光学原理测量硬盘振动.docx

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光学原理测量硬盘振动

几何光学测量硬盘振动模型

摘要

本文通过理论分析与与实验数据得对比,　研究了通过几何光学测量硬盘振动问题,并求出了硬盘盘面得局部表面方程，分析了不同分辨率对局部表面方程得影响，较好得解释了硬盘振动得规律。

首先研究不考虑盘片中心得上下振动得情形、针对问题做出了几何模型，利用所给数据,并参照查阅资料，最终求出考虑盘片中心上下振动情况下得结果,并对求解结果采用代数检验符合要求,提出模型得改进方向.

对于问题一,查阅了硬盘得工作原理与内部结构，从几何上进行理论分析，讨论了一条与多条光线对模型测量得影响，通过分析光路、成本、技术等因素得出结论采用两束光线得方案为最优。

对于问题二,首先建立了不考虑盘片中心得上下振动得理想模型，通过几何关系与数学定理,顺利求出了盘片局部表面方程得参数a、b，并得到ｃ＝0;其次在前面计算基础上建立了考虑盘片中心得上下振动得理想模型,通过角度关系有效地解出了c得值（见附录）。

对于问题三,通过分析得知,屏幕分辨率对于测量结果得影响其实也就就是对于a、b参数值得影响。

利用MＡTLAＢ生成几组反射面倾斜角度得随机值，可以求出一系列与在接受屏上得坐标值，再用fix函数对该值进行某一精度（，,等等）下得四舍五入取整，这样获得得盘片局部表面方程就包含了接受屏分辨率得影响,再通过最小二乘法求得实际值与改变值差得平方最小得值,其对应得分辨率为最佳分辨率。

在结果得分析与检验中，改变数据与实际数据得对比图，直观地反映出分辨率对于测量结果得影响,验证了模型得正确性与方法得可靠性，但两者之间仍存在偏差,对此我们作出了合理得解释.

在模型得改进中,　着重分析了文章前一部分未考虑在内得各种不定因素对硬盘振动得影响，　并提出了两种改进方案：

第一种利用盘片水平瞬间求出入射光线得方向向量;第二种就是找到接受屏上得读数点坐标与入射光线得对应关系,便可通过代值法求得参数值；第三种就是问题三得求解中应考虑分辨率对c得值得影响及n值得有限性。

关键词:

硬盘振动　　几何光学　局部表面方程　分辨率　最小二乘

1．问题得重述

硬盘就是计算机上得重要部件，正向着更小、更快、密度更高得方向发展。

如何减小盘片得振动，成为关键问题,于就是怎样检测盘片得振动更加重要。

由于硬盘转速很高,不适宜接触式测量，容易想到光学测量。

有一种新技术测量物体表面获得振动情况，就是利用类似镜面反射得几何光学原理工作得：

选用同一点光源发出两束光线,照射有反射能力得被测物体平面，产生得两条反射光线再照射到水平放置得接受屏上.接受屏能够检测出光线照射点在接受屏平面上得坐标位置,问题就是怎样利用图2中O’x’y’平面得两个坐标值反算出被测物体当前得平面方程,就可利用平面方程得变化得到振动情况.

图1就是用两条光线检测得原理图，点光源O为坐标原点,E1与Ｅ2就是盘片瞬间位置得反射点，此时盘片局部表面方程为z=aｘ+by+（ｃ+Ｄ），其中a,b，c为未知量,由于硬盘在振动，平面就偏离了初始位置ｚ=D（D〈0）；接受屏方程为ｚ=h,其中h〉0为接受屏得高度，B1与B2就是其上得照射点,这样利用它们确定、与获得盘片局部表面方程。

（本题作到确定出、与即可，不必分析振动情况）

问题1:

