奥数时钟问题.docx

1、奥数时钟问题1小时的时间，分针旋转360度角，时针旋转30度角；1分钟的时间，分针旋转6度角，时针旋转0.5度角。（反之，时针旋转1度角，时间就过2分钟）分析：(如图1)要解决这个问题首先须观察钟表的表盘，知道：（1）表盘被1-12个刻度均匀分成12等份，每相邻刻度之间又被小格均匀分成5 等份；（2）表针（时针、分针、秒针）每转过1个刻度，就绕中心旋转30度角，每转过1个小格，就绕中心旋转6度角。 所以：1小时的时间，分针旋转360度角，时针旋转30度角；1分钟的时间，分针旋转6度角，时针旋转0.5度角。（反之，时针旋转1度角，时间就过2分钟）问题1：8时30分时，分针与时针成多少度角？8时3

2、2分时呢？分析：（如图2-3）要求某时刻分针与时针成的角度，可先观察这个角接近（或等于）哪两个刻度所成的角，然后再加上（或减去）时针、分针转过的相应角度。如9：00时两针夹“9-12”间的3大格，成90度；而9：01、8：58时两针夹角接近“9-12”间的3大格。 因此：8：30时 分针与时针间的夹角为 302+15=75（度）8：32时 该夹角为302+15+0.52-62=64（度）问题2：从12：00开始,在12小时内，分针与时针有多少次互相垂直的机会？最后一次垂直时是几时几分？分析：通过做实验的办法我们能得到第1个问题的答案。如何用数学思想、方法准确解决这一问题呢？在前面的分析中我们知

3、道：在相同的时间内，时针与分针转过的角度之比为1：12。从12：00开始，两针第一次成直角，就是分针与时针转过的角度之差为90度，两针第一次在一条直线上，就是分针与时针转过的角度之差为902度，两针第二次成直角，就是分针与时针转过的角度之差为903度-由此可列得一元一次方程，再借助一元一次不等式的整数解使问题得到解决。解：（1）从12：00开始，当分针与时针互相垂直时，设时针转过x度，则分针转过12x度。因为分针与时针互相垂直，所以它们第一次垂直时：12x-x=90它们第二次垂直时：12x- x=903 它们第三次垂直时：12x- x=905它们第K次垂直时：12x- x=90（2K-1）即：

4、 11x=90（2K-1）0x360 011x36011即090（2K-1）36011 解得 0k22.5又k是整数，故k取1，2，3，-，22。所以在12小时内，分针与时针有22 次互相垂直的机会。(2)两针最后一次垂直时，k=22 问题3：从12：00时起，你能迅速得出12小时内分针与时针有多少次重合的机会？有多少次方向相反且在一条直线上的机会吗？你是否会求某一次重合或成一条直线时的时刻吗？分析：问题3完全可以用问题2的方法来解决，也可直接利用我们熟悉的追及问题来解决：（1）分针与时针第m次重合，就是在相同的时间内分针比时针多转m圈-360m度！（2）分针与时针第n次在一条直线上，就是在相

5、同时间内分针比时针多转180n度！而某次重合或成一条直线时的时刻，就是时针转过x度所用的时间2x分钟。创新应用：你能否用以上方法求某时间段内，分针与时针成任意角度时的时刻？如从2时12分到4时36分这段时间内，分针与时针成30度角的时刻分别是几时几分？相信你结合下面的图形不难迅速得到答案。1. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：1格/分 时针：(1/12) 格/分 3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格， 用追及问题的处理方法解：15格/(1-1/12)格/分=16+4/11分钟 所以下午3点16又4/11分时，时针和分针第一次

6、重合 PS:这类题目也可以用度数方法解2. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分 当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。 所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24*60=1440分 所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次3. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分 5点零8分，时针成角：5*30+8*0.5=154度 分针成角：8*6=48度 所以夹角是154-48=106度4. 在4点与

7、5点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角， 必须使 时针领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比 时针多走 (20-15)格或(20+15)格。 (20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5又5/11分 (20+15)/(1-1/12)=38又2/11分,即4点38又2/11分5. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？解析：设经过X分，0.5*X=270-6*X ,解得X=540/13分 所以答案是9点过41又7/13分。 研究钟面上时针和分针关系的

8、问题。钟面的一周分为60格。当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的560=112，分针每走60（1560）=65+511（分），于时针重合一次，时钟问题变化多端，也存在着不少学问。这里列出一个基本的公式：在初始时刻需追赶的格数（1112）=追及时间（分钟），其中，1112为每分钟分针比时针多走的格数。一分钟分针可以走6度，时针可以走0.5度。 常见的时钟问题：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。 解题思路在初始状态时针总是再分针前面，再钟面上，时针12小时走一圈即360。每分钟走6就是说，分针每分钟比时针多走6-0.5=5.5（两针速度差）当已知

9、原来两针的间隔度数及要形成夹角的度数时，有公式 两针达到要形成夹角度数的分针数=（原来两针的间隔度数要形成夹角的度数）（6-0.5）。在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角?解：当时针分针重合，即分针追上时针时，需要时间30/(11/12)=60/11，此后，当路程差为90度时，构成直角，90/(11/12)=180/11；当路程差为270度时，构成直角，270/(11/21)=540/11.因此，共需要60/11+180/11=240/11分钟，或60/11+540/11=600/11分钟。2.现在是10点整，请问再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？解：分针一分钟走6度，时针

