届人教A版 垂直的判定与性质检测卷.docx

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届人教A版垂直的判定与性质检测卷

A卷

1.如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证：

（1）AE⊥平面PBC；

（2）平面PAC⊥平面PBC；

（3）PB⊥EF.

2．（2016·北京海淀区模拟）如图所示，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.

（1）求证：

BC⊥AF；

（2）试判断直线AF与平面EBC是否垂直？

若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

3.（2016·南京、盐城第一次联考）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．

求证：

（1）OE∥平面BCC1B1；

（2）平面B1DC⊥平面B1DE.

4．（2016·太原一模）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．

（1）证明：

AB⊥平面AA1C1C；

（2）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；

（3）证明：

EF⊥A1C.

答案精析

1．证明　

（1）因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.

因为PA垂直于圆O所在平面，

即PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，

所以BC⊥PA.

又因为AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.

又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，

PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以AE⊥平面PBC.

（2）由

（1）知AE⊥平面PBC，

且AE⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面PBC.

（3）因为AE⊥平面PBC，

且PB⊂平面PBC，

所以AE⊥PB.

又AF⊥PB于F，

且AF∩AE＝A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，

所以PB⊥平面AEF.

又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.

2．

（1）证明　因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF，

因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.

由已知得AB⊥BC，且EA∩AB＝A，

又因为EA⊂平面EABF，

AB⊂平面EABF，

所以BC⊥平面EABF.

又AF⊂平面EABF，所以BC⊥AF.

（2）解　直线AF垂直于平面EBC.

证明如下：

由

（1）可知，AF⊥BC.

在四边形ABFE中，AB＝4，AE＝2，EF＝1，∠BAE＝∠AEF＝90°，

所以tan∠EBA＝

＝tan∠FAE，

又因为0°<∠EBA∠90°，0°<∠FAE<90°，

所以∠EBA＝∠FAE.

设AF∩BE＝P，

因为∠PAE＋∠PAB＝90°，

故∠PBA＋∠PAB＝90°，

则∠APB＝90°，即EB⊥AF.

又EB∩BC＝B，EB⊂平面EBC，

BC⊂平面EBC，所以AF⊥平面EBC.

3．证明　

（1）如图，连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF.因为O，F分别是B1D与B1C的中点，

所以OF∥DC，且OF＝

DC.

又E为AB的中点，

所以EB∥DC，且EB＝

DC，

从而OF∥EB，

OF＝EB，

即四边形OEBF是平行四边形，

所以OE∥BF.

又OE⊄平面BCC1B1，

BF⊂平面BCC1B1，

所以OE∥平面BCC1B1.

（2）因为DC⊥平面BCC1B1，

BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥DC.

又BC1⊥B1C，DC∩B1C＝C，DC⊂平面B1DC，BC1⊂平面B1DC，

所以BC1⊥平面B1DC.

而BC1∥OE，

所以OE⊥平面B1DC，

又OE⊂平面B1DE，

所以平面B1DC⊥平面B1DE.

4．

（1）证明　∵A1A⊥底面ABC，

AB⊂底面ABC，∴A1A⊥AB，

又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，

A1A⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

∴AB⊥平面AA1C1C.

（2）解　∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，

∴AB∥DE，

∵在△ABC中，E是BC的中点，

∴D是AC的中点．

（3）证明　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，

∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，

由

（1）可得AB⊥A1C，

∵AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，

∴A1C⊥平面ABC1，

又∵BC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥BC1.

又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，

∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.

B卷

1.（2016·天津模拟）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点．

求证：

（1）EF∥平面C1BD；

（2）A1C⊥平面C1BD.

2.如图所示，在四面体ABCD中，平面BAD⊥平面CAD，∠BAD＝90°，M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点．

（1）求证：

CD∥平面MNQ；

（2）求证：

平面MNQ⊥平面CAD.

3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

AD，E、F分别为PC、BD的中点．

（1）求证：

EF∥侧面PAD；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PDC.

4．（2016·北京海淀区下学期期中）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.

（1）求证：

BE1⊥DC；

（2）求证：

DM∥平面BCE1；

（3）判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．

答案精析

1．证明　

（1）如图，连接AD1，

∵E，F分别是AD和DD1的中点，

∴EF∥AD1.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，

即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.

又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，

∴EF∥平面C1BD.

（2）如图，连接AC，则AC⊥BD.

∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴AA1⊥BD.

又AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C，AC⊂平面AA1C，

∴BD⊥平面AA1C，A1C⊂平面AA1C，

∴A1C⊥BD.

同理可证A1C⊥BC1.

又BD∩BC1＝B，BD⊂平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，

∴A1C⊥平面C1BD.

2．证明　

（1）因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD.

又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故CD∥平面MNQ.

（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以MN∥AB.又∠BAD＝90°，所以MN⊥AD.

因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD∩平面CAD＝AD，且MN⊂平面ABD，所以MN⊥平面CAD.又MN⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面CAD.

3．证明　

（1）如图，连接AC，则AC∩BD＝F，因为四边形ABCD为正方形，所以F为AC的中点，又E为PC的中点，

所以在△CPA中，EF∥PA.

又PA⊂侧面PAD，EF⊄侧面PAD，

所以EF∥侧面PAD.

（2）因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD，

因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂底面ABCD，

所以CD⊥侧面PAD.

又PA⊂侧面PAD，所以CD⊥PA.

又PA＝PD＝

AD，

所以△PAD是等腰直角三角形，

且∠APD＝

，即PA⊥PD.

因为CD∩PD＝D，且CD⊂侧面PDC，PD⊂侧面PDC，

所以PA⊥侧面PDC.

又PA⊂侧面PAB，

所以侧面PAB⊥侧面PDC.

即平面PAB⊥平面PDC.

4．

（1）证明　因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1⊥AB.

因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，

且平面ABCD∩平面ABE1F1＝AB，

BE1⊂平面ABE1F1，

所以BE1⊥平面ABCD.

因为DC⊂平面ABCD，所以BE1⊥DC.

（2）证明　因为四边形ABE1F1为矩形，

所以AM∥BE1.

因为AD∥BC，AD∩AM＝A，

BC∩BE1＝B，

AD⊂平面ADM，AM⊂平面ADM，BC⊂平面BCE1，BE1⊂平面BCE1，

所以平面ADM∥平面BCE1.

因为DM⊂平面ADM，所以DM∥平面BCE1.

（3）解　直线CD与ME1相交，理由如下：

取BC的中点P，CE1的中点Q，连接AP，PQ，QM，

所以PQ∥BE1，且PQ＝

BE1.

在矩形ABE1F1中，M为AF1的中点，

所以AM∥BE1，且AM＝

BE1，

所以PQ∥AM，且PQ＝AM.

所以四边形APQM为平行四边形，

所以MQ∥AP，MQ＝AP.

因为四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，BC＝2AD，

所以AD∥PC，AD＝PC，

所以四边形ADCP为平行四边形．

所以CD∥AP且CD＝AP.

所以CD∥MQ且CD＝MQ.

所以四边形CDMQ是平行四边形．

所以DM∥CQ，即DM∥CE1.

因为DM≠CE1，

所以四边形DME1C是以DM，CE1为底边的梯形，

所以直线CD与ME1相交．