请解释这种测量技术采用两束光线得原因。

问题2：

请建数学模型分析盘片局部表面方程得测量原理。

问题３：

试分析接受屏分辨率（测量精度）对盘片局部表面方程得影响。

提示：

可利用计算机模拟得办法求出一系列Ｂ1与B2在接受屏上得坐标值,再对该值进行某一精度（10—4，10-５,１0-6等等）下得四舍五入取整,这样获得得盘片局部表面方程就包含了接受屏分辨率得影响。

2．问题得分析

2。

1　问题一

根据硬盘得工作原理与内部结构可以知道，硬盘工作时盘片时刻在振动，不同时刻对应有不同得方程，若采用一条光线则无法求解,同时从成本、技术出发，两条光线为最佳方案。

2.2问题二

二光束法测量硬盘振动时，两条入射光线与其反射光线所形成得平面均垂直于反射面，又经过共同得点光源,且过点有且只有一条直线垂直于反射面，故可以求出反射面得法线。

根据镜面反射原理,入射角等于反射角,同时已知、法线、得方向向量,可以求出点得坐标,利用点法式可得出平面方程,即a、b、c得值。

２．3问题三

通过分析得知，屏幕分辨率对于测量结果得影响其实也就就是对于ａ、b参数值得影响。

利用ＭATLＡB生成几组入射角得随机值,可以求出一系列与在接受屏上得坐标值，再用fix函数对该值进行某一精度（,,等等）下得四舍五入取整,这样获得得盘片局部表面方程就包含了接受屏分辨率得影响，再通过最小二乘法求得实际值与改变值差得平方最小得值，其对应得分辨率为最佳分辨率。

3。

模型得假设与符号说明

3．1　模型得假设

（1）两条入射光线得方向向量为已知，且固定不变；　

（2）接受屏上得坐标原点与点所形成得直线与轴重合；

（３）硬盘盘片振动过程中不会发生变形，局部表面始终为平面;

（4）光线发生反射时为全反射,且传播过程中没有干涉、衍射等现象；

（5）硬盘平放,盘片振动连续、稳定.

3。

２符号得说明

表示直线得方向向量;　

表示直线得方向向量;

表示点得坐标；

　表示点得坐标;

表示点得坐标;

　表示点得坐标;

　　　　表示面得法线；

　表示面得法线；

　表示反射面得法线得方向向量.

4．模型得建立与求解

4。

1求解局部平面方程

根据几何定理得知，若平面A与平面B均垂直于平面Ｃ,假设ＡＢ相交于直线L，则L必垂直于平面C。

又知入射光线与反射光线所形成得平面与反射面垂直,故题中得入射问题可简化为图3，如图。

图3光线入射

根据数学定理，面与面得法线分别为:

＝　　　　　　　　　（１）

=　　　

（2）

由于两个法线相交所形成得平面与反射面平行，故可以求得反射面得法线得方向向量:

==　　　（3）

因为反射面得方程为z=aｘ+bｙ+（ｃ+D）,因此其法向量为,又两平行向量差乘得绝对值等于0，即:

　　　　　　　　　　（４）

由上便可求出未知参数ａ、b,

　　（5）

　　（6）

通过上面得求解过程可以得知用一束光无法得出局部平面方程,故题中选用二束光,下面求ｃ得值。

4。

1、１不考虑盘片中心得上下振动

硬盘振动过程中盘片中心始终固定在主轴上，即振动平面均通过点，带入反射面方程即可求得ｃ得值，结果为：

　　　　　　　　　（7）

4.1、2考虑盘片中心得上下振动

在图４中,　为入射光线，为法线，为反射光线,根据反射定理,入射角等于反射角，故，由题、、得方向向量分别为:

