋅

1=0n

23⨯0

=0.5，∴4502+m=n10．

【总结】要学会观察已知和所求问题之间的关系，找到它们之间的关系后再求．

【例20】已知a2n=2，求（2a3n）2-3（a2）2n的值．

【难度】★★★

【答案】20．

【解析】解：

原式=（2a3n）2-3（a2）2n=4（a2n）3-3（a2n）2，又

a2n=2，

代入原式=4⨯23-3⨯22=32-12=20．

【总结】本题首先要先化简出有a2n的式子，再整体代入，同样由已知推出问题该用什么样的方法．

【例21】比较大小：

（1）已知a=8131，b=2741，c=961，比较a，b，c的大小关系．

（2）比较255，344，533，622这4个数的大小关系．

【难度】★★★

【答案】

（1）a>b>c；

（2）533>344>622>255．

【解析】

（1）∵a=8131=（34）31=3124，b=2741=（33）41=3123，c=961=（32）61=3122，又∵3124>3123>3122，∴a>b>c．

（2）∵255=（25）11=3211，344=（34）11=8111，533=（53）11=12511，622=（62）11=3611，

又∵12511>8111>3611>3211，∴533>344>622>255．

【总结】幂的比较大小，有两个思路，一个是指数相同，底数比较大小；一个是底数相同，指数比较大小．

3、积的乘法法则

积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即：

（ab）n=anbn（n是正整数）．

【例22】下列计算中，正确的是（）．

A.（a3）4=a7

C.（-a）4⋅（-a）3=a7

B.a3+a4=a7

D.（-ab）2=a2b2

【难度】★

【答案】D

【解析】A答案应该是a12；B答案不是同类项，不等合并同类项；C答案应该是-a7．

【总结】本题主要考查了积的乘方法则，属于基础题，注意“奇负偶正”．

⎛1⎫2

【例23】若çx⎪

⎝⎭

A.1

2

【难度】★

【答案】C

=1，则x的值是（）．

B.2C.±2

D.-2

【解析】解：

⎛1⎫2

çx⎪

⎝⎭

=1x2=1，∴x2=4，∴x=±2，故选C．

4

【总结】本题主要考查积的乘方，属于基础题．

【例24】（x5m+n⋅y2m-n）2=x12y30，则m=，n=．

【难度】★★

【答案】m=3，n=-9．

【解析】解：

（x5m+n⋅y2m-n）2=x10m+2n⋅y4m-2n，∴x10m+2n⋅y4m-2n=x12y30，

∴⎧10m+2n=12

⎩

⎧m=3

，解得：

⎨n=-9．

【总结】本题主要考查积的乘方，对应指数相等．

【例25】已知M4=a8b12，求M的值．

【难度】★★

【答案】a2b3．

【解析】解：

M4=a8b12=（a2）4（b3）4=（a2b3）4，∴M=a2b3．

【总结】本题主要考查积的乘方的逆运算，同时也考查了幂的乘方的逆运算．

【例26】化简：

（1）（-x3y3）2-（-x2y2）3；

（2）（-3x3）2-（-x2）3+（-2x）2-（-x）3．

【难度】★★

【答案】

（1）2x6y6；

（2）10x6+x3+4x2．

【解析】

（1）（-x3y3）2-（-x2y2）3=x6y6+x6y6=2x6y6；

（2）（-3x3）2-（-x2）3+（-2x）2-（-x）3=9x6+x6+4x2+x3=10x6+x3+4x2．

【总结】本题主要考查积的乘方的运算，运算过程中注意“奇负偶正”．

【例27】用简便方法计算：

（1）⎛-

3⎫2007

⎪

⋅⎛3

1⎫2007

⎪

；

（2）⎛-

2⎫2009

⎪

⎛3⎫2010

⋅ç⎪

；（3）⎛-

1⎫12

⎪

⨯88．

⎝10⎭⎝3⎭

⎝3⎭⎝2⎭

⎝4⎭

【难度】★★

【答案】

（1）-1；

（2）-3；（3）1．

2

⎛3⎫2007⎛1⎫2007

⎛310⎫2007

【解析】

（1）ç-10⎪.ç33⎪=-ç10⨯3⎪

=-1；

