山东省章丘绣江中学推荐生考试数学模拟试题及答案.docx

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山东省章丘绣江中学推荐生考试数学模拟试题及答案

2014.5章丘市推荐生考试倒计时1

1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；

（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由OB＝2，可知B（2,0）

将A（－2，－4），B（2,0），O（0,0）三点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，得

解得：

∴抛物线的函数表达式为。

（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线，且对称轴是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线于点M，即为所求。

∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB

作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=

∴MO+MA的最小值为。

（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线对称，

由A（－2，－4）,得P（4,－4）,则得梯形OAPB。

②若OA∥BP，设直线OA的表达式为，由A（－2，－4）得，。

设直线BP的表达式为，由B（2,0）得，，即，

∴直线BP的表达式为

由，解得，（不合题意，舍去）

当时，，∴点P（），则得梯形OAPB。

③若AB∥OP，设直线AB的表达式为，则

，解得，∴AB的表达式为。

∴直线OP的表达式为。

由，得，解得，（不合题意，舍去），此时点P不存在。

综上所述，存在两点P（4,－4）或P（）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。

2、如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？

若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

分析

（1）已知抛物线的顶点，可先将抛物线的解析式设为顶点式，再将点C的坐标代入上面的解析式中，即可确定待定系数的值，由此得解．

（2）可先求出A、C、D三点坐标，求出△ACD的三边长后，可判断出该三角形的形状，进而得到该三角形的面积．（也可将△ACD的面积视为梯形与两个小直角三角形的面积差）

（3）由于直线EF与y轴平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，则△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可据此求出点F的横坐标，再代入直线BC的解析式中，即可求出点E的坐标．

解答

解：

（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，代入C（O，3）后，得：

a（0﹣2）2﹣1=3，a=1

∴抛物线的解析式：

y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．

（2）由

（1）知，A（1，0）、B（3，0）；

设直线BC的解析式为：

y=kx+3，代入点B的坐标后，得：

3k+3=0，k=﹣1

∴直线BC：

y=﹣x+3；

由

（1）知：

抛物线的对称轴：

x=2，则D（2，1）；

∴AD2=2，AC2=10，CD2=8

即：

AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；

∴S△ACD=AD•CD=××2=2．

（3）由题意知：

EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：

①∠DFE=90°，即DF∥x轴；

将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：

x2﹣4x+3=1，解得x=2±；[来源:

Zxxk.Com]

当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣；

当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+；

∴E1（2+，1﹣）、E2（2﹣，1+）．

②∠EDF=90°；

易知，直线AD：

y=x﹣1，联立抛物线的解析式有：

x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4；

当x=1时，y=﹣x+3=2；

当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；

∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）；

综上，存在符合条件的点E，且坐标为：

（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．

点评

此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和性质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．

3、如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0），（0,1）．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？

若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

思路点拨

1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．

2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．

3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．

4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．

满分解答

（1）①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为（2b,0），OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．

②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为（2b－2,1），CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时

S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD

＝．

（2）如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．

作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．

设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋（2－m）2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．

图2图3图4

考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．

图5图6图7

4、如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（－1,0）．

（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为（2,0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

思路点拨

1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．

2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．

3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．

4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．

满分解答

（1）b＝，点B的横坐标为－2c．

（2）由，设E．

过点E作EH⊥x轴于H．由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．所以．因此．所以．当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．

整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．所以抛物线的解析式为．

（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．直线BC的解析式为．

设，那么，．

所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．

因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．

当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．

综上所述，0＜S＜5．

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．

考点伸展

点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．

当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．

5、如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0,1）、B（2,0）、O（0,0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？

并写出它的两条性质．

思路点拨

1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍．

2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．

3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．

满分解答

（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为（－1,0）、（0,2）．

因为抛物线与x轴交于A′（－1,0）、B（2,0），设解析式为y＝a（x＋1）（x－2），

代入B′（0,2），得a＝1．

所以该抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－2）＝－x2＋x＋2．

（2）S△A′B′O＝1．

如果S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．

如图2，作PD⊥OB，垂足为D．设点P的坐标为（x，－x2＋x＋2）．

．

．

所以．

解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．

所以点P的坐标为（1，2）．

图2图3图4

（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：

等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．

考点伸展

第

（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．

．

．

所以．

甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：

作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为（1，2）．

而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．

6、如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

思路点拨

1．第

（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b