三元基本不等式教学内容.docx

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三元基本不等式教学内容

基本不等式在求最值中的应用与完善

杨亚军

函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。

高考应用题几乎都与最值问题有关，而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会•只

有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解

决实际应用问题。

基本不等式的内容及使用要点

1、二元基本不等式：

1a,b€R时，a2+b2>2ab（当且仅当a=b时“二”号成立）；

2a，b》0时，a+b>2（当且仅当a=b时“=”号成立）这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。

若在非负实数范围之

内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式

及公式的变形：

ab<-，ab<-。

对不等式ab<亠，

还有更一般的表达式：

|ab|。

a+b

由数列知识可知，亠称为a，b的等差中项，「二'称为a，b的

等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：

“两个正数

的等比中项不大于它们的等差中项”

2.三元基本不等式：

当a,b,c>0时，a+b+c》,当且仅当a=b=c时，等号成立，乃至n元基本不等式；当ai>0（i=1，2,…，n）时，ai+&+…+a&JaLa2，，，an.。

二元基本不等式的其它表达形式也应记住：

当a>0,b>0时，二+-丄

>2,a+心>2等。

当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，

丄

如a<0时，可得到a+w-2。

基本不等式中的字母a,b可代表多项式。

3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。

利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已

学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。

利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。

常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。

在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。

一般说来，“见和想积，拆低次,凑积为定值，则和有最小值；

见积想和，拆高次,凑和为定值，则积有最大值。

、基本不等式求最值的应用

例1、已知a>1,0

logab+logua<-2。

解题思路分析：

lngi,a=——!

—log4b+―-—

由对数函数可知：

，logbavo，因此由■-的结

构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数

的概念去转化。

'•Togab<0

卜叽h）

1

•••-logab>0

]

•logab+1-L<-2

即logab+logbaw-2

1

当且仅当11，loga2b=1，logab=-1时，等号成立，此时

ab=1o

例2、已知x，y，z均为正数，且xyz（x+y+z）=1，求证：

（x+y）（y+z）>2。

解题思路分析：

这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2,联想到

二元基本不等式及条件等式中的“1”。

下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。

对因式（x+y）（y+z）展开重组即可。

22

（x+y）（y+z）=xy+xz+y+yz=（xy+y+yz）+xz=y（x+y+z）+xz。

将y（x+y+z），xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式：

y（x+y+z）+xz=2=2'=2

当且仅当

时等号成立

y十xz

4-y4-z）1=]

例3、

（1）已知x>1,求3x+---+1的最小值;

（3）已知x，y为正实数，3x+2y=10,求函数W一-"的最值;

9_

（4）已知x>0，求函数f（x）=4x+:

-的最小值;

（5）

已知a>b>0,求函数y=a+-1-'1-的最小值;

（7）求函数y=sin29cos0，0€0,的最值。

2

解题思路分析：

这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足

“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。

（1）在分式的位置凑出分母x-1，在3x后面施加互逆运算：

±3

土丄辰七匕+4

原式=（3x-3）+3+--+1=3（x-1）+-1+4》2=4

+4

（2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<二。

同时还

J_

应化简':

中y2前面的系数为'

很简单

否则，这样思考：

条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W>0,W=3x+2y+2屆•阿"N2殛両w12〔極『丰（何尸

=10+（3x+2y）=20

（4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。

分母为x的二次，为使积的

y=（a-b）+b+

=二」一

（7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到=厂11九「'、=1为常数,应对解析式平方。

2sm+Geos2G=sin1白•sm玄6-casa5=—sin20sin36-（2cos^G）y>0,y2=-

ab=b=

b十1b十1

令t=b=1,1

例4、已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=-的最小值。

解题思路分析：

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式,又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

、

30-2b<30-2b,-朮*30b

ab<18y>--

当且仅当t=4，即b=3,a=6时，等号成立。

法二：

由已知得：

30-ab=a+2b

■/a+2b>:

•••30-ab>「二

令'■■-二

贝y+0,-：

期uW3忑

J_

•-二w「w,abw18,y>-'-■

经验：

在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次

1

X4-—

式。

这种类型的函数一般都可转化为：

-型，从而用基本不等式求解。

其

处理方法，请同学们仔细体会。

实际上，一般含二次式的分式函数

ax2■+c

—

工匸’匚（a，b，c，mn，p不全为零）均可用此方法求解。

三、基本不等式在求最值中的完善

y=（2^+—（（2^i>0.>0）

1.形如主的最值,要视具体情况而定

如能满足利用基本不等式的三个条件，则利用基本不等式；不能满足，则利用函数的单调性来求。

例5、已知函数（c为常数）最小值为m求证:

