第5章第4节 共点力平衡条件的应用.docx
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第5章第4节共点力平衡条件的应用
第4节 共点力平衡条件的应用
学习目标
核心提炼
1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件。
1个疑问——移动货物箱
1个选择——绳子的粗细
2.掌握利用平衡条件解决有关物体平衡问题的思路、方法，提高解决物理问题的能力。
一、关于移动货物箱的疑问
阅读教材第97页“关于移动货物箱的疑问”部分，了解怎样移动货物箱更省力。
如图1所示，货物箱处于平衡状态，G为货物箱重力，F为拉（推）力，N为地面对货物箱的支持力，f为摩擦力，地面与箱之间的动摩擦因数为μ。
图1
（1）向前拉物箱时
水平方向上：
Fcosθ＝f
竖直方向上：
＝G
又由于f＝μN，可得：
F＝
（2）向前推物箱时
水平方向上：
Fcosθ＝f
竖直方向上：
N＝又由于f＝μN
可得：
F＝
比较两次的计算结果可知推动货物箱时需要的力更大。
二、如何选择绳子的粗细
阅读教材第97～98页“如何选择绳子的粗细”部分，了解固定物体时如何合理选择绳子的粗细。
如图2所示，用绳子把排球网架的直杆拉住，OA、OB两绳的拉力大小相同，夹角为60°。
图2
O点受力示意图如图3所示（在左上方观察），
图3
沿x轴方向上：
FOAsin30°＝
沿y轴方向上：
＝FOC
所以FOC＝FOA＝FOB
如果绳能承受的拉力跟绳的横截面积成正比，那么OC绳的直径大约是OA（OB）绳的1.32倍才合理。
预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中
问题1
问题2
共点力平衡问题的求解方法
[要点归纳]
1.矢量三角形法
一个物体受三个力作用而平衡时，则其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形。
可以通过解三角形求解相应力的大小和方向。
2.正交分解法
当物体受多个共点力作用时，可用正交分解法求解，即将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两方向上列平衡方程。
3.矢量图解法
当物体所受的力变化时，根据物体的受力特点进行受力分析，画出平行四边形或三角形，注意明确各个力的变化量和不变量，结合数学规律对比分析，使动态问题静态化、抽象问题形象化，问题将变得易于分析处理。
[精典示例]
[例1]在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图4所示。
仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球。
无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。
风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？
（试用三角形法和正交分解法两种方法求解）
图4
[针对训练1]（多选）如图5所示，用竖直挡板将小球夹在挡板和光滑斜面之间，若缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，则以下说法正确的是（ ）
图5
A.挡板对小球的压力是先增大后减小
B.挡板对小球的压力是先减小后增大
C.斜面对小球的支持力是先减小后增大
D.斜面对小球的支持力是一直逐渐减小
求解共点力作用下物体的动态平衡问题，要先对研究对象进行受力分析，画出受力分析图，应用平衡条件，建立平衡方程。
列方程时要把握好变力与恒力的关系，做出准确的定性分析。
解共点力平衡问题的一般步骤
[要点归纳]
1.选取研究对象。
2.对所选取的研究对象进行受力分析，并画出受力分析图。
3.对研究对象所受的力进行处理，一般情况下，需要建立合适的直角坐标系，对各力沿坐标轴进行正交分解。
4.建立平衡方程，若各力作用在同一直线上，可直接用F合＝0的代数式列方程，若几个力不在同一直线上，可用Fx合＝0与Fy合＝0，联立列出方程组。
5.对方程求解，必要时需对解进行讨论。
[精典示例]
[例2]一物体置于粗糙的斜面上，给该物体施加一个平行于斜面的力，当此力为100N且沿斜面向上时，物体恰能沿斜面向上匀速运动；当此力为20N且沿斜面向下时，物体恰能在斜面上向下匀速运动。
求施加此力前物体在斜面上受到的摩擦力。
[针对训练2]如图6所示，质量为m的木块静止地放在半径为R的半球体上，半球体与木块均处于静止状态，已知木块与半球体间的动摩擦因数为μ，木块与球心的连线与水平地面的夹角为θ，则下列说法正确的是（ ）
图6
A.地面对半球体的摩擦力方向水平向左
B.木块对半球体的压力大小为mgcosθ
C.木块所受摩擦力大小为mgcosθ
D.木块所受摩擦力大小为μmgcosθ
