《离散数学》题库及答案.docx

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《离散数学》题库及答案

《离散数学》题库答案

一、选择或填空

（数理逻辑部分）

1、下列哪些公式为永真蕴含式？

（）

（1）-Q=>Q>P

（2）—Q二Q⑶P=>P—Q（4）-P（PQ）=>-P

答：

（1）,（4）

2、下列公式中哪些是永真式？

（）

（1）（nPQ）—（Q—-R）

（2）P—（Q—Q）⑶（PQ）—P（4）P—（PQ）

答:

（2）,（3）,（4）

3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?

（）

（1）P=>PQ⑵PQ=>P⑶PQ=>PQ

⑷P（P—Q）=>Q（5）-（P—Q）=>P（6）-P（PQ）=>-P

答：

（2）,（3）,（4）,（5）,（6）

4、公式-x（（A（x）>B（y,x））zC（y,z））>D（x）中，自由变元是（），

约束变元是（）。

答：

x,y,x,z

5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

（）

（1）北京是中华人民共和国的首都。

（2）陕西师大是一座工厂。

⑶

你喜欢唱歌吗？

（4）

若7+8>18,则三角形有4条边

（5）

前进！

（6）

给我一杯水吧！

答:

（1）是，T

（2）

是，F

（3）不是

（4）是，T（5）

不是

（6）不是

6、命题“存在一些人是大学生”的否定是（），而命题“所有的人都是要死的”的否定是（）。

答：

所有人都不是大学生，有些人不会死

7、设P:

我生病，Q:

我去学校，则下列命题可符号化为（）。

（1）只有在生病时，我才不去学校

（2）若我生病，则我不去学校

（3）当且仅当我生病时，我才不去学校（4）若我不生病，则我一定去学校

答:

8、

设个体域为整数集，则下列公式的意义是（）

（1）-Q）P

（2）P—；Q（3）P，-Q（4）一P>Q

（1）-xy（x+y=0）

（2）y-x（x+y=0）

答:

9、

（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0

（2）存在整数y对任一整数设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：

x满足x+y=0

（1）-xy（xy=y）

）

（2）x-y（x+y二y）

（3）x-y（x+y=x）（

）（4）-xy（y=2x）

答:

（1）F

（2）F（3）F

（4）T

10、设谓词P（x）:

x是奇数,

Q（x）:

x是偶数,

谓词公式

x（P（x）Q（x））

在哪个个体域中为真?

（）

（1）

自然数

（2）实数

⑶复数⑷

（1）--（3）

均成立

答:

（1）

11、

命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（

答:

2不是偶数且-3不是负数。

12、

永真式的否定是（

（1）

永真式

（2）永假式（3）可满足式⑷

（1）--（3）

均有可能

答:

13、公式）化简为（），公式Qt（Pm（PaQ））可化简

为（）。

答：

-P，Q>P

14、谓词公式-x（P（x）yR（y））>Q（x）中量词-x的辖域是（）。

答：

P（x）yR（y）

15、令R（x）:

x是实数，Q（x）:

x是有理数。

则命题“并非每个实数都是有理

数”的符号化表示为（

答：

—-x（R（x）>Q（x））

（集合论部分）

16、设A二{a,{a}}，下列命题错误的是（）。

（1）{a}P（A）

（2）{a}P（A）（3）{{a}}P（A）（4）{{a}}P（A）

答：

（2）

17、在0（）门之间写上正确的符号。

（1）=

（2）（3）（4）

答：

⑷

18、若集合S的基数|S|=5，则S的幕集的基数|P（S）|=（）。

答：

32

19、设P={x|（x+1）2乞4且xR},Q={x|5

确（）

（1）QP

（2）QP（3）PQ⑷P=Q

答:

（3）

20、下列各集合中，哪几个分别相等（）。

（1）A1={a,b}

（2）A2={b,a}（3）A3={a,b,a}（4）A4={a,b,c}

2

（5）A5={x|（x-a）（x-b）（x-c）=0}（6）A6={x|x-（a+b）x+ab=0}

答:

A1=A2=A3=A，A4=A5

21、若A-B=①，则下列哪个结论不可能正确？

（）

（1）A=①

（2）B=①（3）AB⑷BA

答:

（4）

22、判断下列命题哪个为真?