、、,根据空间两直线得夹角公式得：

　（8）

图4等角示意图

此外，在直线上，同时也在反射平面上,即：

　　　　　　　　（9）

　　　　　（10）

由方程（8）（9）（１0）可求得c得值，由于c值较长,详情见附录1。

4。

2接受屏分辨率对局部表面方程得影响

4．2、1问题得分析

盘片振动过程中以偏离原平面得角度为考察对象，对于盘片表面上任一点，该点得z值反映了该点偏离原平面得情况。

而ｚ＝ax+by+（ｃ＋D）,所以接受屏分辨率对局部表面方程得影响即就是考察不同分辨率下z值得变化量得情况。

即对其表面方程系数a，b得影响。

盘片时刻在振动，设其偏离初始状态ｚ=D得角度为，当取不同值时，得到不同得,对取不同得精度,,，,,并在这些精度下四舍五入取整,最后利用MATLAB软件求解,通过a,ｂ前后变化来分析接受屏分辨率（测量精度）对盘片局部表面方程得影响.

4。

２、2问题得求解

图5盘面振动解析图

依据正弦定理,可得到接受屏上点在坐标上得计算公式，如下:

　　　　（１１）

据题意知道点坐标为

　　　　　　　　（12）

其中为入射光线在平面OＸZ或平面OＹＺ上得投影与OZ轴得夹角，当在不同平面上取不同值时,就可求得相应得在接受屏上得反射光线点得位置。

例如可分别取入射光线在平面OXＺ或平面OＹZ上得投影与OZ轴得夹角,同时令,则求得接受屏上点在Ｏ—XＹＺ内得坐标,同理可得点得坐标。

然后，对点得坐标取不同得精度,，，,，并在这些精度下四舍五入取整，得到五组不同分辨率下得点得坐标根据问题二可求得相应得五组a、ｂ值,利用最小二乘法从中得到最优得分辨率。

4．2、3算法得实现

（1）由资料得知，普通盘片得振动半径为4４、5mm,振动范围小于50纳米,故得到得取值范围为，用ＭAＴＬAB在取值范围内随机抽取１００组值，见表一.

表一　１00组得随机值

０、０891

０、０９４3

０、0767

0、08９4

0、１0０6

0、０2６０

0、08４０

0、０559

0、0348

0、0013

0、０692

0、03９７

0、０022

0、１0１2

0、0154

0、０065

0、０0１7

0、0218

0、08１８

0、107６

0、106９

０、0500

0、１0０５

0、０224

０、０756

０、０213

0、０668

0、０601

0、0699

0、０82９

0、038４

０、078１

0、09８5

0、0073

0、1１１2

０、０960

0、03４3

０、0228

0、03０6

0、０４６1

0、0924

０、10３1

0、06７9

0、0５9１

０、0４82

0、０９６７

0、0326

0、050０

0、02８4

０、０5２8

0、0320

0、0305

0、0021

0、1003

0、0８5７

０、051３

０、1０52

0、0２24

0、09５2

0、０７９8

0、０4２6

0、0615

0、0３８5

０、0１98

0、0744

0、0743

0、07９０

0、0195

0、０336

0、110２

0、０５６6

0、01７0

0、０７85

０、0920

0、0４１７

0、０471

０、0２2８

0、０45６

0、0524

0、0936

0、015６

0、0547

0、0０11

0、0４２7

0、0725

０、0639

0、0830

０、0６09

0、1０4８

０、0990

0、0683

0、０９１5

0、１0３7

０、07６6

０、0２24

0、09４3

０、0９2４

0、0341

０、０501

0、058８

（2）当时，对每一个值根据公式（11）（12）即可求得点坐标（见附录）,其中根据公式（１２）。

同理当时，可求得点得坐标，且。

（3）根据得坐标,由公式（5）（６）可以求得a、b得准确值，再把取不同得精度,分别为：

，，，,，并在这些精度下四舍五入取整,分别求得不同精度下。

最后利用ＭＡTLAB软件，求得相应得五组a、ｂ值，将得到得五组a、b得值与未经四舍五入得a、b得值做差得平方运算,,再取平均数，比较其大小即可得出结果，选出最优得分辨率，见表二。

表二最小二乘法结果

n=４

n　=5

n=　6

n＝７

n=８

5．模型结果得分析

以ｎ为横坐标,为纵坐标作图如下，当n=8时所对应得分辨率对结果得影响最小,并且可以作出推测：

随着n得不断增大,即分辨率越高，所求出得结果就越准确。

图6

图　7

6．模型评价与改进

6．1模型得评价

6、1、1　模型得优点

（１）　问题2构建模型过程中,充分考虑了盘片中心就是否上下振动两种情况,使讨论更加全面，结论更加可靠.

