历年高考题函数的奇偶性习题老师专用docx.docx

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历年高考题函数的奇偶性习题

一、选择题

1.（文）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=x+x\x^R）

B.y=3gR）

C.y=—log2%（x>0,MR）

D.y=—丄（xGR,xHO）

［答案］A

［解析］首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C,若x=O在定义域内，则应有AO）=O,排除B;又函数在定义域内单调递增，排除D,故选A.

（理）下列函数中既是奇函数，又在区间［—1,1］上单调递减的是（）

A.

/（jc）=sinxB.心）=—氐+1|

Di

［答案］D

［解析］y=siru与厂山|7总为奇函数，而y=^（ax+a~x）为偶函数，y=-|x+l|是非奇非偶函数.y=sinx在［-1,1］上为增函数.故选D.

2.（2010•安徽理，4）若夬兀）是R上周期为5的奇函数,且满足几1）=1,/

（2）=2,则几3）一/（4）=（）

A.-1B.1

D.2

［答案］A

［解«T］A3）-A4）=A-2）-A-i）=-A2）+AD=-2+1=-1,故选A.

3.（2010•河北唐山）已知.心）与g⑴分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f（x）+^（x）=log2（x2+x+2），则斤1）等于（）

A.B.*

C.1

••7W为奇函数，g⑴为偶函数.

4.（文）（2010-北京崇文区）已知/⑴是定义在R上的偶函数，并满足/（x+2）=-—,

时，,/（x）=x-2,则/（6.5）=（）

A.4.5B.-4.5

C.0.5D.—0.5

［答案］D

［解析］••7U+2）=-计j,•••/U+4）=/［（•¥+2）+2］=_爪［2）=/W，•••/U）周期为4,

•••夬6.5）=/（6.5-8）=X-1.5）=Al-5）=1.5-2=-0.5.

（理）（2010山东H照）己知函数./«是定义域为R的偶函数，且f（x+2）=f（x）,若兀o在［一

1,0］上是减函数,则沧）在［2,3］上是（）

A.增函数B.减函数

C.先增后减的函数D.先减后增的两数

［答案］A

［解析］由金+2）=几丫）得出周期7=2,

•・7U）在［-1,0］上为减函数,

-10123x

A.是偶函数

B.是奇函数

C.既是奇两数乂是他两数

D.既不是奇函数乂不是偶函数

•••|10誌3|>|10创7|>|0.2鋼.

又“）在（-8,0］上是增函数，且/⑴为偶函数,.•J（x）在［0,+8）上是减函数.

b

1+/⑴i-M

8.

已知函数/（兀）满足:

/

（1）=2,/（兀+1）=

则/（2011）等于（

）

［答案］B

、〔4—x*

［解析］/W=^2|-2-•••/W4,•••—2WxW2,又TxHO,••」€［-2,0）U（0,2］.则/w=Wt•，

沧）+人-力=0,故选B.

7.已知/⑴是定义在（一8,+8）上的偶函数，且在（—8,0］上是增函数，设Q=/（log47）,b=f（log^3）fc=/t0.2°e）,则a、b、c的大小关系是（）

［答案］c

［解析］由题意知fix）=AW）«

■/log47=logzV^'l,|log*3|=log23>log2V7,0<0.2°,6

5+4）=/［（x+2）+2］=./«.即•心）周期为4.

故刚+对恢），（x€N*,HN）,

9.设用）=1/］±十»是奇函数，则使金）<0的x的取值范围是（）

A.（-1,0）B.（0,1）

C.（一I0）D.（一I0）U（l,+8）

［答案］A

［解析］••7U）为奇函数，二几。

）=0,•••a=-1.

X+1.F

•••yWhigyr?

由/W

%+1

0<~<1,-l

1一/

10.（文）（09•全国II）两数）=log2|^|的图象（）

A.关于原点对称

B.关于直线），=一兀对称

C.关于y轴对称

D.关于直线对称

［答案］A

2—x2—尢2—x

［解析］首先由乔〒>0得，-2<*2，其次令f（x）='则/⑴+/（一对二嗨?

不「+

iog2|7r^=iog2i=o.故yo）为奇函数，其图象关于原点对称，故选a.

［答案］C

［解析］丁厂盘是偶函数，排除A,

2

当x=2时，$=晶3>2,排除D,

7U

当X=£时，y=-^-=?