10、一分钟走1/2度，则分针时针的速度差为11/2，10点时分针时针路程差为60度，当分针时针第一次在一条直线上时分针时针的路程差为180度。即在运动过程中，时针分针的路程差又增加120度，因此，用时120/(11/2)=240/113.在钟面上，如果知道X时Y分，输入一个公式就能得出此时时针与分针夹角的度数。请问这个公式怎么得来？钟面上分12大格60小格。每1大格均为360除以12等于30度。每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。公式可这样得来：X时时，夹角为30X度。Y分，也就是分针追了时针5.5Y度。可用：整点时的度数30X减去追了的度数5.5Y。如果减得的差是负数，则取绝对值

11、，也就是直接把负号去掉，因为度数为非负数。因为时针与分针一般有两个夹角，一个小于180度，一个大于180度，(180度时只有一个夹角)因此公式可表示为：|30X-5.5Y|或360-|30X-5.5Y|度。|为绝对值符号。如1：40分，可代入得：301-5.540=-190则为190度，另一个小于180度的夹角为：170度。如：2：10，可代入得：60-55=5度。大于180度的角为：355度。如：11：20，330-110=220度，小于180的角：360-220=140度。4.时钟现在表示的时间是18点整，那么分针旋转1990圈后是（ ）点钟？解；分针走一圈，时针走一小时=分针走24圈，时

12、针走24小时，即此时时间还是18点=1990/24=82余22=时间为18点再过22小时，即16点。若选b的话，则可把16点理解为下午4点。5.一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是几点？快钟和慢种之间除了一个是快1分钟/小时,一个是慢3分钟/小时.可以得到这样关系:快钟和慢种差比为1:3其他的条件就是他们都一起走没有别的不同步了,所以到了快种10点,慢钟9点时候,他们已经差了一个小时,其中按1:3来算快种快了15分,慢种慢了45分钟,由上面分析可以得到现在标准

13、时间为:9:45。奥数时钟问题钟面追及基本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题：确定分针与时针的初始位置； 确定分针与时针的路程差；基本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格。分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走112分格。度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360，分针每分钟转360/60度，即6，时针每分钟转360/(12*60)度，即1/2度。四、时钟问题解法与算法公式解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合6

14、0小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5210（小格）。而分针每分钟可追及1（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10）分钟。解： （52）（1）1010（分）答：2点10分时，两针重合。2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5420（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超

15、过时针（30小格）后，才能成一条直线。因此，需追及（2030）小格。解： （5430）（1）5054（分）答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后515小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及（5115）小格或追及（5145）小格。解： （5115）（1）2021（分）或（5145）（1）5054（分）答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上

16、。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：（030）（1）3032（分）即12点32分。第二次成一条直线时刻是：（5130）（1）3538（分）即 1点38分。第三次成一条直线的时刻是：（5230）（1 ）4043（分）即 2点43分。如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）如果从1点38分开始到2点43

17、分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2点43分时结束的。5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60555（分），即速度是标准钟速度的 2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5（1712）27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27。解： 5（1712） 27

18、 （分） 2730（分）答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。公务员考试行测辅导：时钟问题经典例题详解时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。例1：从5时整开始，经

19、过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=

20、360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直?8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/(11/12)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，

21、采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间

22、间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。【针对性练习】1. 十点与11点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)？( )A. 10时21 分 B. 10时22 分 C.10时21 D.10时21 分2 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候

23、第一次重合？3。分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4。钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？5。在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？【参考答案详解】1. 答案A满足. 分针：6度/分 时针0.5度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为x分，则如图有60-0.5x=180-6x，x= 分，即10时分两针成直线。答案A满足。2. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应

24、该比时针多走15格，即90度，用追及问题的处理方法解：90/(6-0.5)度/分=16 分钟，所以下午3点16 分钟，时针和分针第一次重合。3. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：2460=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次4. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分5点零8分，时针成角：530+8

25、0.5=154度，分针成角：86=48度，所以夹角是154-48=106度。5 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角，必须使时针领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在相同时间内，分针将比时针多走 (20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5 分， (20+15)/(1-1/12)=38 分，即4点38 分。6. 9点过多少分时，时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？解析：设经过X分，0.5X=270-6X ,解得X=540/13分，所以答

26、案是9点过41 分。行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网 时间:2010-01-08 | 公务员考试论坛 | 来源:中国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题基本知识点：1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。3.钟面上每两格之间为30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180也是22次。【例1】（山西2009-108）清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度答案D解析清晨5点时，时针和分针相

27、差5格，则530150。【例2】（广东2002-98）中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13答案B解一从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。因此，时针与分针重合了11次。选择B。解二根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。【例3】（江西2008-38）小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（） #中国公务员考试信息网 A. 51

28、B. 47C. 45 D. 43答案A解析根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T/122，得到T24/13小时，约合1小时51分。【例4】（国家2000-30）某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）A. 10点15分 B. 10点19分 C. 10点20分

29、D. 10点25分答案A解析代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4”与“5”之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。核心提示钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式TT0+111T0，其中：T为追及时间，即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的时间。 【例5】（四川2008-12）从钟表的12点整开始，时针与分针的第

30、一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D. 61分钟 答案C解析从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T045（分钟），根据公式，其间隔时间TT0+T0/1149（分钟）。【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有多少次?（）A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次答案B解一从12时到13时，时针旋转了30；分针旋转了360。分针与时针所成的角度从0变化到330（其中包括90和270），因此有2次成直角的机会。选择B。解二根据公式：从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？（）A. 5点10分 B. 5点101011分 C. 5点11分 D. 5点12分答案B解析根据公式：时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B。 强华公务员 【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分答案B解一根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间”为30