奥数时钟问题.docx

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奥数时钟问题

1小时的时间，分针旋转360度角，时针旋转30度角；1分钟的时间，分针旋转6度角，时针旋转0.5度角。

（反之，时针旋转1度角，时间就过2分钟）

分析：

（如图1）要解决这个问题首先须观察钟表的表盘，知道：

（1）表盘被1---12个刻度均匀分成12等份，每相邻刻度之间又被小格均匀分成5等份；

（2）表针（时针、分针、秒针）每转过1个刻度，就绕中心旋转30度角，每转过1个小格，就绕中心旋转6度角。

所以：

1小时的时间，分针旋转360度角，时针旋转30度角；1分钟的时间，分针旋转6度角，时针旋转0.5度角。

（反之，时针旋转1度角，时间就过2分钟）

问题1：

8时30分时，分针与时针成多少度角？

8时32分时呢？

分析：

（如图2-3）要求某时刻分针与时针成的角度，可先观察这个角接近（或等于）哪两个刻度所成的角，然后再加上（或减去）时针、分针转过的相应角度。

如9：

00时两针夹“9-12”间的3大格，成90度；而9：

01、8：

58时两针夹角接近“9-12”间的3大格。

因此：

8：

30时分针与时针间的夹角为30×2+15=75（度）

8：

32时该夹角为30×2+15+0.5×2-6×2=64（度）

问题2：

从12：

00开始,在12小时内，分针与时针有多少次互相垂直的机会？

最后一次垂直时是几时几分？

分析：

通过做实验的办法我们能得到第1个问题的答案。

如何用数学思想、方法准确解决这一问题呢？

在前面的分析中我们知道：

在相同的时间内，时针与分针转过的角度之比为1：

12。

从12：

：

00开始，两针第一次成直角，就是分针与时针转过的角度之差为90度，两针第一次在一条直线上，就是分针与时针转过的角度之差为90×2度，两针第二次成直角，就是分针与时针转过的角度之差为90×3度---由此可列得一元一次方程，再借助一元一次不等式的整数解使问题得到解决。

解：

（1）从12：

00开始，当分针与时针互相垂直时，设时针转过x度，则分针转过12x度。

因为分针与时针互相垂直，所以

它们第一次垂直时：

12x-x=90

它们第二次垂直时：

12x-x=90×3

它们第三次垂直时：

12x-x=90×5

它们第K次垂直时：

12x-x=90×（2K-1）

即：

11x=90×（2K-1）

∵0＜x＜360∴0＜11x＜360×11

即0＜90×（2K-1）＜360×11解得0＜k＜22.5

又k是整数，故k取1，2，3，-------，22。

所以在12小时内，分针与时针有22次互相垂直的机会。

（2）两针最后一次垂直时，k=22

问题3：

从12：

00时起，你能迅速得出12小时内分针与时针有多少次重合的机会？

有多少次方向相反且在一条直线上的机会吗？

你是否会求某一次重合或成一条直线时的时刻吗？

分析：

问题3完全可以用问题2的方法来解决，也可直接利用我们熟悉的追及问题来解决：

（1）分针与时针第m次重合，就是在相同的时间内分针比时针多转m圈---360m度！

（2）分针与时针第n次在一条直线上，就是在相同时间内分针比时针多转180n度！

而某次重合或成一条直线时的时刻，就是时针转过x度所用的时间2x分钟。

创新应用：

你能否用以上方法求某时间段内，分针与时针成任意角度时的时刻？

如从2时12分到4时36分这段时间内，分针与时针成30度角的时刻分别是几时几分？

相信你结合下面的图形不难迅速得到答案。

1.现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？

解析：

分针：

1格/分时针：

（1/12）格/分

3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，

用追及问题的处理方法解：

15格/（1-1/12）格/分=16+4/11分钟

所以下午3点16又4/11分时，时针和分针第一次重合

PS:

这类题目也可以用度数方法解

2.分针和时针每隔多少时间重合一次？

一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

解析：

分针：

6度/分时针0.5度/分

当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。

所以两针再次重合需要的时间为：

360/（6-0.5）=720/11分，一昼夜有：

24*60=1440分

所以两针在一昼夜重合的次数：

1440分/（720/11）分/次=22次

3.钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

解析：

分针：

6度/分时针0.5度/分

5点零8分，时针成角：

5*30+8*0.5=154度

分针成角：

8*6=48度

所以夹角是154-48=106度

4.在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

解析：

整4点时，分针指向12，时针指向4。

此时，时针领先分针20格。

时，分两针成直角，

必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。

因此，在相同时间内，分针将比

时针多走（20-15）格或（20+15）格。

（20-15）/（1-1/12）=60/11,即4点5又5/11分

（20+15）/（1-1/12）=38又2/11分,即4点38又2/11分

5.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？

解析：

设经过X分，0.5*X=270-6*X,解得X=540/13分

所以答案是9点过41又7/13分。

↑↓

研究钟面上时针和分针关系的问题。

钟面的一周分为60格。

当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=1／12，分针每走60÷（1－5／60）=65+5／11（分），于时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。

