湘教版 数学七年级下册教案 因式分解.docx

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湘教版数学七年级下册教案因式分解

第三章因式分解

3、1多项式的因式分解

教学目标

1.使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.

2.通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.

教学重点

1.理解因式分解的意义.

2.识别分解因式与整式乘法的关系.

教学难点

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.

教学目标

一、创设问题情境,引入新课

计算（a+b）（a－b）

a2－b2=（a+b）（a－b）成立吗？

那么如何去推导呢？

这就是我们即将学习的内容：

因式分解的问题.

二、合作交流，解读探究

1.讨论6能被2整除吗？

你是怎样想的？

与同伴交流.

其中有一个因数为2，所以6能被2整除..6还能被哪些正整数整除？

从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.

2．.讨论：

你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？

与同伴交流.

观察x2－x与x2－1这两个代数式.

3.做一做

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;

③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;

③ma+mb+mc=（）（）;④y2－6y+9=（）2.

能分析一下两个题中的形式变换吗？

归纳：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式

4.想一想

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？

由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？

你还能举一些类似的例子加以说明吗？

如：

（1）m（a+b+c）=ma+mb+mc

（2）ma+mb+mc=m（a+b+c）

联系：

等式

（1）和

（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.

区别：

等式

（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.

等式

（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.

所以，因式分解与整式乘法是互逆方向的变形.

5.例题：

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;

（3）a2－4=（a+2）（a－2）;

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.

例解方程：

x2-1=0

解把方程左端的多项式因式分解，得

（x-1）（x+1）=0

从而得

x+1=0或x-1=0,

即x=-1或x=1.

因此方程的解是x=-1或x=1.

三、课堂练习连一连

解：

四.课时小结

本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是互逆方向的变形.

五、课后作业P57习题3.1A组B组

3.2提公因式法

（一）

教学目标

会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式的因式。

重点：

用提公因式法分解因式。

难点：

确定多项式中的公因式。

教学过程

一创设情境，导入新课

1如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？

这个问题实际上就是求（am+bm+cm）÷（a+b+c）=______

为了解决这个问题请你先思考：

2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？

提问：

把ma+mb+mc写成m（a+b+c）叫什么运算？

怎样分解因式？

这节课我们来学习第一个方法-------提公因式法

二合作交流，探究新知

1公因式的概念

你能指出下面多项式中各项的公因式吗？

2提公因式法

把ma+mb+mc分解成：

ma+mb+mc=m（a+b+c）,用到什么依据？

这种因式分解有什么特点？

用到了乘法分配律，特点：

把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。

3应用举例

例1把

因式分解

强调：

（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定？

（2）某一项全部提出后，还有因数“1”

