1、届人教A版 垂直的判定与性质 检测卷A卷1.如图所示,已知PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,点C是圆O上任意一点,过A作AEPC于E,AFPB于F,求证:(1)AE平面PBC;(2)平面PAC平面PBC;(3)PBEF.2(2016北京海淀区模拟)如图所示,四边形ABCD为正方形,EA平面ABCD,EFAB,AB4,AE2,EF1.(1)求证:BCAF;(2)试判断直线AF与平面EBC是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由3.(2016南京、盐城第一次联考)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O,E分别为B1D,AB的中点求证:(1)OE平面BCC1B1;(2)平面
2、B1DC平面B1DE.4(2016太原一模)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABAC,ACAA1,E,F分别是棱BC,CC1的中点(1)证明:AB平面AA1C1C;(2)若线段AC上的点D满足平面DEF平面ABC1,试确定点D的位置,并说明理由;(3)证明:EFA1C.答案精析1证明(1)因为AB是圆O的直径,所以ACB90,即ACBC.因为PA垂直于圆O所在平面,即PA平面ABC,而BC平面ABC,所以BCPA.又因为ACPAA,AC平面PAC,PA平面PAC,所以BC平面PAC.因为AE平面PAC,所以BCAE.又已知AEPC,PCBCC,PC平面PBC,BC平面PB
3、C,所以AE平面PBC.(2)由(1)知AE平面PBC,且AE平面PAC,所以平面PAC平面PBC.(3)因为AE平面PBC,且PB平面PBC,所以AEPB.又AFPB于F,且AFAEA,AF平面AEF,AE平面AEF,所以PB平面AEF.又因为EF平面AEF,所以PBEF.2(1)证明因为EFAB,所以EF与AB确定平面EABF,因为EA平面ABCD,所以EABC.由已知得ABBC,且EAABA,又因为EA平面EABF,AB平面EABF,所以BC平面EABF.又AF平面EABF,所以BCAF.(2)解直线AF垂直于平面EBC.证明如下:由(1)可知,AFBC.在四边形ABFE中,AB4,AE
4、2,EF1,BAEAEF90,所以tanEBAtanFAE,又因为0EBA90,0FAE90,所以EBAFAE.设AFBEP,因为PAEPAB90,故PBAPAB90,则APB90,即EBAF.又EBBCB,EB平面EBC,BC平面EBC,所以AF平面EBC.3证明(1)如图,连接BC1,设BC1B1CF,连接OF.因为O,F分别是B1D与B1C的中点,所以OFDC,且OFDC.又E为AB的中点,所以EBDC,且EBDC,从而OFEB,OFEB,即四边形OEBF是平行四边形,所以OEBF.又OE平面BCC1B1,BF平面BCC1B1,所以OE平面BCC1B1.(2)因为DC平面BCC1B1,B
5、C1平面BCC1B1,所以BC1DC.又BC1B1C,DCB1CC,DC平面B1DC,BC1平面B1DC,所以BC1平面B1DC.而BC1OE,所以OE平面B1DC,又OE平面B1DE,所以平面B1DC平面B1DE.4(1)证明A1A底面ABC,AB底面ABC,A1AAB,又ABAC,A1AACA,A1A平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,AB平面AA1C1C.(2)解平面DEF平面ABC1,平面ABC平面DEFDE,平面ABC平面ABC1AB,ABDE,在ABC中,E是BC的中点,D是AC的中点(3)证明在三棱柱ABCA1B1C1中,A1AAC,侧面A1ACC1是菱形,A1CAC1,由(
