本科毕业论文泊松分布在排队论中的应用讲解.docx
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本科毕业论文泊松分布在排队论中的应用讲解
学号：
0907431050
刽袒岬況学院
本科毕业论文（设计）
（2013届）
泊松分布在排队论中的应用
院系数学系
专业统计学
姓名孙中美
指导教师
职称讲师
等级
泊松分布在排队论中的应用
日常生活中存在着大量有形和无形的排队和拥挤现象，小到如旅客购票排队，市内电话占线银行服务系统，高速公路收费系统，大到国防武器作战效能•排队论的产生与发展来自实际的需要，实际的需要也必将影响今后的发展•已有的理论知识对日常生活中涉及排队论知识的实际问题建立了经典的模型，在这个基础上，对采集的数据进行相关的的分析，将分析的结果和分析得出的数据回带到模型中，进行数学推演，得出数量指标的统计规律，然后根据这些指标为涉及排队论服务系统的改进提供有价值的参考•本文先从排队
论的相关基本知识入手，简单介绍排队论的内容，排队论的模型和模型需要用到的指标，从而引出对泊松分布的介绍，最后再运用泊松分布的相关知识对实际周边生活的排队服务系统进行拟合计算其指标•从而得出模型最后的结论.
关键词：
泊松分布排队论排队模型模型结论
ABSTRACT
Therearealotoftangibleandintangiblequeuingandcongestionphenomenainourdailylife,suchaspassengerticketqueue,localtelephoneonline,bankingservicesystem,thehighwaytollsystem.Fromalargeperspective,itinvoIveswiththeDefenseWeaponCombateffectiveness.Theemergeneeanddevelopmentofqueuingtheorycomefromtheactualdemandthatwillalsoaffectthefuturedevelopment.TheexistingtheoreticalknowledgeishelpfultoestablishtypicalmodelsinvoIvedwithqueuingtheoryindailylife.Basedonthat,wecanmakeanalysisofthecollecteddata,theresultoftheanalysiscanbetakenintothemodel.Throughmathematicaldeduction,thestatisticalregularityofthequantityindexcanbeproduced.Withthoseindexes,somevaluablerefereneefortheimprovementrelatedtotheQueuingservicesystem.Thispaperstartswiththebasicknowledgerelatedtothequeuingtheory,thenmakesabriefintroductionofqueuingtheory,queuingmodelandtherequiredindex,thusleadstoaintroductionofthePoissondistribution.Finally,therelatedknowledgeofPoissonqueueservicesystemisappliedtoengageafittingcalculationoftheindicatorsonthepracticallife.Andthemodelconclusioncanbeobtained.
Keywords:
Poissondistributionqueuingtheoryqueuingmodelthemodelconclusion.
摘要I.
ABSTRACTII
1引言4
2排队论的基本理论4
2.1排队论简介4
2.2判断服务系统优劣的指标5
3排队论模型中的相关分布6
3.1时间间隔的分布6
3.2服务时间的分布7
4具体模型7
4.1模型一：
M/M/1/二/二（顾客源无限，系统容量不限）7
4.2模型二：
M/M/1/N^：
（系统容量有限）9
5具体实例分析10
6小结14
1引言
泊松分布（poissondistribution）是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布，
由法国数学家西莫恩•德尼•泊松（sim幻n-Denispoisson）于1838年提出，近些年来，随着自然科学的不断发展，泊松分布的重要性日益彰显•在泊松随机变量概念的基础上，加以推广便得到了泊松过程的概念•泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究•但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置•泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题，比如保险理赔问题和排队论问题•排队论的基本思想是丹麦电话工程师A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论.通过对服
务对象及服务时间的统计研究，得出数量指标（等待时间，排队长度等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优•本文将要介绍的现实中的排队服务问题，此外，泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例.
2排队论的基本理论
由于排队可以归属为一种随机现象，因此在研究有关排队现象的时候，主要采取概率论的相关知识作为其主要的工具•泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题中的应用非常广泛•我们把排队论所要研究的对象（要求服务的人或事物）称为顾客，把为顾客服务的人或事物称作服务机构，将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系统•由于顾客的到达时间和接受服务的时间到服务结束的时间一般说来都是随机的•所以我们又称服务系统为随机服务系统1
2.1排队论简介
各种随机服务系统一般由三个部分组成，排队的一般过程就是顾客由顾客源出发，到达服务机构（服务员或服务台）等待服务，接受服务，完成服务后离开的过程21.一般可
以下三个构成部分：
（1）输入系统；
各类型的顾客以怎样的规律到达服务系统，主要是顾客到达时间的间隔分布；
（2）排队规则；
顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务，即如果全部的服务台都有顾客正在接受服务，则离开（损失制），或者是排队等待服务（等待制）•还有系统的有限性和无限性即顾客源的有限或无限也是有差别的.