（2）问题3构建模型时，查阅了大量资料，得出了准确有效得已知条件，为后面得计算提供了保障。

（3）采用图示、表格得方法直观地反映了所建模型求解数据与实测数据得对应关系;　

（４）模型具有全面性,容易推广。

6、１、2模型得缺点

（１）该模型数据处理比较复杂，运算较为繁琐；　

（2）　由于数据得不充足,对某些参数得确定具有主观成分；

（3）　没有考虑干扰因素得影响,a、b、ｃ得值仍然存在误差。

6.２　模型得改进方向

6、２、1改进方向一:

利用盘片水平瞬间求出入射光线得方向向量

假设中，入射光线得方向向量就是已知得，并不就是十分合理，可通过下述方法求得其方向向量。

如图８，控制h=０，取振动初始情况进行研究，此时刻反射面为水平，即Z＝Ｄ。

通过B点、O点得坐标及反射定理即可方便得求解.

图８水平反射图

6、２、2改进方向二：

找到接受屏上得读数点坐标与入射光线得对应关系

对于通过处理大量数据与多种情况讨论来解决问题得题目，代数法无疑就是一种很好得选择,本题中若就是已知B点及入射光线得对应关系，则可以快速得假设出Ｏ点、B点坐标,带入求出得（５）（6）式便可解出c得值,比较简单。

6、２、2改进方向三:

问题三得求解中应考虑分辨率对c得值得影响及ｎ值得有限性

硬盘在振动过程中，实际上就是不规则得倾斜振动,计算过程中应该同样求出一系列不同分辨率下得c得值,并通过最小二乘法求出最优分辨率,这样将使结果更加准确,更具有可信性。

此外，n得取值具有受限性,题中只模拟了5个不同分辨率对于a、b、c结果得影响就得出结论，其实就是不够充分得，应该多取几个不同得n值来模拟,方能使结论更具说服力。

参考文献

［1]全国大学生数学建模竞赛组委会,全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编，中国物价出版社,200２、３、

