集 合.docx

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集合

集合

一、基础知识

1．集合的有关概念

（1）集合元素的三个特性：

确定性、无序性、互异性．

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．

（2）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、图示法．

（3）元素与集合的两种关系：

属于，记为

；不属于，记为

.

（4）五个特定的集合及其关系图：

N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．

2．集合间的基本关系

（1）子集：

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）．

（2）真子集：

如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A并B或B交A.

A并B⇔

既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.

（3）集合相等：

如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.

两集合相等：

A＝B⇔

A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（4）空集：

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.

∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．

3．集合间的基本运算

（1）交集：

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

（2）并集：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

（3）补集：

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.

二、常用结论

（1）子集的性质：

A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.

（2）交集的性质：

A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

（3）并集的性质：

A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.

（4）补集的性质：

A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U（∁UA）＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.

（5）含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．

（6）等价关系：

A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.

考点一　集合的基本概念

[典例]　

（1）（优质试题·全国卷Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　　B．2

C．1D．0

（2）已知a，b∈R，若

＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019的值为（　　）

A．1B．0

C．－1D．±1

[解析]　

（1）因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.

（2）由已知得a≠0，则

＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝（－1）2019＋02019＝－1.

[答案]　

（1）B　

（2）C

[提醒]　集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．

[题组训练]

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

选A　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－（－1）＝2∈A；当－2∈B时，1－（－2）＝3∈A；当－3∈B时，1－（－3）＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A.

B.

C．0D．0或

解析：

选D　若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．

当a＝0时，x＝

，符合题意．

当a≠0时，由Δ＝（－3）2－8a＝0，得a＝

，

所以a的值为0或

.

3.（优质试题·厦门模拟）已知P={x|2

解析：

因为P中恰有3个元素，所以P=｛3，4，5｝，故k的取值范围为5

答案：

（5，6］

[典例]　

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．B⊆A　　　　　　　　　B．A＝B

C．A并BD．B并A

（2）（优质试题·湖北八校联考）已知集合A＝{x∈N*|x2－3x<0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（　　）

A．2B．3

C．4D．8

（3）已知集合A＝{x|－1

[解析]　

（1）由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，比较A，B中的元素可知A并B，故选C.

（2）∵A＝{x∈N*|x2－3x<0}＝{x∈N*|0

（3）当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.

当m>0时，因为A＝{x|－1

若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，

所以

所以0

综上所述，m的取值范围为（－∞，1]．

[答案]　

（1）C　

（2）C　（3）（－∞，1]

[变透练清]

1.

若本例

（2）中A不变，C＝{x|0

A．1　　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选D　因为A＝{1,2}，由题意知C＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

2.

若本例（3）中，把条件“B⊆A”变为“A⊆B”，其他条件不变，则m的取值范围为________．

解析：

若A⊆B，由

得m≥3，

∴m的取值范围为[3，＋∞）．

答案：

[3，＋∞）

3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：

①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－

，此时B＝

，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2）．

答案：

[－2,2）

考法

（一）　集合的运算

[典例]　

（1）（优质试题·天津高考）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（　　）

A．{－1,1}　　　　　　　　B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{2,3,4}

（2）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{x|－2≤x<4}

B．{x|x≤2或x≥4}

C．{x|－2≤x≤－1}

D．{x|－1≤x≤2}

[解析]　

（1）∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，

∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．

又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，

∴（A∪B）∩C＝{－1,0,1}．

（2）依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，

因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为（∁RA）∩B＝{x|－1≤x≤2}．

[答案]　

（1）C　

（2）D

考法

（二）　根据集合运算结果求参数

[典例]　

（1）已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－4,3）B．[－3,4]

C．（－3,4）D．（－∞，4]

（2）（优质试题·河南名校联盟联考）已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，则a＝（　　）

A．3B．2

C．2或3D．3或1

[解析]　

（1）集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故选B.

（2）∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A.

[答案]　

（1）B　

（2）A

[题组训练]

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}B．{1,2}

C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}

解析：

选C　因为集合B＝{x|－1

2．（优质试题·重庆六校联考）已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lgx<2}，则（∁RA）∩B＝（　　）

A.

B.

C.

D．∅

解析：

选A　由题意得A＝

，B＝（0,100），则∁RA＝（－∞，－1）∪

，所以（∁RA）∩B＝

.

3．（优质试题·合肥质量检测）已知集合A＝[1，＋∞），B＝

，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B.

C.

D．（1，＋∞）

解析：

选A　因为A∩B≠∅，

所以

解得a≥1.

1．（优质试题·福州质量检测）已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1

A．1　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选B　依题意，集合A是由所有的奇数组成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的个数为2.

2．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A．{2,6}B．{3,6}

C．{1,3,4,5}D．{1,2,4,6}

解析：

选A　因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U（A∪B）＝{2,6}．

3．（优质试题·天津高考）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}

C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}

解析：

选B　∵全集为R，B＝{x|x≥1}，

∴∁RB＝{x|x＜1}．

∵集合A＝{x|0＜x＜2}，

∴A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜1}．

4．（优质试题·南宁毕业班摸底）设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是（　　）

A．M∩N＝MB．M∪（∁RN）＝M

C．N∪（∁RM）＝RD．M∪N＝M

解析：

选D　由题意可得，N＝（0,2），M＝（－∞，4），所以M∪N＝M.

5．设集合A＝

，B＝{x|lnx≤0}，则A∩B为（　　）

A.

B．[－1,0）

C.

D．[－1,1]

解析：

选A　∵

≤2x<

，即2－1≤2x<2

，∴－1≤x<

，∴A＝

.∵lnx≤0，即lnx≤ln1，∴0

.

6．（优质试题·郑州质量测试）设集合A＝{x|1

A．（－∞，2]B．（－∞，1]

C．[1，＋∞）D．[2，＋∞）

解析：

选D　由A∩B＝A，可得A⊆B，又因为A＝{x|1

7．已知全集U＝A∪B中有m个元素，

∪

中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（　　）

A．mnB．m＋n

C．n－mD．m－n

解析：

选D　因为

∪

中有n个元素，如图中阴影部分所示，又U＝A∪B中有m个元素，故A∩B中有m－n个元素．