（3）服务机构：
相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务，单个顾客的服务时间是多少.
2.2判断服务系统优劣的指标
1队长：
服务系统总的顾客数，记其期望值为Ls;
2排队长：
服务系统中正在等待接收服务的顾客，记其期望值为Lq；通常情况下Ls或Lq越大，系统的服务质量越差，反之，则越好；
3逗留时间：
某一顾客在服务系统中总的停留时间，记其期望值为Ws；
4等待时间：
指某一顾客在服务系统中排队过程所费总时间；
5忙期：
指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度，是服务质量和强度的指标.
用Nt表示从初始时刻（0时刻）到t时刻（时间区间用0,t1表示）到达服务台的顾客数，用Pntnt2表示在时间区间「2（t2>ti）内共有n个顾客到达服务台的概率，即：
Pnt!
t2=Pkt2-Nt!
下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求Pnt的概率分布.
首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念：
定义2.1对于随机变量•所有可能取值为0,123-满足以下两个条件时；
⑴P二k0.k=0,1,2,3…
k
⑵aP=ke—'=1;
k£k=0k!
则称这个分布服从参数为-'>0泊松分布3，，记为X~二■.
泊松过程作为一种累计的随机事件发生次数的最基本的独立增量过程，排队问题中的
计数过程Int,t-01需满足下面三个条件4L
i.独立增量性：
在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立；
ii.平稳性：
对充分小的t，在时间区间t,^：
t内有一个顾客到达的概率与t无关，而约与氏成正比.即：
Rt,t「「氏•：
「t（'为大于零的常数）
iii.普通性：
对充分小的t，在时间区间t,^t内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略不计，即：
、巳t,t：
t二：
-：
tn=2
由上述条件（i）取t=0即从0时刻算起，并记为Pnt二R0,t；再由条件（ii）（iii）可
得在t,t•.址内无顾客到达的概率为：
F0t,t讥『1一At:
讥
因为0,trt二0,tt,trt（即将0trt拆分）
由全概率公式有：
FntAt=Fnt1-tR」tt-n_1①
将①式两边同时除以t：
t0可得：
购（Pn0=0是初值条件）
dPnt二_Pnt尹t；n_1dt
[Pn（0）=0
当n=0时可将②式改写为：
—P0t
.P。
0=1
其中R0=1的现实意义是t=0时刻无人到达的概率为1.
对于初值问题③，在分离出P0t的基础上，通过递推公式于是可得到:
Ptt—，t
Pnt=-nye,t0,n=0,1,2,3…
它的数学期望为ENt丨二’t,方差VarNtL't.
至此我们可以得出这样的结论：
上面这种顾客到达的计数过程Nt是服从参数为t的泊松分布.
3排队论模型中的相关分布
3.1时间间隔的分布
当寻求某种服务的顾客流入服务系统的过程是一个参数为■的泊松过程时，那么，两个顾客相继到达的时间间隔T服从参数为■的负指数分布5】，并且两者是等价的.下面将就此结论进行简单的证明.
设Ftt为T的分布函数，那么：
Ftt二P'T—t丄1—P'Tf
=1_R（t）=1_e"（0兰t£址）
由分布函数求密度函数即对Ftt关于t求导，可得：
fT（t）=^e"」；（o^t£p）
i
由指数分布的性质可知其期望ET=-,其现实意义为，若来客的平均到达率为■，则他们的平均到达时间间隔为-，二者的意义是互通的.
k
3.2服务时间的分布
对于服务时间V的分布一般说来也服从负指数分布，推理过程与上面时间间隔的分布类似，这里不再重述.下面只给出V的分布函数和它的密度函数.
Fvte」，fvtA'e」
其中为平均服务率，其现实意义是单位时间内能被服务完的来客数目.下面就泊松分布在几种常见的排队论模型中的应用进行实例介绍.
4具体模型
4.1模型一：
M/M/1/：
：
/：
：
（顾客源无限，系统容量不限）
该模型的具体条件有：
输入过程的顾客源是无限的，彼此间的到来独立不相关，到达的顾客流服从泊松分布，并且到达的过程是平稳的.排队服从单队形规则并且先到者优先接受服务，对队伍长度没有限制，只有一个服务台，来客接受服务的时间相互独立且都服从同一个负指数分布5.下面就泊松分布的知识对该模型的相关指标进行计算.