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛2⎫2009⎛3⎫2010

⎛2⎫2009⎛3⎫20093

⎛23⎫200933

（2）ç-3⎪

.ç2⎪

=ç-3⎪

.ç2⎪

∙

2=ç-⨯⎪

⨯=-；

22

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

32⎭

1212121212

（3）⎛-1⎫⨯88=⎛1⎫⨯（23）8=⎛1⎫⨯224=⎛1⎫⨯412=⎛1⨯4⎫



=1．

ç4⎪ç4⎪ç4⎪ç4⎪ç4⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

【总结】本题主要考查积的乘方的逆运算，属于基础题．

【例28】已知x2n=3，求（3x3n）2-4（x2）2n的值．

【难度】★★

【答案】207．

【解析】解：

原式=9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2，

x2n=3，代入原式=9⨯33-4⨯32=243-36=207．

【总结】本题主要考查了整体代换的思想的应用．

【例29】已知3x+1⋅2x-3x⋅2x+1=63x-4，求x的值．

【难度】★★★

【答案】x=2．

【解析】解：

-3x⋅2x+1=3⋅3x⋅2x-2⋅3x⋅2x=3x⋅2x=6x

∴6x=63x-4，x=3x-4，解得：

x=2．

【总结】本题考查了积的乘方的逆运算，要注意化成底数相同，指数才能相等．

【例30】确定399⨯7100⨯11101的末位数是几，简单说明理由．

【难度】★★★

【答案】7．

【解析】解：

399⨯7100⨯11101=（3⨯7⨯11）99⨯7⨯121=23199⨯7⨯121，

因为23199的末位数还是1，所以1⨯7⨯1=7，所以末位数为7．

【总结】单独去看它们的末位数不好确定，但利用积的乘方，化为个位是1的数的99次幂，就可以判断出末位数是1．

⎛50⎫a

【例31】

（1）若整数a、b、c满足ç27⎪

⎛18⎫b

⋅ç25⎪

⎛9⎫c

⋅ç8⎪

=8，求a、b、c的值．

999

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

119

（2）已知P=

【难度】★★★

999

Q=，比较P、Q的大小关系．

990

【答案】

（1）a=6，b=6，c=3；

（2）P=Q．

⎛50⎫a

⎛18⎫b

⎛9⎫c

⎛2⨯52⎫a

⎛2⨯32⎫b

⎛32⎫c

【解析】

（1）解：

由ç27⎪

⋅ç25⎪

⋅ç8⎪

=8，得：

ç33

⎪⋅ç52

⎪⋅ç23⎪

=8，

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2a⨯52a

2b⨯32b

32c

2a+b-3c⨯52a-2b

即⨯⨯=8，∴=8．

33a

52b

23c

33a-2b-2c

⎧a+b-3c=3

⎧a=6

要使等式成立，则整式必须满足⎪2a-2b=0

⎪3a-2b-2c=0

，解得：

⎪b=6；

⎪c=3

999

（9⨯11）9

119

119

119

（2）解：

∵P===，Q==，

∴P=Q．

999

（99）11

（99）10

990

（99）10

【总结】本题综合性较强，一方面除考查了幂的乘方和积的乘方，另外还考查了解三元一次方程组，解题时注意观察已知中隐含的条件．

【习题1】若（an⋅bm⋅b）3=a9b15，则m=，n=．

【难度】★

【答案】m=4，n=3．

【解析】解：

（an⋅bm⋅b）3=a3nb3m+3，∴a3nb3m+3=a9b15

⎨

∴⎧3n=9

3m+3=

⎧m=4

，解得：

⎨n=3．

⎩15⎩

【总结】本题主要考查了幂的运算，指数对应相等．

【习题2】（-a）2⋅am+3⋅a1-m的计算结果是．

【难度】★

【答案】a6．

【解析】解：

（-a）2⋅am+3⋅a1-m=a2⋅am+3⋅a1-m=a6．

【总结