例2把

因式分解。

强调：

（1）首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数。

（2）首项为负时，最好提出负号。

例3把

因式分解

强调：

公因式确定的方法：

（1）系数：

取各系数的最大公约数。

如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；如：

求48、36的最大功因数48=

，36=

，那么

就是他们的最大公约数

（2）对于字母，取各项都有的，指数最低的。

如：

与

，取

做为公因式的字母因式

（3）公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。

考考你：

1.a²x+ay-a³xy在分解因式时,应提取的公因式（）

A.a²B.aC.axD.ay

2.下列分解因式正确的为（）

（1）5y³+20y²=5y（y²+4y）

（2）a²b-2ab²+ab=ab（a-2b）

（3）–a²+3ab-2ac=-a（a+3b-2c）

（4）-2x²-12xy²+8xy³=-2x（x+6y²-4y³）

三应用迁移，巩固提高

1提公因式法在计算方面的应用

例4如图，a=4.6cm,b=1.3cm,求阴影部分的面积。

2提公因式法在证明中的应用

例5

必能被45整除吗？

试说明理由。

四课堂练习，巩固提高

P60练习1,2,3

四反思小结，拓展提高。

这节课我们学习了因式分解的什么方法？

应注意什么？

作业

基础训练P26

3．2用提公因式分解因式

（二）

教学目标

1使学生进一步掌握公因式为多项式的因式分解；

2渗透类比、转化的思想。

重点、难点：

重点：

公因式为多项式的因式分解

难点：

公因式不明显而需要转化才能找到时的因式分解。

教学过程

一创设情境，导入新课

1复习检查

（1）-8abc-

的公因式是_______,

（2）分解因式：

①am+bm②15

强调：

如果多项式中各项有公因式，一定要提出公因式。

找公因式是关键，如果把多项式am+bm中的m换成：

（x-2）得到a（x-2）+b（x-2又怎样分解因式呢？

板书课题：

用提公因式法分解因式

（2）

二合作交流，探究新知

1公因式为多项式的因式分解

（1）a（x-2）+b（x-2）中的公因式是什么？

怎样分解因式

（2（2b-3）（x-2）+b（x-2）公因式是什么？

怎样分解因式？

（3）

得到

，公因式是什么？

怎样分解因式？

（4）

公因式是什么？

怎样分解因式？

总结：

从上面问题我们看到公因式有的是单项式，有的是多项式，我们要练就“火眼金睛”发现多项式的公因式。

2公因式不明显的因式分解

（1）你知道下面多项式有什么关系吗？

有式子怎样表达它们的关系？

①a+b与b+a②a-b与b-a③

与

（2）下面多项式有公因式吗？

如果有怎样分解因式呢？

①a（x-2）+b（2-x）②a

+b

三应用迁移，巩固提高

1多项式为公因式的因式分解

例、把-12

分解因式。

例、把

分解因式

2多项式因式分解的应用

例、已知x,y都是正的整数，且x（x-y）-y（y-x）=12,求x和y

例、解方程：

2x（3x-1）+（2x-2）（1-3x）=28

四课堂练习，巩固提高

P62练习

五反思小结，拓展提高

这节课你有什么收获？

师：

强调：

不明显的公因式要注意变形成为多项式。

六作业

P62习题3.2

3.3公式法

（一）

教学目标

1使学生掌握用平方差公式分解因式；

2理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区别。

重点、难点

重点：

用平方差公式分解因式。

难点：

当公式中的字母取多项式时的因式分解。

教学过程

一创设情境，导入新课

1复习检查：

（1）分解因式：

（1）5x

（2）（a+b）（a-b）=___________,这是什么运算?

（3）怎样分解因式：

？

=（a+b）（a-b），是用平方差公式分解的，我们把它公式法。

这节课我们来学习用公式法分解因式。

板书课题

二合作交流，探究新知。

1用平方差分解因式

怎样把

，

，

，

分解因式？

2模仿练习：

请你把公式

=（a+b）（a-b）中的字母a、b任意改为数、字母、单项式或者多项式，然后把这些多项式分解因式。

3平方差公式的识别

下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？

（1）

，

（2）

，（3）

师：

一个多项式是否适合用平方差公式分解因式，怎样辨别呢？

三应用迁移，巩固提高

1用平方差公式分解因式

例、分解因式。

（1）

，

（2）9

（3）

2综合运用平方差公式和提公因式法分解因式。

例、把

分解因式。

3有理数范围和实数范围内分解因式。

交流：

怎样把

分解因式？

估计学生会有两种想法：

一是：

=

，

二是：

=

这两种解法有什么区别？

4应用迁移，巩固提高

例、某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5m,内圆半径r=24.5m,求需要的塑胶总面积。