1.举重运动员在抓举比赛时，为了减小杠铃上升的高度和便于发力，抓握杠铃的两手间要有较大距离，使两臂上举后两臂间成钝角，手臂伸直后所受作用力沿手臂方向，一质量为75kg的运动员，在举起125kg的杠铃时，两臂成120°角，如图7所示，则此时运动员的每只手臂对杠铃的作用力F及运动员对地面的压力N的大小分别为（g取10m/s2）（ ）
图7
A.F＝1250N，N＝2000N
B.F＝1250N，N＝3250N
C.F＝625N，N＝2000N
D.F＝722N，N＝2194N
2.如图8，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时（ ）
图8
A.绳OA的拉力逐渐增大
B.绳OA的拉力逐渐减小
C.绳OA的拉力先增大后减小
D.绳OA的拉力先减小后增大
3.一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80cm。
将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（ ）
A.86cmB.92cm
C.98cmD.104cm
基础过关
1.如图1所示，两个等大、反向的水平力F分别作用在物体A和B上，A、B两物体均处于静止状态。
若各接触面与水平地面平行，则A、B两物体各受几个力（假设水平地面光滑）（ ）
图1
A.3个，4个B.4个，4个
C.4个，5个D.4个，6个
2.如图2所示，质量为M的木板静止在桌面上，木板上有质量为m的滑块在匀速滑行，拉力大小为F。
已知滑块与木板间、木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，M＝3m，那么木板所受桌面的摩擦力的大小是（ ）
图2
A.FB.2μmgC.3μmgD.4μmg
3.（多选）如图3所示，皮带运输机将物体匀速地送往高处，下列结论正确的是（ ）
图3
A.物体受到与运动方向相同的摩擦力作用
B.传送的速度越大，物体受的摩擦力也越大
C.物体所受的摩擦力与匀速传送的速度无关
D.若匀速地向下传送物体，物体所受的摩擦力沿皮带向下
4.（多选）如图4所示，位于斜面上的物体M在沿斜面向上的力F作用下而处于静止状态，对M的受力情况，下列说法正确的是（ ）
图4
A.可能受三个力作用
B.可能受四个力作用
C.一定受三个力作用
D.一定受四个力作用
5.一质量为M的探空气球在匀速下降。
若气球所受浮力F始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，且它们关系为f＝kv（k为比例系数），重力加速度为g，现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为（ ）
A.2（M－
）B.M－
C.2M－
D.0
6.三个共点力作用在同一物体上，处于平衡状态。
其中一个力大小为4.0N，方向向北；另一个力大小为3.0N，方向向东；那么第三个力的大小和方向为（ ）
A.5.0N，向东北B.5.0N，向西南
C.7.0N，向东北D.7.0N，向西南
7.如图5所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g。
图5
若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为（ ）
A.
B.
C.
mgtanαD.
8.如图6，一物体用一轻绳悬挂于O点而静止，现在用一个水平力F作用在物体上，使其缓慢偏离竖直位置，则水平拉力F的大小变化情况为（ ）
图6
A.先变大，后变小 B.先变小，后变大
C.一直变大D.不断变小
能力提升
9.用细绳将重球悬挂在竖直光滑墙上如图7所示，当悬挂绳变长时（ ）
图7
A.绳子拉力变小，墙对球弹力变大
B.绳子拉力变小，墙对球弹力变小
C.绳子拉力变大，墙对球弹力变大
D.绳子拉力变大，墙对球弹力变小
10.（多选）人用绳索把小船拉向岸边，如图8所示，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是（ ）
图8
A.绳子的拉力T不断增大
B.绳子的拉力T不变
C.船的浮力减小
D.船的浮力增大
11.一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图9所示。
现将细绳缓慢往左拉，使轻杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及轻杆BO所受压力N的大小变化情况是（ ）
图9
A.N先减小后增大B.N始终不变
C.F先减小后增大D.F始终不变
12.如图10所示，一物体放在水平地面上，对物体施加一个倾角为θ的斜向上方的力F，当这个力从零开始逐渐增大时，物体受到的摩擦力将（ ）
图10
A.逐渐增大B.逐渐减小
C.先逐渐增大，后又减小D.先逐渐减小，后又增大
13.（多选）如图11所示，一木块在垂直于倾斜天花板平面方向的推力F作用下，处于静止状态，则下列判断正确的是（ ）
图11
A.木块一定受到4个力的作用
