1、集 合集 合一、基础知识1集合的有关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法(3)元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为.(4)五个特定的集合及其关系图:N*或N表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集2集合间的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A是B的子集,记作AB(或BA)(2)真子集:如果集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的
2、真子集,记作A并B或B交A.A并B既要说明A中任何一个元素都属于B,也要说明B中存在一个元素不属于A.(3)集合相等:如果AB,并且BA,则AB.两集合相等:ABA中任意一个元素都符合B中元素的特性,B中任意一个元素也符合A中元素的特性 (4)空集:不含任何元素的集合空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集记作.,0,0,00,03集合间的基本运算(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作AB,即ABx|xA,且xB(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作AB,即ABx|xA,或xB(3)补集
3、:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作UA,即UAx|xU,且xA求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为UA.二、常用结论 (1)子集的性质:AA,A,ABA,ABB.(2)交集的性质:AAA,A,ABBA.(3)并集的性质:ABBA,ABA,ABB,AAA,AAA.(4)补集的性质:AUAU,AUA,U(UA)A,AA,AA.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n1个真子集,2n1个非空子集(6)等价关系:ABAAB;A
4、BAAB.考点一集合的基本概念典例(1)(优质试题全国卷)已知集合A(x,y)|x2y21,B(x,y)|yx,则AB中元素的个数为()A3 B2C1 D0(2)已知a,bR,若a2,ab,0,则a2 019b2 019的值为()A1 B0C1 D1解析(1)因为A表示圆x2y21上的点的集合,B表示直线yx上的点的集合,直线yx与圆x2y21有两个交点,所以AB中元素的个数为2.(2)由已知得a0,则0,所以b0,于是a21,即a1或a1.又根据集合中元素的互异性可知a1应舍去,因此a1,故a2 019b2 019(1)2 01902 0191.答案(1)B(2)C 提醒集合中元素的互异性常
5、常容易忽略,求解问题时要特别注意题组训练1设集合A0,1,2,3,Bx|xA,1xA,则集合B中元素的个数为()A1 B2C3 D4解析:选A若xB,则xA,故x只可能是0,1,2,3,当0B时,101A;当1B时,1(1)2A;当2B时,1(2)3A;当3B时,1(3)4A,所以B3,故集合B中元素的个数为1.2若集合AxR|ax23x20中只有一个元素,则a等于()A. B. C0 D0或解析:选D若集合A中只有一个元素,则方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根当a0时,x,符合题意当a0时,由(3)28a0,得a,所以a的值为0或.3.(优质试题厦门模拟)已知P=x|2xk,xN
6、,若集合P中恰有3个元素,则k的取值范围为 . 解析:因为P中恰有3个元素,所以P=3,4,5,故k的取值范围为5k6. 答案:(5,6 典例(1)已知集合Ax|x23x20,xR,Bx|0x5,xN,则()ABA BABCA并B DB并A(2)(优质试题湖北八校联考)已知集合AxN*|x23x0,则满足条件BA的集合B的个数为()A2 B3C4 D8(3)已知集合Ax|1x3,Bx|mxm,若BA,则m的取值范围为_解析(1)由x23x20得x1或x2,A1,2由题意知B1,2,3,4,比较A,B中的元素可知A并B,故选C.(2)AxN*|x23x0xN*|0x0时,因为Ax|1x3若BA,
7、在数轴上标出两集合,如图,所以所以0m1.综上所述,m的取值范围为(,1答案(1)C(2)C(3)(,1变透练清1. 若本例(2)中A不变,Cx|0x5,xN,则满足条件ABC的集合B的个数为()A1 B2C3 D4解析:选D因为A1,2,由题意知C1,2,3,4,所以满足条件的B可为1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,42. 若本例(3)中,把条件“BA”变为“AB”,其他条件不变,则m的取值范围为_解析:若AB,由得m3,m的取值范围为3,)答案:3,)3已知集合A1,2,Bx|x2mx10,xR,若BA,则实数m的取值范围为_解析:若B,则m240,解得2m0,Bx|2x2,则如
8、图所示阴影部分所表示的集合为()Ax|2x4 Bx|x2或x4Cx|2x1 Dx|1x2解析(1)A1,2,3,4,B1,0,2,3,AB1,0,1,2,3,4又CxR|1x2,(AB)C1,0,1(2)依题意得Ax|x4,因此RAx|1x4,题中的阴影部分所表示的集合为(RA)Bx|1x2答案(1)C(2)D考法(二)根据集合运算结果求参数典例(1)已知集合Ax|x2x120,Bx|xm若ABx|x4,则实数m的取值范围是()A(4,3) B3,4C(3,4) D(,4(2)(优质试题河南名校联盟联考)已知A1,2,3,4,Ba1,2a,若AB4,则a()A3 B2C2或3 D3或1解析(1
9、)集合Ax|x4,ABx|x4,3m4,故选B.(2)AB4,a14或2a4.若a14,则a3,此时B4,6,符合题意;若2a4,则a2,此时B3,4,不符合题意综上,a3,故选A.答案(1)B(2)A题组训练1已知集合A1,2,3,Bx|(x1)(x2)0,xZ,则AB()A1 B1,2C0,1,2,3 D1,0,1,2,3解析:选C因为集合Bx|1x2,xZ0,1,而A1,2,3,所以AB0,1,2,32(优质试题重庆六校联考)已知集合Ax|2x2x10,Bx|lg x2,则(RA)B()A. B. C. D解析:选A由题意得A,B(0,100),则RA(,1),所以(RA)B.3(优质试
10、题合肥质量检测)已知集合A1,),B,若AB,则实数a的取值范围是()A1,) B. C. D(1,)解析:选A因为AB,所以解得a1.1(优质试题福州质量检测)已知集合Ax|x2k1,kZ,Bx|1x4,则集合AB中元素的个数为()A1 B2C3 D4解析:选B依题意,集合A是由所有的奇数组成的集合,故AB1,3,所以集合AB中元素的个数为2.2设集合U1,2,3,4,5,6,A1,3,5,B3,4,5,则U(AB)()A2,6 B3,6C1,3,4,5 D1,2,4,6解析:选A因为A1,3,5,B3,4,5,所以AB1,3,4,5又U1,2,3,4,5,6,所以U(AB)2,63(优质试
11、题天津高考)设全集为R,集合Ax|0x2,Bx|x1,则A(RB)()Ax|0x1 Bx|0x1Cx|1x2 Dx|0x2解析:选B全集为R,Bx|x1,RBx|x1集合Ax|0x2,A(RB)x|0x14(优质试题南宁毕业班摸底)设集合Mx|x4,集合Nx|x22x0,则下列关系中正确的是()AMNM BM(RN)MCN(RM)R DMNM解析:选D由题意可得,N(0,2),M(,4),所以MNM.5设集合A,Bx|ln x0,则AB为()A. B1,0)C. D1,1解析:选A2x,即212x2,1x,A.ln x0,即ln xln 1,0x1,Bx|0x1,AB.6(优质试题郑州质量测试)设集合Ax|1x2,Bx|xa,若ABA,则a的取值范围是()A(,2 B(,1C1,) D2,)解析:选D由ABA,可得AB,又因为Ax|1x2,Bx|xa,所以a2.7已知全集UAB中有m个元素,中有n个元素若AB非空,则AB的元素个数为()Amn BmnCnm Dmn解析:选D因为中有n个元素,如图中阴影部分所示,又UAB中有m个元素,故AB中有mn个元素
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