（π取3.14，结果精确到0.1）

四课堂练习，巩固提高

P64练习题

五反思小结，拓展提高

用平方差公式分解因式，关键是会识别一个多项式是否适合用公式，如果适合什么式子相同于公式中的字母a,什么式子相当于公式中的字母b。

六作业

基础训练P28

3.3公式法

（二）

教学目标

1使学生掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式；

2培养学生的逆向思维能力。

重点、难点

重点：

会用完全平方公式分解因式

难点：

识别一个多项式是否适合完全平方公式。

教学过程

一创设情境，导入新课

1检查学习效果

分解因式

（1）

；

（2）4

2

=_________,

=__________这叫什么运算？

怎样多项式：

、

分解因式？

这节课我们来学习公式法

（2）

二合作交流，探究新知

1理解平方差公式的结构，并会用平方差公式分解因式

（1）我们把式子

中的字母a改为x,b改为2，得到的多项式是什么？

怎样把

分解因式？

+4x改为-4x又怎样分解因式呢？

（2）我们把式子

中的字母把a改为x，b改为

，得到的多项式是什么？

怎样把

分解因式呢？

-3x改为+3x呢？

（3）怎样把

，

，

分解因式？

通过上面的讨论，我们看到公式中的字母可以代替一个数、一个字母、甚至一个单项式或一个多项式，关键是要知道多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什么相当于字母a，什么相当于字母b.

2公式的识别

（1）下面多项式是否适合完全平方式分解因式？

（1）

，

（2）

+2m-1

（2）填空：

①

②

三应用迁移，巩固提高

1用完全平方公式分解因式

例、把下面多项式分解因式

（1）

（2）

，（3）

（4）

2提公因式法和公式法的综合运用

例、把多项式

分解因式

3分解因式的应用

例、若一个三角形的三条边a、b、c满足

试判断这个三角形的形状

四课堂练习，巩固提高

P66练习，1，2

五反思小结，拓展提高

1完全平方公式有什么特点？

2用完全平方公式分解因式关键是先识别一个多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什么相当于a,什么相当于b.

六作业

P66习题3.3

因式分解复习教案

教学目标:

   1.知识与技能:

掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.

   2.过程与方法:

经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.

   3.情感态度与价值观:

通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.

   教学重、难点:

用提公因式法和公式法分解因式.

   教具准备:

课件（小黑板）

   教学方法:

活动探究法

   教学过程:

   引入:

在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?

   知识详解

   知识点1 因式分解的定义      

（2）因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.

   怎样把一个多项式分解因式?

   知识点2 提公因式法

   把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式（a+b+c）像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

   探究交流

   下列变形是否是因式分解?

为什么?

（1）3x2y-xy+y=y（3x2-x）;     

（2）2x-2x+3=（x-1）2+2;

       例、用提公因式法将下列各式因式分解.

（1）-xz+xy;

（2）3x（a-b）+2y（b-a）;

     小结 运 用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:

（1）因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.

（2）如果出现像

（2）小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。

这时注意到（a-b）n=（b-a）n（n为偶数）.

   （3）因式分解最后如果有同底数幂,要写成幂的形式.

   学生做一做 把下列各式分解因式.

（1） （2a+b）（2a-3b）+（2a+5b）（2a+b）;

（2）4p（1-q）3+2（q-1）2

   知识点3 公式法

（1）平方差公式

（2）完全平方公式  

 探究交流

   下列变形是否正确?

为什么?

（1）x2-3y2=（x+3y）（x-3y）;

（2）4x2-6xy+9y2=（2x-3y）2;

   例、把下列各式分解因式.

（1）（a+b）2-4a2;

（2）1-10x+25x2;

   分析:

本题旨在考查用完全平方公式分解因式.

   学生做一做 把下列各式分解因式.

（1）（x2+4）2-2（x2+4）+1;    

（2）（x+y）2-4（x+y-1）.

      例、分解因式.

（1）x3-2x2+x;  

（2） x2（x-y）+y2（y-x）; 

   小结：

 解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式.是三项式考虑用完全平方式,最后,直到每一个因式都不能再分解为止.

   探索与创新题

   例、若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k=      .

   分析:

完全平方式是形如:

a2±2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（或差）.

   学生做一做 若x2+（k+3）x+9是完全平方式,则k=     .

   课堂小结

   用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.

   各项有"公"先提"公",首项有负常提负,某项提出莫漏"1",括号里面分到"底"。

   自我评价 知识巩固

      1.若（2x）n-81=（4x2+9）（2x+3）（2x-3）,则n的值是（   ）

   A.2    B.4    C.6    D.8

   2.分解因式:

4x2-9y2=     .

  3.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式

   思考题 分解因式（x4+x2-4）（x4+x2+3）+10.