这里列出一个基本的公式：

在初始时刻需追赶的格数÷（1－1／12）=追及时间（分钟），其中，1－1／12为每分钟分针比时针多走的格数。

一分钟分针可以走6度，时针可以走0.5度。

　　常见的时钟问题：

求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。

解题思路

在初始状态时针总是再分针前面，再钟面上，时针12小时走一圈即360°。

每分钟走6°就是说，分针每分钟比时针多走6-0.5=5.5（两针速度差）当已知原来两针的间隔度数及要形成夹角的度数时，有公式　　两针达到要形成夹角度数的分针数=（原来两针的间隔度数±要形成夹角的度数）÷（6°-0.5°）。

在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角?

解：

当时针分针重合，即分针追上时针时，需要时间30/（11/12）=60/11，

此后，当路程差为90度时，构成直角，90/（11/12）=180/11；

当路程差为270度时，构成直角，270/（11/21）=540/11.

因此，共需要60/11+180/11=240/11分钟，或60/11+540/11=600/11分钟。

2.现在是10点整，请问再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？

解：

分针一分钟走6度，时针一分钟走1/2度，则分针时针的速度差为11/2，10点时分针时针路程差为60度，当分针时针第一次在一条直线上时分针时针的路程差为180度。

即在运动过程中，时针分针的路程差又增加120度，因此，用时120/（11/2）=240/11

3.在钟面上，如果知道X时Y分，输入一个公式就能得出此时时针与分针夹角的度数。

请问这个公式怎么得来？

钟面上分12大格60小格。

每1大格均为360除以12等于30度。

每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。

公式可这样得来：

X时时，夹角为30X度。

Y分，也就是分针追了时针5.5Y度。

可用：

整点时的度数30X减去追了的度数5.5Y。

如果减得的差是负数，则取绝对值，也就是直接把负号去掉，因为度数为非负数。

因为时针与分针一般有两个夹角，一个小于180度，一个大于180度，（180度时只有一个夹角）因此公式可表示为：

|30X-5.5Y|或360-|30X-5.5Y|度。

||为绝对值符号。

如1：

40分，可代入得：

30×1-5.5×40=-190则为190度，另一个小于180度的夹角为：

170度。

如：

2：

10，可代入得：

60-55=5度。

大于180度的角为：

355度。

如：

11：

20，330-110=220度，小于180的角：

360-220=140度。

4.时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是（）点钟？

解；分针走一圈，时针走一小时=分针走24圈，时针走24小时，即此时时间还是18点=1990/24=82余22=时间为18点再过22小时，即16点。

若选b的话，则可把16点理解为下午4点。

5.一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。

如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。

则此时的标准时间是几点？

快钟和慢种之间除了一个是快1分钟/小时,一个是慢3分钟/小时.可以得到这样关系:

快钟和慢种差比为1:

3其他的条件就是他们都一起走没有别的不同步了,所以到了快种10点,慢钟9点时候,他们已经差了一个小时,其中按1:

3来算快种快了15分,慢种慢了45分钟,由上面分析可以得到现在标准时间为:

9:

45。

奥数时钟问题—钟面追及

基本思路：

封闭曲线上的追及问题。

关键问题：

①确定分针与时针的初始位置；

②确定分针与时针的路程差；

基本方法：

①分格方法：

时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。

分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走1／12分格。

②度数方法：

从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即6°，时针每分钟转360/（12*60）度，即1/2度。

四、时钟问题解法与算法公式解题关键：

时钟问题属于行程问题中的追及问题。

钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。

每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。

1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？

分析：

两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。

而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。

解：

（5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）

答：

2点10分时，两针重合。

2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？

分析：

分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。

在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。

因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条直线。

因此，需追及（20＋30）小格。

解：

（5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）

答：

在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。

3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？

分析：

分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。

所以分针需追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。

解：

（5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）

或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）

答：

在1点21分和1点54分时，两针都成直角。

4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。

看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。

看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。

（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？

看到几点结束的？

分析：

连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。

12点以后时针与分针：

第一次成一条直线时刻是：

（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）

即12点32分。

第二次成一条直线时刻是：

（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）

即1点38分。

第三次成一条直线的时刻是：

（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分）

即2点43分。

如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）

如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。

因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。

5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。

现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？

分析：

1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的＝

2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17－12）＝27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。

3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27÷。

解：

5×（17－12）＝27（分）27÷＝30（分）

答：

再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。

公务员考试行测辅导：

时钟问题经典例题详解

　　时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。

生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。

　　关于时钟的问题有：

求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。

要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。

　　一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。

1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。

　　例1：

从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?