B.木块可能受到2个力的作用
C.逐渐增大推力F，木块将继续保持静止状态
D.木块受天花板的滑动摩擦力随推力F的增大而增大
14.（多选）如图12所示，倾角α＝30°的等腰三角形斜面固定在水平面上，质量分别为2m和m的A、B两个滑块用不可伸长的轻绳通过滑轮连接（不计滑轮质量和摩擦）。
已知A滑块和左侧斜面的动摩擦因数μ＝
，B滑块与右侧斜面间光滑接触。
且A、B均处于静止状态，则斜面对A的摩擦力fA的大小和方向为（ ）
图12
A.fA＝
mgB.沿斜面向上
C.fA＝
mgD.沿斜面向下
15.若把一木块置于台秤上，台秤的读数为50N，然后用一个与水平方向夹角为60°的斜向上的拉力作用于木块上，木块仍保持静止，但发现台秤的读数减少了20N。
求：
（1）斜向上的拉力的大小；
（2）木块与台秤间的摩擦力大小。
16.如图13所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量m＝
kg，斜面倾角θ＝30°，悬线与竖直方向夹角α＝30°，求：
（g取10m/s2）
图13
（1）悬线对小球拉力的大小；
（2）小球对斜面压力的大小。
参考答案
一、
（1）
N＋Fsin__θ
（2）Fsin__θ＋G
二、
[例1]
解析 取金属球为研究对象，有风时，它受到三个力的作用：
重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T，如图甲所示。
这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解。
甲
法一 力的三角形法
如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：
F＝mgtanθ。
法二 正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示。
由水平方向的合力F合x和竖直方向的合力F合y分别等于零，即
F合x＝Tsinθ－F＝0，F合y＝Tcosθ－mg＝0，
解得F＝mgtanθ。
由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关。
因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小。
答案 F＝mgtanθ
[针对训练1]
解析 取小球为研究对象，小球受到重力G，挡板给小球的支持力N1和斜面给小球的支持力N2三个力作用，如图所示，N1和N2的合力与重力大小相等，方向相反，N2总垂直接触面（斜面），方向不变，根据图解可以看出，在N1方向改变时，其大小（箭头）只能沿PQ线变动。
显然在挡板移动过程中，N1先变小后变大，N2一直减小。
答案 BD
[例2]
解析 物体沿斜面向上运动时受力分析如图甲所示。
甲
由共点力的平衡条件得
x轴：
F1－f1－mgsinα＝0，
y轴：
mgcosα－N1＝0
又f1＝μN1
物体沿斜面向下运动时受力分析如图乙所示。
乙
由共点力的平衡条件得
x轴：
f2－F2－mgsinα＝0，
y轴：
mgcosα－N2＝0
又f2＝μN2，f1＝f2＝f
以上各式联立得：
f1＝f2＝f＝
代入数据得：
f＝
N＝60N，mgsinα＝40N
当不施加此力时，物体受重力沿斜面向下的分力
mgsinα故物体静止在斜面上，受到的静摩擦力
f′＝mgsinα＝40N。
答案 40N
[针对训练2]
解析 以物体和球体整体为研究对象，整体处于静止状态，而水平方向不受外力，故半球体不受地面的摩擦力，故A错误；对物体受力分析，物体受到重力、支持力及摩擦力，三力作用下物体处于平衡状态，则合力为零，物体对球面的压力为mgsinθ，故B错误；物体受到的摩擦力沿切线方向，沿切线的重力的分力与摩擦力大小相等，即f＝mgcosθ，故D错误，C正确。
答案 C
1.
解析 分析杠铃受力如图所示，重力、人给的两个支持力，三个力的夹角均为120°，杠铃处于静止状态，合力为零。
两臂作用力大小相等，并等于杠铃重力G，所以F1＝F2＝1250N。
把杠铃和人看做整体，整体受重力、地面的支持力，且两力大小相等，N＝2000N。
答案 A
2.
解析 对点O受力分析，如图所示，通过作图，可以看出绳OA的张力先变小后变大，故A、B、C错误，D正确。
答案 D
3.
解析 设弹性绳的劲度系数为k。
挂钩码后，弹性绳两端点移动前，左、右两段绳的伸长量ΔL＝
＝10cm，两段绳的弹力F＝kΔL，对钩码受力分析，如图甲所示，sinα＝
，cosα＝
。
根据共点力的平衡条件可得，钩码的重力为G＝2kΔLcosα。
将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点时，受力图如图乙所示。
设弹性绳伸长量为ΔL′，弹力为F′＝kΔL′，钩码的重力为G＝2kΔL′，联立解得ΔL′＝
ΔL＝6cm。
弹性绳的总长度变为L0＋2ΔL′＝92cm，故选项B正确，A、C、D错误。
甲 乙
答案 B
1.