6、1)可得ABA1C,ABAC1A,AB平面ABC1,AC1平面ABC1,A1C平面ABC1,又BC1平面ABC1,A1CBC1.又E,F分别为棱BC,CC1的中点,EFBC1,EFA1C.B卷1.(2016天津模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,DD1的中点求证:(1)EF平面C1BD;(2)A1C平面C1BD.2.如图所示,在四面体ABCD中,平面BAD平面CAD,BAD90,M,N,Q分别为棱AD,BD,AC的中点(1)求证:CD平面MNQ;(2)求证:平面MNQ平面CAD.3.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD底面ABCD
7、,且PAPDAD,E、F分别为PC、BD的中点(1)求证:EF侧面PAD;(2)求证:平面PAB平面PDC.4(2016北京海淀区下学期期中)如图1,在梯形ABCD中,ADBC,ADDC,BC2AD,四边形ABEF是矩形,将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1平面ABCD,M为AF1的中点,如图2.(1)求证:BE1DC;(2)求证:DM平面BCE1;(3)判断直线CD与ME1的位置关系,并说明理由答案精析1证明(1)如图,连接AD1,E,F分别是AD和DD1的中点,EFAD1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,ABD1C1,ABD1C1,四边形ABC1D1为
8、平行四边形,即有AD1BC1,EFBC1.又EF平面C1BD,BC1平面C1BD,EF平面C1BD.(2)如图,连接AC,则ACBD.在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA1平面ABCD,BD平面ABCD,AA1BD.又AA1ACA,AA1平面AA1C,AC平面AA1C,BD平面AA1C,A1C平面AA1C,A1CBD.同理可证A1CBC1.又BDBC1B,BD平面C1BD,BC1平面C1BD,A1C平面C1BD.2证明(1)因为M,Q分别为棱AD,AC的中点,所以MQCD.又CD平面MNQ,MQ平面MNQ,故CD平面MNQ.(2)因为M,N分别为棱AD,BD的中点,所以MNAB.又BAD9
9、0,所以MNAD.因为平面BAD平面CAD,平面BAD平面CADAD,且MN平面ABD,所以MN平面CAD.又MN平面MNQ,所以平面MNQ平面CAD.3证明(1)如图,连接AC,则ACBDF,因为四边形ABCD为正方形,所以F为AC的中点,又E为PC的中点,所以在CPA中,EFPA.又PA侧面PAD,EF侧面PAD,所以EF侧面PAD.(2)因为四边形ABCD为正方形,所以CDAD,因为侧面PAD底面ABCD,侧面PAD底面ABCDAD,CD底面ABCD,所以CD侧面PAD.又PA侧面PAD,所以CDPA.又PAPDAD,所以PAD是等腰直角三角形,且APD,即PAPD.因为CDPDD,且C
10、D侧面PDC,PD侧面PDC,所以PA侧面PDC.又PA侧面PAB,所以侧面PAB侧面PDC.即平面PAB平面PDC.4(1)证明因为四边形ABE1F1为矩形,所以BE1AB.因为平面ABCD平面ABE1F1,且平面ABCD平面ABE1F1AB,BE1平面ABE1F1,所以BE1平面ABCD.因为DC平面ABCD,所以BE1DC.(2)证明因为四边形ABE1F1为矩形,所以AMBE1.因为ADBC,ADAMA,BCBE1B,AD平面ADM,AM平面ADM,BC平面BCE1,BE1平面BCE1,所以平面ADM平面BCE1.因为DM平面ADM,所以DM平面BCE1.(3)解直线CD与ME1相交,理由如下:取BC的中点P,CE1的中点Q,连接AP,PQ,QM,所以PQBE1,且PQBE1.在矩形ABE1F1中,M为AF1的中点,所以AMBE1,且AMBE1,所以PQAM,且PQAM.所以四边形APQM为平行四边形,所以MQAP,MQAP.因为四边形ABCD为梯形,P为BC的中点,BC2AD,所以ADPC,ADPC,所以四边形ADCP为平行四边形所以CDAP且CDAP.所以CDMQ且CDMQ.所以四边形CDMQ是平行四边形所以DMCQ,即DMCE1.因为DMCE1,所以四边形DME1C是以DM,CE1为底边的梯形,所以直线CD与ME1相交
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