　　5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。

由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。

　　例2：

从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?

　　6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。

如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

　　例3：

在8时多少分，时针与分针垂直?

　　8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。

如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/（11/12）=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/（11/12）=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。

　　由上面三个例题可以看出，求解此类问题（经过多少时间，分针与时间成多少夹角）时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。

解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。

下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。

　　例4：

从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?

　　9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。

如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/（11/12）=180/11分钟。

　　例5：

一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?

　　9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。

如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟。

　　例6：

时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?

　　时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

【针对性练习】

　　1.十点与11点之间，两针在什么时刻成直线（不包括重合情况）？

（ ）

　　A.10时21分  B.10时22分  C.10时21  D.10时21分

　　2现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？

　　3。

分针和时针每隔多少时间重合一次？

一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

　　4。

钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

　　5。

在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

　　6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？

　　【参考答案详解】

　　1.答案A满足.分针：

6度/分  时针0.5度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为x分，则如图有60-0.5x=180-6x，x=分，即10时分两针成直线。

答案A满足。

　　2.  现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？

　　解析：

分针：

6度/分  时针0.5度/分

　　3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，即90度， 用追及问题的处理方法解：

90/（6-0.5）度/分=16分钟，所以下午3点16分钟，时针和分针第一次重合。

　　3.  分针和时针每隔多少时间重合一次？

一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

　　解析：

分针：

6度/分  时针0.5度/分

　　当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。

所以两针再次重合需要的时间为：

360/（6-0.5）=720/11分，一昼夜有：

24×60=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：

1440分/（720/11）分/次=22次

　　4.  钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？

　　解析：

分针：

6度/分  时针0.5度/分

　　5点零8分，时针成角：

5×30+8×0.5=154度，分针成角：

8×6=48度，所以夹角是154-48=106度。

　　5  在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

　　解析：

整4点时，分针指向12，时针指向4。

此时，时针领先分针20格。

时，分两针成直角，必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。

因此，在相同时间内，分针将比时针多走（20-15）格或（20+15）格。

（20-15）/（1-1/12）=60/11,即4点5分，（20+15）/（1-1/12）=38分，即4点38分。

　　6.  9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？

　　解析：

设经过X分，0.5×X=270-6×X,解得X=540/13分，所以答案是9点过41分。

行测数学运算：

时钟问题作者:

公务员考试网时间:

2010-01-08|公务员考试论坛|来源:

中国公务员考试信息网

行测数学运算：

时钟问题

基本知识点：

1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。

2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。

3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

【例1】（山西2009-108）清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？

（）

A.30度B.60度C.90度D.150度

［答案］D

［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。

【例2】（广东2002-98）中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。

那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？

（）

A.10B.11C.12D.13

［答案］B

［解一］从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。

因此，时针与分针重合了11次。

选择B。

［解二］根据基本知识点：

由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。

【例3】（江西2008-38）小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。

问这次会议大约开了1小时多少分？

（）#中国公务员考试信息网

A.51B.47

C.45D.43

［答案］A

［解析］根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。

由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。

假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/12＝2，得到T＝24/13小时，约合1小时51分。

【例4】（国家2000-30）某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？

（）

A.10点15分B.10点19分

C.10点20分D.10点25分

［答案］A

［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。

我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。

核心提示

钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：

T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。

T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。

【例5】（四川2008-12）从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。

A.43分钟B.45分钟C.49分钟D.61分钟

［答案］C

［解析］从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0＝45（分钟），根据公式，其间隔时间T＝T0+T0/11≈49（分钟）。

【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?

（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

［答案］B

［解一］从12时到13时，时针旋转了30°；分针旋转了360°。

分针与时针所成的角度从0°变化到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的机会。

选择B。

［解二］根据公式：

从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。

【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？

（）

A.5点10分B.5点101011分C.5点11分D.5点12分

［答案］B

［解析］根据公式：

时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B。

强华公务员

【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？

（）

A.32B.32811分C.33分D.34分

［答案］B

［解一］根据公式：

时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30