>h排除B,故选C.

0•■兀3

S11T7

6

二、填空题

f-¥）=sin（-¥）=sin彳詁，二原式=_2.

（理）设用）是定义在R上的奇函数，y=/W的图象关于直线对称，则AD+A2）

+>（3）+X4）+A5）=•

［答案］0

［解析］•）的图象关于直线兀詁对称，

+对任意x€R都成立,

•\ZW=/U-x），又/U）为奇函数，

•\/W=F-小-A1+力

=/（-1-兀）=/（2+对，

周期"2.--AO）=f

（2）=X4）=0

又川）与7（0）关于X詁对称

•••Al）=0••談3）=/（5）=0填0.

12.（2010深圳中学）已知函数）=尢）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域都是［—

［解析］依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全鹿0、g（x）的图象，

或,观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个5⑴<0

在X轴下方的，即满足要求，・•・-或,ZL

13.（文）若沧）是定义在R上的偶函数，英图象关于直线兀=2对称，且当兀丘（一2,2）时,

心）=-x2+1.则X-5）=.

［答案］0

［解析］由题意知几-5）=/（5）=/（2+3）打（2-3）=/（—1）=-（-1）山1=0.

（理）已知函数/⑴是定义域为R的奇函数,当—lWxWl时,J（x）=a,当4时，fix）=（x+b）2，则>（-3）+A5）=•

［答案］12

［解析］••7U）是R上的奇函数，./opo,

*•*-1WxW1时，/（%）=°，a=0.

「•/（I）=（1+方）2=0,/./?

=-1.

当xW-1时，—兀21,^-x）=（-x-l）2=（x+l）2,

为奇函数，•••/（>）=~（x+1）2,

-（x+l）2xW-1

心）"0-1WxW1

.（X-I）2x21

•F-3）+./（5）=-（-3+1）2+（5-1）2=12.

［点评］求得-1后，可直接由奇函数的性质得./（-3）+/（5）=-/（3）+人5）=-（3-1）2+（5-1）2=12.

（2x、

14.（文）（2010・山东枣庄模拟）若.心）=lg（H+q（aWR）是奇函数，贝九=•

［答案］T

［解析］••丁⑴=临（卡说+J是奇函数，

•*•/（-x）+fix）=0恒成立’

即lQ+»+lg産+J

（2xV2x（a+4a+3）x2-（a2-1）=0,

I上式对定义内的任意兀都成立,

［点评］①可以先将真数通分，再利用A-^）=-A^）恒成立求解，运算过程稍简单些.

②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单.您）=1$：

?

宀为奇函

1X

数，显然-1不在/U）的定义域内，故兀=1也不在/（x）的定义域内，令x=-y7?

=h得«=-1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力.

（理）（2oio・吉林长春质检）已知函数.心）=览（一1十守2为奇函数，则使不等式金）＜一1成立的X的取值范围是.

［答案］普＜*2

•・匕工0,.•.4—^=0,・"=4,

x一4

2—x

由^x）<-1得，1还讥<-1，

一2

2_x1,2-xZPf

V2或冲,

°亍子帀由丙>0侍

.-.77

三、解答题

15.（2010•杭州外国语学校）已知.心）=/+加+。

为偶函数，曲线y=./W过点（2,5）,g⑴=（x+dg）.

⑴若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；

（2）若当x=~l时函数y=g（对取得极值，且方程g（x）+b=0有三个不同的实数解，求实数方的取值范围.

［解析］

（1）由/（兀）为偶函数知b=0,又人2）=5,得c=1,=x2+1.

「•g⑴=（x+a）£+］）=/+启+兀+a,

因为曲线），=g⑴有斜率为0的切线，所以Q（x）=3x2+2ax+1=0有实数解.

A=4a2-12^0>解得a^y［3或aW-羽.

（2）由题意得g'（-1）=0,得a=2.

.•.g（x）"+2,+x+2,g‘（x）=3x2+4x+1=（3兀+l）（x+1）.

令g'（x）=0,得X|=-1,x2=

•••当xC（-oo,一1）时，⑴>0,当兀€（-1,一*）时，（x）<0,当xC（-|,+8）时，g，（x）>0,

•••g（x）在兀二-1处取得极大值，在兀二-*处取得极小值.

又Tg（-1）=2,£（一扣券且方程g（x）+Z?