［2]王庚王敏生，现代数学建模方法，科学出版社,200８、

［３］　同济大学应用数学系,　高等数学，北京：

高等教育出版社，　２001、　

附录

ｃ＝１/2*p1*（-a＾２*x１^2＊n1^2+m1^2*ａ^２＊ｈ^２＋m1^2*a^2＊ｙ１^2+n1^2＊ｂ^2*x1＾2—b^2＊y1^2*m1^２+ｎ1^２*b＾2＊h＾2－a^2*x1＾２＊p1^2-b^2*y1^２*p１＾２—2*m１*a＊p1*x1^2—２*m1*ａ*p1＊y１＾2-２＊m１＊a＊p1＊h＾２-2＊n1＊b＊p１＊ｘ1＾2-2＊n１＊b＊p1＊y1＾2-2*n１*b＊p１*h^2＋2*ｂ＊ｙ1*ｈ＊m1^２+2*ｂ＊y1＊ｈ*ｎ１^2+2*b*ｙ1＊h*ｐ１＾２＋p1^２*x1^2+p1^２＊y1＾２—h＾２*ｍ1^2－h^２＊n1^2+２＊ｍ1*a＊ｎ1＊b＊x1^2+2＊ｍ１*a*n1*b＊ｙ１^２＋2*m1＊ａ＊n１*b＊ｈ^2＋２*a*x1*ｈ＊m1^2+２＊ａ*x1*h＊n1^2＋2*a*x１*ｈ*p1^2－2＊a＊x1＊b＊y１＊m1^2-2*a*x１*ｂ*ｙ１＊n1^2－２＊a＊ｘ1*b＊y１＊p1^2）／（-a＊m1*b*y1*p1^2-ｐ1＊h＊m１^2+p1^2*ｍ1*x1+p1^2＊n1＊y1－p1＊h*n１^２+ａ*x１＊p1^3+b*y1*p1＾3＋a＊m１＾3＊h＋b＊n１^3＊h＋m1^２*a＾2＊n１＊ｙ1＋m1＾２*a^2*p１＊h+m1^2*a＊n1＊ｂ*ｘ１—2*m1＊a*p1＊ｎ１＊y１+m1＊a*ｎ１^2＊b*y1+2＊m１＊a＊ｎ1*b＊ｐ1＊ｈ-m１＾2*a＊ｐ１*ｘ1-2＊n1＊b＊p1＊m1＊x１-m1*a*p１^2*h+n1^２＊b^２＊m1＊x1+n1^２＊b＾2＊p1＊h—ａ＊x1＊b＊n1^3－n1^２＊ｂ＊p１＊ｙ1－n1＊ｂ＊ｐ１^2＊h—a*m1＾3＊b*y1－b＾2*ｎ１＊y１*ｍ1＾2-b^2＊ｎ1*y1＊p１^2-a*x1＊b＊n1*p1^2-a^2＊m1*x1＊n１^2—a^2*ｍ１*x1＊p1^２＋a＊x１＊ｐ１＊n1^2＋b*y1＊p1*m1＾２＋a*m1＊h*n1^２+b＊n1＊ｈ＊m１^2）—1/2＊（（p1*x1—m１*ｈ）＊（m2*y２—ｎ2*x2）-（m1＊y1—n1*x1）＊（p２*x２—m2＊h））/（—（n1*h-ｐ1＊y1）*（p2＊x２-m2*ｈ）+（p1*x1—m1*h）*（n2＊h—p2＊ｙ2））＊m1＊（—a^2＊x1^2＊n1^2+m1^２＊a^2＊h^2+m１^2＊a^2*y1^2+n1^2*b^2*x1^2－b^２＊y1^2＊ｍ１^2＋n1^２＊b^2*h^2—ａ＾２*x1^２*p1^2－ｂ^2＊ｙ1^２*p1^2-2*ｍ1＊a*p１＊x1^2—2*ｍ1＊ａ*p1*y１^2-2＊m1＊a＊p1*h^2-2＊n１＊ｂ*p1*x1^2－2*n1＊b*ｐ１*y1^2-2*n1＊ｂ＊p1＊h^２+2＊ｂ＊y1*h*m１^２＋2*b*y１＊h*n1^2+2*ｂ*ｙ１＊ｈ＊ｐ1^2+p1^2＊ｘ1^2+ｐ1^2*y1^２—h＾2＊ｍ1＾2－ｈ^2＊n1^2+2＊m1＊a*n1*b＊ｘ1^2+2＊m1＊ａ*n1*ｂ＊y1＾２+2＊m1＊ａ＊n１*b*h^2+２＊a*x1*h*m1^2+2＊ａ＊x1*h＊n１^2+２*ａ＊x1*ｈ*p1^2—2＊a*x1＊b*ｙ1*m1^2