（1）当cwi时，m=2;

&（1+—）

（2）当c>1时，m=

解题思路分析：

分母与分子是一次与二次的关系，通过换元法可转化为基本不等式型。

+1t1

令■■■则

t+-

r~yt+

t,:

I

•/L>2,当且仅当t=1时等号成立

•••当CW1时，一W1,t=1在函数定义域（上,+8）内，ymin=2

t=^-,x=0时,

当c>1时，二>1,1<^，+8），等号条件不能成立，转而用函数单调性求解。

y=—十b绘

结论：

求函数--（a>0,b>0,x€[c,+8）,c>0）的最小值时，有下列结论

gE

（1）若cwYE,当且仅当x=Vb时，y龌価；

卄=-^bc

（2）若c>'1，当且仅当x=c时，

例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200吊的三级污水处理池（平面图如图），

如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建

造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最

低，并求出最低造价。

解题思路分析：

这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”

价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。

在建立关

于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造

价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。

若设污水池长为x米，则宽为：

-（米）

200

（米）

水池外圈周壁长:

200

中间隔墙长：

-（米）

池底面积：

200（米2）

y=400（2x+2-—）+248—.2-fSOx200=SOO^+—）-f1600目标函数：

/__324

1600A4-1600=+4800

>'■:

例7:

求下列函数的最值

/+4

（1）

r>0

求

y-

的最小值，若工°

呢？

若菟o

41

仅当

氐一-

—X即工=_2

时，

『⑴皿=-4

⑵当"（0,町，求smx的最小值

4

Slll^-.

sinx

，则

.9.

sinjc=4

•••使用基

当

等号取不到。

分析：

兀€（0/）,sinxe（0,1]

?

本不等式来求最值，是有条件的，回忆一下，基本不等式有哪些？

须满足什

么条件?

成立。

我们应用基本不等式求最值，通常用

q+b>2y[ab

足三个条件：

①非负数；②和（或积）为定值；③等号要成立。

》=©;+—（（2,i?

>0,x>0）

例8.形如工的最值问题

分析：

可令

smx=f，贝y右，

可从图象上观察，我们来看它的大致图形:

渐近线为直线y=x和》轴，当＞0时,有最低点（2,4）

对fG（0,2］和fc（2,+°°）的单调性，我们可加以证明

解：

设°V"£2，则

产（勺）_二百一鸟+£_占二（勾-ya_斗）二比-®（号"）

••Dvfi＜勺玉2•勾一^＜0•0＜堆；C4

*?

**u?

**?

**

hh-4＜oy（坊）＞o,/Ci）＞,•./（◎在（o,

2］上单调递减。

：

（0,1］是（0,2］的子区间，•卩在（0,1］上单调递

71

减。

•当

t=1,即

sinx=1

iA—

2

时，ymin-§

总结：

当利用基本不等式求解困难时，可利用函数的单调性来求最值。

丄4

y=f-F-•小iiA

例9.求:

主的最小值，让（°』］,20。

解:

...当°<月52时，丿在（0丿］上单调递减，而当

时，》在（上单调递增。

.••当

八时,

y=t^-

例10.求七的最小值,

解：

•••’W」I分类讨论为

①当n~2时，戸在［卩川上单调递减,

4

儿血二吃+_

n；

n>2

.••当

、0

。

时，

②当m<2

皿=2+T=4

③当22时，牌在側』1上单调递增,.••2皿时,

4

儿通=祖+—

b

＜、

例11.求

的最小值，

解：

飞3J］，分类讨论为:

例12.求

t的最小值,

时，即-U

0

•.•fE［巾』］，分类讨论为:

1^>4b时，"在［m.n］单调递减，则当土“即

b

皿二吃+―

n；

2当m<4b

3皿5，"在⑷』】单调递增。

b

总结：

对

视具体情况而定。

丿二亦+—

冥的最值，0心*2°）的讨论，要

如能满足利用基本不等式的三个条件（或通过变形创造条件），则利用基本不等式；不能满足，贝U可考虑利用函数的单调性来求。

2003.7.1