解析 对物体A受力分析，竖直方向上受两个力：
重力和支持力；水平方向受两个力：
水平力F和B对A的摩擦力，即物体A共受4个力作用；对物体B受力分析，竖直方向上受3个力作用：
重力、地面的支持力、A对B的压力；水平方向受两个力作用：
水平力F和A对B向右的摩擦力，即物体B共受5个力的作用，故C正确。
答案 C
2.
解析 m匀速滑行，由平衡条件知F＝μmg，M静止不动，由平衡条件知桌面的摩擦力等于m、M间的摩擦力，大小为μmg，所以A正确，B、C、D错误。
答案 A
3.
解析 由物体匀速运动，物体所受的摩擦力应和重力沿传送带方向向下的分力平衡，即沿皮带向上，与传送的速度大小和方向无关。
答案 AC
4.
解析 对M进行受力分析，M受重力、斜面的支持力、推M的力F，M与斜面挤压处是否有摩擦力，是沿斜面向上还是沿斜面向下由F与mgsinα决定，所以A、B正确，C、D错误。
答案 AB
5.
解析 设气球所受阻力为f＝kv，当气球匀速下降时，有Mg＝F＋kv，当气球匀速上升时，有（M－m0）g＋kv＝F，解得m0＝2（M－
），A正确。
答案 A
6.
解析 如图所示，由共点力的平衡条件，第三个力一定与另两个力的合力等大、反向，因此F＝
＝5.0N，方向向西南。
答案 B
7.
解析 对石块受力分析如图所示，由平衡条件得：
2Nsinα＝mg，解得N＝
。
答案 A
8
答案 C
9.
解析 设绳子和墙面夹角为θ，对小球进行受力分析：
把绳子的拉力T和墙对球的弹力为N合成F，由于物体是处于静止的，所以物体受力平衡，所以物体的重力等于合力F，即F＝G，根据几何关系得出：
T＝
，N＝mgtanθ，先找到其中的定值，就是小球的重力mg，mg是不变的，随着绳子加长，细线与墙壁的夹角θ减小，则cosθ增大，
减小，tanθ减小，mgtanθ减小，所以，T减小，N减小。
故选项B正确。
答案 B
10.
解析 如图所示，小船受四个力的作用而匀速前进。
水平方向：
f＝Tcosθ，
竖直方向：
Tsinθ＋F浮＝mg
当θ角增大时，由于f不变，则拉力T增大，F浮减小。
答案 AC
11.
解析 取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力（大小为F）、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力（大小为G），如图所示，得到一个力三角形（如图中阴影部分），此力三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解。
设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得
＝
＝
，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知N不变，F逐渐变小，故选项B正确。
答案 B
12.
解析 对物体进行受力分析，如图所示，将F进行正交分解，可得F1＝Fcosθ，F2＝Fsinθ。
在F较小时，物体不运动，摩擦力f是静摩擦力，其大小应为f＝F1＝Fcosθ。
所以F增大时，f也增大；在F较大时物体发生了运动，静摩擦力变为滑动摩擦力，其大小应为f′＝μN，又由竖直方向受力平衡，有N＋F2＝G，所以N＝G－F2＝G－Fsinθ。
滑动摩擦力的大小f′＝μ（G－Fsinθ），所以当F增大时，f′就减小了。
答案 C
13.
解析 木块在重力作用下，有沿天花板下滑的趋势，一定受到静摩擦力，则天花板对木块一定有弹力。
木块受力如图，故A正确，B错误；根据平衡条件得：
F＝N＋Gcosα，f＝Gsinα；逐渐增大F的过程，N增大，最大静摩擦力增大，而木块受到的静摩擦力f不变，木块将始终保持静止，故C正确，D错误。
答案 AC
14.
解析 B处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件得知：
绳子的拉力T＝mgsinα，再对A进行研究，设斜面对A的静摩擦力方向沿斜面向下，根据平衡条件得：
T＝2mgsinα＋fA，联立以上两式得：
fA＝－mgsinα＝－
mg，负号说明斜面对A的静摩擦力方向沿斜面向上。
故选项A、B正确。
答案 AB
15.
解析
（1）由题意知：
Fsin60°＝20N，解得拉力
F＝
N。
（2）摩擦力f＝Fcos60°＝
N。
答案
（1）
N
（2）
N
16.
解析 对小球进行受力分析，小球受重力、斜面支持力和轻绳拉力，沿斜面和垂直斜面建立直角坐标系，将拉力和重力正交分解，由平衡条件得
mgsinθ＝Tcos（60°－α） ①
mgcosθ＝Tsin（60°－α）＋N ②
联立①②式，解得T＝10N，N＝10N。
答案
（1）10N
（2）10N
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