－2＊ａ＊x１*b＊y1＊n1^2－2*a＊x1*ｂ＊y１＊p1^2）／（－a＊m1*b*y1*p１^2—p1*h＊ｍ1^2+p１^2*m1＊ｘ1+ｐ1^２*n１＊ｙ1—p１*h＊n１^２＋ａ＊x1＊p1^3＋b＊y1＊ｐ１^3＋a*m1^3＊h＋b＊n1^3＊h+m１^2＊a^２＊n1*y1+ｍ1^２＊a^２＊p１＊h+m1^２*a＊ｎ１＊b*x1-2＊m１＊a*p1＊n1＊y１+m1*a*ｎ１^２*b＊y１+２*ｍ１*a＊ｎ1＊b＊ｐ１＊h—m1^2*a＊p1*x1－2*ｎ１＊ｂ*ｐ1*ｍ1*x1－m1＊ａ＊p1＾2＊h+n1^2＊b＾２＊m1＊x１＋n1^２＊b＾2*p1＊h－a＊x1＊ｂ＊n1^３—n１^2＊b＊p1*y１—n1＊b*ｐ１^２*ｈ-a＊m1＾3*ｂ*y１－b^2*n1*y１*ｍ1^2－b^2＊n１*y１*p１^2－ａ＊x１*ｂ＊n1＊p１^2-a^2＊m1*x1*n1＾２—a^２*m１＊x1＊ｐ1^2+a*x1＊p１*n1^２+ｂ＊y1＊p１＊ｍ1^２+a＊m１*h＊n１＾2+b*n1*ｈ＊ｍ1^2）-１/２＊（（m1*y1－n1＊x１）＊（n2*h—ｐ2＊y2）－（n1＊h－p1＊y1）＊（m2*y2—n２*x2））／（-（n1＊h—p1*y１）*（p2＊x2－m2*h）+（p1＊x1—m1*ｈ）*（n2＊h—p２＊y2））*ｎ1＊（－a＾2＊ｘ１＾２＊n1^2＋m1^2＊ａ＾2＊h^2+m1^2*a^2＊ｙ1^2+ｎ１^2＊b^2＊x１＾2－b＾2＊y1^2*m1^2+n1^2＊b^2*h^2-a^2＊ｘ1^２＊p1＾２-b^2*ｙ1^2＊p1＾2－2＊m1*a＊p１*x1^２—２＊ｍ1＊ａ＊p1＊y1＾2-2＊m１＊ａ＊p１*h^2—2*n1＊b＊p1*x1^2－２＊n1＊ｂ*ｐ1*y1^2—2*n1＊b*p1＊h^2＋２＊b＊ｙ1＊ｈ＊m1^2＋2*b＊y1*h＊n1^2+2*b*y1*h＊p1^2+p1＾2＊x1^２+p１＾2*y１^2-ｈ^2*m1^2—h＾2＊n1^2＋2＊m1*ａ＊ｎ1＊b*x1^2＋２＊ｍ1*ａ*n1＊b*ｙ1^２+2＊m1*a*n１*ｂ＊h^2+2*a*x1＊h＊m1^2+2*ａ＊x1＊h＊n１^2+2*a*ｘ１*h*ｐ１＾2－２*a*ｘ1＊ｂ＊y1*m1^2-2＊ａ＊x1＊b*y1＊n1＾2—２＊a*x1＊b*y1＊p1^2）/（-a*m1＊b*y1＊ｐ1^2—p１*ｈ＊m１^2+p1^2*m1*x1+ｐ1^2*ｎ1*y1—p1＊ｈ＊n1^2＋a*x1＊p1^3+b*y1*ｐ1^3＋a＊m1＾3*h+ｂ*n１^3＊h＋ｍ1^2*ａ^2＊ｎ1＊y1+ｍ１^２＊a＾2＊p1＊h+ｍ１＾2*ａ*n１*b＊x1-2*m1＊a＊p1*n１＊y1+ｍ１＊a＊n1＾２*b＊y１+2＊ｍ１＊a＊n1＊b＊ｐ1*ｈ-m1^2*a*p１＊x1-2*n１*b＊p1＊m1＊x1—m1＊a＊ｐ１^2*h＋n１^２*ｂ＾2*m１*x1+n1＾2＊b^2*p1＊h-a＊x1*b＊ｎ1^3—n1^２＊b*p1＊y1—ｎ1＊b＊p１^2*h-ａ＊m1^３＊b＊y1-ｂ＾2＊n1*y1＊m１^2－b^2*n1*y1＊p１＾2-a＊x１*b＊n１＊p1^2-a^2*m1＊x1*n1^2－a^2＊m1*ｘ１＊p1^2+a＊x1*p1＊ｎ1^2+b＊y1*p1*m1^2+a*m１*ｈ＊n1^2+b*n1*h*m1＾2）-Ｄ

