第1讲 勾股定理尖子班 1.docx

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第1讲勾股定理尖子班1

第1讲勾股定理

知识点1勾股定理

（1）勾股定理：

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：

（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

【典例】

1．（2019秋•雨花区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（　　）

A．

或

B．

或12或4

C．

或

或12D．

或12或4

【随堂练习】

1．（2019秋•凤翔县期末）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积为S2，…按此规律继续下去，则S5的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2019秋•仁寿县期末）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积是（　　）

A．126cm2或66cm2B．66cm2

C．120cm2D．126cm2

3．（2020•乐清市一模）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝

，∠A＝30°，作△ABC关于直线l的轴对称图形△EBD，点F是BE的中点，若点A，C，F在同一直线上，则CD的长为　　．

知识点2勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

2.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：

要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

【典例】

1．（2020•浙江自主招生）两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜100），斜边长是b+1的直角三角形的个数为（　　）

A．4个B．5个C．6个D．7个

2．（2020•山西）阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

×年×月×日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：

木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：

如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°．

办法二：

如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°．

我有如下思考：

以上两种办法依据的是什么数学原理呢？

我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

……

任务：

（1）填空：

“办法一”依据的一个数学定理是　勾股定理的逆定理　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；

（3）①尺规作图：

请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

【随堂练习】

1．（2020春•贵港期末）阅读下列内容：

设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：

①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：

若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：

（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　　三角形．

（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．

2．（2019秋•泰安期末）如图所示，已知△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm．分别以三边AB，AC及BC为直径向外作半圆，求阴影部分的面积．

3．（2020春•凉山州期末）如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1cm/s的速度运动，动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．

（1）经过多少秒，△BMN为等边三角形；

（2）经过多少秒，△BMN为直角三角形．

知识点3.勾股定理的应用

1.在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

2.在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

3.常见的类型：

①勾股定理在几何中的应用：

利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：

分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：

运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：

利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

【典例】

1．（2019秋•惠安县期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（　　）cm．

A．9B．10C．18D．20

2．（2020•黄州区校级模拟）如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（　　）

A．2米B．2.2米C．2.5米D．2.7米

【随堂练习】

1．（2020•浙江自主招生）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　　cm．

2．（2019秋•会宁县期末）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是　　cm．

3．（2020•农安县一模）图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为　　cm．

综合运用

1.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB=10，EF=2，那么AH等于_____________.

2.如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边BC=4，AC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是_____．

3.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是BC上一点，且EF=AE+CF，则∠EDF度数为_____________.

4.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c,若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是________.

5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若正方形EFGH的边长为2，求S1+S2+S3的值．

6.已知点P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°，试说明PB+PC=AP．

7.已知：

在

中，

，

，过点

作

于

，

为

边上一点，且

，连结

、

．求证：

．