（）

（1）A-B=B-A=>A=B

（2）空集是任何集合的真子集

⑶空集只是非空集合的子集（4）若A的一个元素属于B,则A=B

答:

（1）

23、判断下列命题哪几个为正确？

（）

（1）{①}€{①,{{①}}}⑵{①}{①,{{①}}}（3）X{{①}}

⑷

①{①}（5）{a,b}

€{a,b,{a},{b}}

答:

（2）,（4）

24、

判断卜列命题哪几个止确？

（

）

（1）

所有空集都不相等

⑵{①八①⑷

若A为非空集，则AA成立。

答：

（2）

25、设AAB=AHC,AAB=AAC,贝SB（）C。

答：

=（等于）

26、判断下列命题哪几个正确？

（）

（1）若AUB=AUC,则B=C

（2）{a,b}={b,a}

（3）P（AAB）=P（A）AP（B）（P（S）表示S的幕集）

（4）若A为非空集，则A=AUA成立。

答:

（2）

27、A,E,C是三个集合，则下列哪几个推理正确：

（1）AB,BC=>AC

（2）AB,BC=>A€B（3）A€B,B€C=>A€C

答:

（1）

（二元关系部分）

28、设A={1,2,3,4,5,6},B二{1,2,3}，从A至UB的关系R={〈x,y〉x=y2},

求

（1）R

（2）R-1。

答：

（1）R={<1,1>,<4,2>}

（2）R4={<1,1>,<2,4>}

29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。

（）

答：

A上的恒等关系

30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？

（）

答：

自反性、对称性和传递性

31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？

（）

答：

自反性、反对称性和传递性

32、设S={1,2,3,4},A上的关系只={〈1,2>,〈2,1>,〈2,3>,〈3,4〉求

（1）RR

（2）R-1。

答:

RR={〈1,1>,〈1,3>,〈2,2>,〈2,4>}

R1={〈2,1>,〈1,2>,〈3,2>,〈4,3>}

33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系，求R={（）}。

答:

R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,

<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}

34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3}，从A至UB的关系R={

1

求

（1）R

（2）R-。

答:

（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>}

（2）R」={<1,1>,<2,4>,（36>}

35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3}，从A至UB的关系R={

求R和R1的关系矩阵。

答:

R的关系矩阵=

的关系矩阵

_1

=0

■0

01

0

0

36、集合A二｛1,2,…,10｝上的关系R二｛|x+y=10,x,yA｝,则R的性质为（）。

（1）自反的

（2）对称的（3）传递的，对称的（4）传递的

答:

（2）

（代数结构部分）

37、设A二｛2,4,6｝，A上的二元运算*定义为：

a*b=max｛a,b｝，则在独异点中，单位元是（），零元是（）。

答:

2，6

38、设A=｛3,6,9｝，A上的二元运算*定义为：

a*b=min｛a,b｝，则在独异点

＜A,*＞中，单位元是（），零元是（）；

答：

9,3

（半群与群部分）

39、设〈G,*〉是一个群，则

（1）若a,b,x€G,ax=b，则x=（）;

⑵

答:

若a,b,x€G,ax二ab，贝Ux=（）。

（1）aJb

（2）b

40、设a是12阶群的生成元，则a是（）阶元素，a是（）阶元素

答：

6,4

41、代数系统＜G,*＞是一个群，则G的等幕元是（）。

答：

单位元

42、设a是10阶群的生成元，则a4是（）阶元素，a3是（）阶元素

答：

5，10

43、群＜G,*＞的等幕元是（），有（）个。

答：

单位元，1

44、素数阶群一定是（）群，它的生成元是（）。

答：

循环群，任一非单位元

45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c€G,则

（1）若ca二b,则c=（）;

（2）若ca二ba，则c=（）

答：

（1）ba，⑵b

46、＜H,,是＜G,,的子群的充分必要条件是（）

答：

＜H,,＞是群或-a，bG,abH,a1H或-a,bGab-1H

47、群vA,*＞的等幕元有（）个，是（），零元有（）个

答：

1,单位元，0

48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k,则a1的阶是（）

答:

k

49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？

（

（1）a*b=a-b

（2）a*b=max{a,b}（3）a*b=a+2b⑷a*b=|a-b|

答：

（2）

50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

（1）不可能是群

（2）不一定是群

（3）一定是群（4）是交换群

答:

（1）

51、

6阶有限群的任何子群一定不是（

）。

（1）2阶

（2）3阶（3）4阶

（4）6阶

答:

（3）

（格与布尔代数部分）

52、

下列哪个偏序集构成有界格（）

（1）

（N,乞）

（2）（乙一）

⑶

（{2,3,4,6,12},|（整除关系））

（4）（P（A）,）

答:

（4）

53、

有限布尔代数的兀素的个数一定等于（

）。

（1）

偶数

（2）奇数（3）4的倍数

（4）2的正整数次幕

答:

（4）

（图论部分）

54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是（）。

（1）欧拉图

（2）树（3）平面图（4）连通图

答：

⑷

55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？

（）

（1）{0，10，110，101111}

（2）{01，001，000，1}

⑶{b,c,aa,ab,aba}⑷{1,11,101,001,0011}

答：

（2）

56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中（）的路。

答：

所有结点一次且恰好一次

57、在有向图中，结点v的出度deg+（v）表示（），入度deg（v）表示（）

答：

以V为起点的边的条数，以V为终点的边的条数

58、设G是一棵树，则G的生成树有（）棵。

（1）0

（2）1（3）2（4）不能确定

答：

1

59、n阶无向完全图Kn的边数是（），每个结点的度数是（）答:

叫日，n-1

2

60、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是（）。

答：

m=n-1

61、一个图的欧拉回路是一条通过图中（）的回路。

答：

所有边一次且恰好一次

62、有n个结点的树，其结点度数之和是（）。

答：

2n-2

63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码（）。

001,000,1}

11,101,002,0011}

）,每个结点的度数是（）

（1）{a,ab,110,a1b11}

（2）{01

⑶{1,2,00,01,0210}⑷{12

答:

（1）

64、n个结点的有向完全图边数是（

答:

n（n-1）,2n-2

65、一个无向图有生成树的充分必要条件是（）

答：

它是连通图

66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则

（1）n=m

（2）m=n+1（3）n=m+1（4）不能确定。

答：

（3）

67、设T=1，则T中至少存在（）片树叶。

答:

2

68、任何连通无向图G至少有（）棵生成树，当且仅当G是（），G的生成树只有一棵。

答：

1,树

69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于：

（1）m-n+2

（2）n-m-2⑶n+m-2⑷m+n+2。

答:

（1）

70、设T是--棵树，则T是一-个连通且（）图。

答：

无简单回路

71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2,则图G有（）个顶点。

（1）10

（2）4（3）8（4）16

答:

（4）

72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有（）个顶点。

（1）10

（2）4（3）8（4）12

答：

⑷

73、设图G=,V={a,b,c,d,e}，E={,,vb,c>,vc,d>,vd,e>},

则G是有向图还是无向图？

答：

有向图

74、任一有向图中，度数为奇数的结点有（）个。

答：

偶数

75、具有6个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由（）条边围成？

（1）2⑵4（3）3⑷5

答:

（3）

76、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。

（1）最多有n-1条

（2）至少有n-1条

（3）最多有n条（4）至少有n条

答：

（2）

77、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（）。

（1）5

（2）7（3）8⑷9

答:

（4）

78、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（）片树叶。

（1）n

（2）2n（3）n-1⑷2

答:

（1）

79、下列哪一种图不一定是树（）。

（1）无简单回路的连通图

（2）有n个顶点n-1条边的连通图

（3）每对顶点间都有通路的图（4）连通但删去一条边便不连通的图

答:

（3）

80、连通图G是一棵树当且仅当G中（）。

（1）有些边是割边

（2）每条边都是割边

（3）所有边都不是割边（4）图中存在一条欧拉路径

答:

（2）

（数理逻辑部分）

二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式:

1、（P—Q）R

解：

（P—Q）R=（-卩Q）R

二（—PR）（QR）（析取范式）

=（一P（Q一Q）R）（（_PP）QR）

二（-PQR）（-P-QR）（-PQR）（PQR）

=（—PQR）（—P-QR）（PQR）（主析取范式）

-（（P—Q）R）u（-P-Q-R）（-PQ-R）（P_QR）

（PQ_R）（P_Q_R）（原公式否定的主析取范式）

（P—Q）R：

二（PQR）（P_QR）（_PQ_R）

（―P-QR）（一PQR）（主合取范式）

2、（PR）（QR）-P

解：

（PR）（QR）-P（析取范式）

=（P（Q-Q）R）（（P-P）QR）（-P（Q-Q）（R-R））

二（PQR）（P.■QR）（PQR）（_PQR）

（—PQR）（—PQ-R）（一卩—QR）（一卩-Q-R）

（PQR）（P-QR）（一PQR）（一PQ-R）

（—P-QR）（一卩-Q-R）（主析取范式）

-（（PR）（QR）-P）

=（P-Q-R）（PQ-R）（原公式否定的主析取范式）

（PR）（QR）-P二（一PQR）（-P-QR）（主合取范式）

3、（-P—Q）（RP）

解：

（-P—Q）（RP）

二（PQ）（RP）（合取范式）

二（PQ（R-R））（P（Q-Q））R）

=（PQR）（PQ_R）（PQR）（P-QR）

=（PQR）（PQ-R）（P-QR）（主合取范式）

一（（一P—Q）（RP））

二（P一Q一R）（一PQR）（一P_QR）（一PQ-R）

（-P-Q-R）（原公式否定的主合取范式）

（一P—Q）（RP）

=（一PQR）（P-Q-R）（PQ-R）（P_QR）（PQR）

（主析取范式）

4、C—（P—R）

解：

CH（P-R）

=-QP-R（主合取范式）

-（CH（P-R））

：

=（—P-Q-R）（一P-QR）（一PQ-R）（一PQR）

（P-QR）（PQ-R）（PQR）（原公式否定的主合取范式）

Qh（P-R）

（PQR）（PQ-R）（P-QR）（P-Q-R）（一PQ-R）

（—P—QR）（—P-Q-R）（主析取范式）

5、Ph（P（QhP））

解：

Ph（P（QhP））

一P（P（-QP））

=一PP

=T（主合取范式）

=（—P-Q）（一PQ）（P-Q）（PQ）（主析取范式）

6、-（PhQ）（RP）

解：

—（PHQ）（Rp）二—（—pQ）（RP）

=（P-Q）（RP）（析取范式）

=（P_Q（R一R））（P（一QQ）R）

（P_QR）（P_Q_R）（P_QR）（PQR）

二（P-QR）（P-Q-R）（PQR）（主析取范式）

一（一（PhQ）（RP））=（PQ-R）（一PQR）（-P-QR）

（-P-Q-R）（-PQ-R）（原公式否定的主析取范式）

-（PHQ）（RP）u（―P-QR）（P—Q-R）（PQ-R）

（PQR）（P-QR）（主合取范式）

7、P（PhQ）

解：

P（PHQ）=P（―PQ）二（P-P）Q

=T（主合取范式）

=（一卩—Q）（一卩Q）（P—Q）（PQ）（主析取范式）

&（RhQ）P

解：

（R-Q）Pu（—RQ）P

=（—RP）（QP）（析取范式）

u（-R（Q-Q）P）（（-RR）QP）

二（-RQP）（-R_QP）（-RQP）（RQP）

=（PQ—R）（P-Q-R）（PQR）（主析取范式）

-（（R—Q）P）：

=（-P-Q-R）（-PQ-R）（P-QR）

（-PQR）（-P-QR）（原公式否定的主析取范式）

（R—Q）P：

=（PQR）（P_QR）（_PQ-R）

（P-Q-R）（PQ-R）（主合取范式）

9、P—Q

解：

p—Q二-PQ（主合取范式）

=（—P（Q-Q））（（-PP）Q）

：

=（一PQ）（一P-Q）（一PQ）（PQ）

=（—PQ）（—P-Q）（PQ）（主析取范式）

10、p-q

解：

P-Q（主合取范式）

二（P（-QQ））（（-pP）-q

=（P-Q）（PQ）（-P-Q）（P-Q

=（P-Q）（PQ）（—P-Q）（主析取范式）

11、pq

解：

PQ（主析取范式）=（P（Q-Q））（（P-P）Q）

=（P-Q）（PQ）（PQ）（—PQ）

=（P-Q）（PQ）（—PQ）（主合取范式）

12、（PR）>Q

解：

（PR）>Q

=一（PR）Q

=（—P一R）Q

=（—PQ）（—RQ）（合取范式）

=（一PQ（R_R））（（一PP）Q-R）

核聂PJOM

（竿耶迪呂）Ad）V（Q^Ad）V（dAd^）V（QAd^）戸

（（3」VQ）Ad）V（（dvQ）Ad^）戸（①八。

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（d-A0Ad）v（d^A0Ad--）v（d^A0Ad^）v（dA0Ad^）-

：

=（一PQ（R-R））（-P（Q-Q）R）（P一Q（R-R））

（P（Q-Q）-R）

：

=（—PQR）（一PQ-R）（一PQR）（一P-QR）

（P_QR）（P-Q-R）（PQ-R）（P一Q-R）

：

=（—PQR）（-PQ-R）（一P_QR）（P_QR）