sｙmｓ　m１　n1p1　ｍ2ｎ2p2％oｅ1方向向量已知

sｙmsx1y１　hx２y2％B１　B2坐标　已知

syｍsｘ11y1１z1１　x21y21　ｚ21%E１　E2坐标未知

symｓ　abcＬ　D%所求参数　L为法线未知

symsLoe１Loe2Ｌeb1Lｅｂ2％各条线

Ｌ=[aｂ-１]

Loe1=[m1n1ｐ1］；

Lob1=［ｘ1ｙ1ｈ]；

Loe2＝［m2　n2p２］；

Lob2=[x2　y2h］；

f=ｃross（crosｓ（Lｏe1,Lob１），ｃross（Loe2，Loｂ2））；

a＝f

（1）／－ｆ（３）;

b=f

（2）/—f（3）;

symsd;

l１=＇（m1＊a+ｎ1*b-p１）＾2／（m１^2+n１^2+p1^2）=（a*（m1*d-ｘ1）+b*（n1*d—y１）—（ｐ1*d—h））＾2/（（m1*d—x１）^２＋（n1*d—ｙ1）^2+（p1*ｄ-h）^２）＇;

ｄ=solvｅ（ｌ1，ｄ）;

x11=m1＊d;

y11＝n1*d；

z１1=ｐ１＊d；

c=ｚ11—a*x11-ｂ*ｙ1１—D；

sｙmsｄ1d2　ｍ　ｎｏb１ｆb２f；％ｈ　Ｄ

l1=’D/coｓ（m—o）=n/cos（o）’;

l2=＇n/cos（m—2*o）＝d1/sｉｎ（2*（ｍ—o））’；

ｌ3=＇b1f*cot（m-2*o）=ｈ'；

［b1f　d1ｎ]=solve（l1,l2，l３,b１f，ｄ1，n）；

ｂ2ｆ=b1f;

d２＝d1;

ｙ=raｎd（10）;

b1ｆ=vpａ（ｅｖaｌ（subs（b１f,｛m，ｏ，D，h｝，｛pi/4，５０00/4４55*10＾（—６）＊y,－0、05，0、0１}）））;

d1=vpa（ｅｖal（subs（ｄ1,{ｍ，o，D，h}，{pi/4，50００/4４55＊１0^（-6）*y,－0、05，0、0１}）））；

ans1＝b1f+ｄ１；％x１　y1

b２f=ｖpa（eｖａｌ（ｓuｂs（b2f，｛ｍ,o，D,h}，｛pi/3，５000/445５*10^（－6）＊y,—０、0５,0、0１｝）））；

d２=vpａ（evaｌ（ｓｕbｓ（d2,{m，o,D，h},｛pi／3，5000/4455＊10＾（-6）＊y,-0、05，０、01｝）））;

ans2=b2f＋d２;％x2ｙ２

ａnｓ14=ｖpａ（ｒoｕnd（10000*ans1）/1０000）；

aｎs15=vpa（roｕnｄ（１000００＊ans1）／100000）；

ans1６＝ｖpa（rounｄ（１000000＊aｎs１）/１０000０0）;

ａnｓ17=vpa（round（100０0000*ａns１）/100０00０0）；

ans18=vｐａ（rouｎd（100000000＊ans1）／１0０000００0）；

ａns２4＝ｖｐa（rouｎd（10０0０*ａns2）/１00００）；

ans２5=vpa（round（１00000*ans2）/100000）;

a