在顾客到达服从泊松分布（参数为•）且服务时间服从指数分布（参数为」）的前提,可知在t,t•氏的时间区间内，有一个来客到达的概率为Jt•—讥，那么，它的对立事
件即没有一个来客到达的概率为仁――讥，同理，1个来客被服务完离开的概率为It"kt，其对立事件来客没有被服务完的概率为1-心t“工t，有两个或两个以上来
客到达或离开的概率为-迸.
再次运用全概率公式：
Rt氏二Pnt1-址―就1-』t：
氏
P,t■:
-At
P.111-5rt,t•:
P.4t■--：
t1-At•:
上式整理后得：
Pnt=t=Pnt1-■：
.t-］亠Pndt：
t-R」t=t..：
t;
移项并在等式两边同时除以：
t4-；0后得：
Pn（t+；t）—卩也）=》F」（t片4P」（t）一仇+4R（t）+警）；
LtLt
故有：
dPo（t）=7pn」（t片卜久轨t）_（卩+&R（t）（^1）①
dt
上式是对于n_1的情况，当n=0时，①式可以改写为：
联）iPo（t）+PR（t）②
dt
联立①②并求其稳态条件下的解（此时Pnt与t无关，可以改写为Pn）；得到关于巳的差分方程：
工只」+卩只卑_（丸+4几=0;（n^1）.
AR—问=0
qQ
由概率的知识规定：
JPn=1.
n=0
00n1
于是,P0P0—7=1;
n=01―^'
④式是系统状态为n的概率，由此计算出的该模型的几个主要指标有：
a.顾客的平均数（排队长度的期望）：
Ls二厂;
—-.
b.正在队列中等待的顾客数平均（队列长的期望）：
Lq=「2；
C.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值：
w^eW—,即W服从参数为■
s卩—人
的指数分布：
1P（门
d.排队等待所费时间的期望：
wq=Ws-匸=丁卩=—;
卩'-儿IN丿
针对运用泊松分布计算出的上排队论模型的各指标参数，下面将其运用到具体的生活
实例中.
该模型与上一个比较，只是系统容量的不同，故上一模型的差分方程在当n：
：
：
N时,在此模型中仍适用，在这里只要考虑n二N的情况，仍然运用全概率公式得：
PN（t：
t）=PN（t）（1-o（.：
t））1PN」（t）（'：
t0（.：
t））（1-'.：
t0（.：
t））0（.：
t）
求导可得:
-J
d^N⑴「PN」（t）'PN⑴
得该模型的稳态条件下的差分方程为:
R二Bo
«Pn*+PPz=（1+P）Pn,（n=1,2,…，N—1）
Pn「Pn
N
仍旧有aPn=1，解方程组①得:
n=0
由②可得模型二的若干指标:
a.顾客的平均数（排队长度的期望）:
b.正在队列中等待的顾客数平均（队列长的期望）：
O0
Lq八（n-1）R二Ls-（1-Po）
n=0
c.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值：
此时，当系统人满（n二N）时，贝u到达率为0，故要求出有效的到达率e•正在被服务的顾客的期望为：
1-R二亍釘
■z1-P
1PN
n、'一e=卩（1-P°）=4
1
「1—pw;
异冷护屮—人（1一PN）
但是当系统容量无限时有：
1
Ls-
，Ws-
一扎
=Ws=-s③
当服务系统容量为N时，③式仍旧成立•由此得：
Ws=LJ
丸e卩（1—P0）
d.排队等待所费时间的期望：
1
Wq=Ws
针对运用泊松分布计算出的排队论模型二的各指标参数，下面将模型二的计算指标再次运用到具体的生活实例中，探究模型的实际应用功能.
5具体实例分析
例1到某一公共电话亭打电话的人可以认为是以泊松流到达，没人到达的时间的间隔平均为10分钟，每次打电话从开始到结束的时间为3分钟，求：
⑴该公共电话亭的平均排队的人数；
⑵每人等待时间的期望值是多少；
⑶某人到达后必须排队等待的概率是多大？
⑷若电信公司在确定1人到达后至少等待的时间为3分钟的情况下，就会在相邻的地方安装另一部电话机，试问，平均到达率上升到多少时电信公司会安装另一部电话？
例题分析：
由泊松分布的知识可知：
现在假设平均的到达率由0.1上升到，1时，此时某人到达后至少需要等待3分钟,
这时电信局需要在旁边安装另一部电话机•贝
W2=3-解得為=0.16.
0.330.33-、
其中⑷的解对实际问题的指导意义，即每两个人到达的时间间隔为6.25】丄1时,
<0.16；
安装另一部电话机可增加社会的经济效益.