=0即g（x）=-方有三个不同的实数解，•••劈

<-b<2,

解得-2

16.（2010-揭阳模拟）设/U）是定义在R上的奇函数，且对任意实数兀，恒有几丫+2）=—Ax）.当%e［0,2］时，f（x）=2x~x.

（1）求证：

/（兀）是周期函数；

（2）当XE［2,4］时，求7U）的解析式；

（3）计算用）+/

（1）+人2）+…+几2011）.

［分析］由金+2）=-/U）可得/U+4）与/U）关系，由张）为奇函数及在（0,2］上解析式可求金）在［-2,0］上的解析式，进而可得用）在［2,4］上的解析式.

［解析］

（1）・・用+2）=-用）,

5+4）=-/（兀+2）=心）.

••J⑴是周期为4的周期函数.

（2）当x€［-2,0］时，-兀€［0,2］,由已知得

X_-V）=2（-x）-（-jc）2=-2x-X2,又金）是奇函数,-'-X~x）==-2x-x2,

・g）"+2x.

又当兀€[2,4]时，—4£[-2,0],

.•・/（兀-4）=（x-4）2+2（x-4）=x2-6x+8.又/（x）是周期为4的周期函数，

5）=唇4）

=x2-6x+8.

从而求得x€[2,4]时，f{x）=x2-6x+8.

（3X0）=0,,/

（2）=0,Al）=hA3）=-1・

又./U）是周期为4的周期函数，

•••AO）+/U）+7

（2）+用）=7（4）+人5）+/（6）T⑺…=7（2008）+7（2009）+7（2010）+7（2011）

=0.

.泌0）+川）+/

（2）+…+几2011）=0.

—4

17.（文）已知函数心）=1一肓右（QOrLdHl）是定义在（一8,+8）上的奇函数.

⑴求a的值；

（2）求函数/（对的值域；

（3）当xe（0,l］时，金）$2'—2恒成立，求实数f的取值范围.

［解析］

（1）・・7W是定义在（一8,+8）上的奇函数,即/（_兀）=_沧）恒成立，./O"

4

即1_2Xao+a=0,

2'_1

2"+1

•••2X=

解得a=2.

|+y由2v>0知—>0,

1一y

•••-IVyVl,即沧）的值域为（-1,1）.

⑶不等式金）22"-2即为芥$2”-2.

即:

（2A）2-（r+1）公+t-2W0.设2X=w,

•・d€（0,l],・"€（1,2].

u€（1,2]时m2-（/+l）-w+/-2W0恒成立.

I2

22

-（r+1）X1+r-2W0

x>0

x<0

-（/+QX2+/-2W0

（理）设函数fix）=ax2+bx+c（a.b、c为实数，ILaHO）,F（x）=

（1）若/（—1）=0,曲线y=/W通过点（0,2。

+3）,且在点（一1,几一1））处的切线垂直于y轴，求尸⑴的表达式；

（2）在⑴的条件卜•，当xe［-l,l］时，g⑴=kx_hx）是单调函数，求实数k的収值范围；

（3）设mn<0,m+n>0,d>0,且/（兀）为偶函数,证明F（m）+F（n）>0.

［解析］⑴因为fix）=ax2+bx+c>所以厂（x）=lax+b.

又曲线y=Ax）在点

（1））处的切线垂直于y轴，故厂（-1）=0,

即一2°+/?

=0,因此b=2a.®

因为f（-1）=0,所以b=a+c.②又因为曲线y=7（x）通过点（0,2d+3）,所以c=2a+3.③

解由①，②，③组成的方程组得，a=■3、b=-6,c=-3.

所以F（x）=

-3（x+I）2x>0

3（x+l）2x<0

（2）由⑴知兀v）=-3?

-6x-3,所以gCO=kx-fix）=3x2+伙+6）x+3.

由g（jQ在［-1,1］上是单调函数知:

-1或-4^31，得RW-12或

（3）因为/（x）是偶函数，可知方=0.因此/W=+c.

又因为mn0,

可知加,n异号.

若m>0,则/?

<0.

则F（m）+F（n）=f（tn）-fiji）=am2+c-an2-c

=a（m+a?

）（/?

?

-;?

）>0.

若m<0,则n>0.

同理可得F（m）+F（n）>0.

综上可知F（m）+F（n）>0.