例2针对合肥师范学院校园理发店的案例分析：
到达位于浴室旁边的校园理发店寻求理发服务的学生群可以认为是以泊松流到达，该理发店内有六张座椅接待前来排队等待理发的学生，学生的大众心理规则如下，当到达理发店门口发现里面的6张座椅全都坐满时，随即离去，到校外理发店寻求服务，经观察，本校学生的平均到达率为3人/小时，整个理发过称平均为15分钟/人.根据以上的观测信息计算以下几个问题：
⑴某一学生已到达就能接受理发服务的概率；
⑵需要排队等待接受理发的学生人数的期望值；
⑶实际有效的的到达率为多少？
⑷某一学生在该理发店逗留的时间的期望；
⑸求在可能到来的学生中有多少人不等待就选择离开？
分析：
由实际情况知该校园理发店的服务系统的最大顾客容量为N=7,因为学生的到
来是一个泊松过程，由泊松分布的相关知识可得其参数为；
平均到达率：
，=3人/小时；平均服务率：
」「4人/小时.
⑴该情况等价于校园理发店内没有顾客，故其概率为:
1一3
:
0.2278；
4
-品
3
I4
⑵排队等待的期望值为:
时Ls-1-F0=1.39.
⑶有效的到达率为:
e八1-P）1=41-0.27781=2.89人/小时.
⑷某个学生在该理发店内停留时间的期望为:
WS=士工211=0.73小时;
■e2.89
⑸这个问题等同于校园理发店里有7个学生的概率,
以上的第五个问题的现实意义就是本校理发店的损失率.
例3针对某小区7月-12月访客到达的数据（如表1所示）运用SPSS统计软件单样本K-S检验方法检验，将得到的检验结果（见表2,3）结合前面分析的泊松分布的有关知识进行
运算，最终得出指导实际的参数指标.
表1、某小区7月-12月的每日客流量
7月
8月
9月
10月
11月
12月
1
96
150
235
119
176
150
2
134
220
114
263
201
80
3
156
251
87
260
217
112
4
160
268
108
246
128
144
5
163
248
170
207
103
221
6
171
225
173
120
113
142
7
218
238
181
55
73
146
8
64
250
220
42
95
106
9
113
259
136
36
146
207
10
85
274
101
70
142
231
11
116
253
127
178
138
216
12
167
227
147
234
146
150
13
211
191
211
219
187
128
14
235
205
205
115
218
150
15
162
189
179
142
210
134
16
195
234
115
191
224
148
17
239
244
120
159
225
128
18
238
279
127
179
189
134
19
232
239
101
235
204
126
20
230
270
143
197
175
121
21
240
272
199
158
115
235
22
165
219
150
196
101
229
23
97
224
190
197
188
148
24
231
236
201
204
187
167
25
222
253
160
117
113
171
26
219
254
115
117
113
90
27
269
221
81
149
119
211
28
270
154
66
91
108
216
29
238
205
62
207
140
97
30
164
219
70
180
190
108
31
135
227
204
表2、单样本K-S检验
One-SampleKolmogorov-SmirnovTest
来客量
N
183
MostExtremeDifferences
Mean
172.37
Absolute
0.370
Positive
0.364
Negative
-0.370
Kolmogorov-SmirnovZ
5.007
Asymp.Sig.（2-tailed）
0.532
由统计结果得P=0.5320.05故可认为该来客流量过程服从泊松分布，由描述性统计结果
（表3）可知来客流量的均值为172，即■=172，结合前面分析的泊松分布在排队论模型
中参数的知识计算得系统中来客的数学期望EX=184,方差VarX=6324,服务时间期
望ET=1.15,方差VarT:
0.014
表3、描述性统计
DescriptiveStatistics
N
Mean
Std.Deviation
Minimum
Maximum
Percentiles
25th
50th（Median）
75th
来客里
183
172.37
57157
36
279
126.00
175.00
220.00
根据以上的运算结果可知，该小区在管理上提供的人次数为104,264，服务时间为
1.03,1.27d，从而该小区每天接待的平均来客量为184人，上下波动80人•对每一来客平
均服务时间为1.15天，上下波动0.12天.因此，该小区的服务人员数量应确定为107-335人之间，可根据季节变动调整服务人数，达到最优的人员配置，对实际的物业管理具有一定的指导意义.
6小结
评价和优化随机服务系统需要一定的数量指标来完反映•这些数量指标包括：
队长和排队长，逗留时间和等待时间，忙期和闲期，顾客损失率，服务强度•排队论就是通过研究主要数量指标的概率规律性，然后进行统计推测研究，最后使实际问题最优化•本篇论文在对已有的泊松分布和排队论的相关知识的简单介绍的基础上，弓I出两个
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