分部积分法练习题讲解.docx
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分部积分法练习题讲解
分部积分法练习题讲解
主要适用于以下类型：
?
xexdx令u?
xdv?
exdx
?
xcosxdx令u?
xdv?
cosxdx
?
excosxdx令u?
exdv?
cosxdx
?
xlnxdx令u?
lnxdv?
xdx
?
xarctanxdx令u?
arctanxdv?
xdx
Th1:
如果函数u,v，都可导，则?
udv?
uv?
?
vdu
d?
udv?
vdu，udv?
d?
vdu，公式：
?
udv?
uv?
?
vdu，
选取u和dv需考虑以下两点
注:
v要较容易求出
?
vdu要比原积分?
udv更容易求出e.g1求?
xexdx
e.g求?
x2exdx
e.g求?
xcosxdx
e.g求?
x2sin2xdx
e.g5.求?
excosxdx
e.g6.求?
xlnxdx
e.g求?
xarctanxdx
xee.g求?
dx
e.g求?
sec3xdx
e.g10求?
sinlnxdx
分部积分法习题：
1．求下列函数的不定积分
x?
xcos2dx
xsinxcosxdx?
?
sin2xdx
?
tsindt
2
?
xtanxdx
?
x5ex3dx
x2dx?
?
x
?
?
5lnxdxlnx2?
dxlogaxdx?
cosxlndxxln2xdx
1?
x
?
xln1?
xdx
2lnxdx?
2lndx?
lnx?
2dx
?
ln
x?
1dx
2xesin3xdx?
1?
arccosxdx
?
arctan
xdx?
arcsinx
?
xdx
x2arctanxdx?
21?
x
?
e?
2xxsindx
2xarctanxdx?
?
sinxcosxdxcos2x?
sinx?
1?
sindx
答案：
xx
?
2xsin2?
4cos2?
c
x1
?
?
4cos2x?
8sin2x?
c
1211?
?
2cos2x?
4sin2x?
4cos2x?
c
?
?
t
?
cos?
1
?
2sin?
c
x2
xtanx?
lncosx?
2?
c
13x1x?
3xe?
3e?
c3
12x43xx?
2e?
4xe?
4e?
3x?
c
1616?
xlnx?
x?
c66
lnxlnx22?
?
cxxx2
x?
xlogax?
?
clna
?
sinxlnsinx?
sinx?
c
3
2323228162?
xlnx?
xlnx?
x?
c927
x21?
x11?
x?
ln?
ln?
c1?
x21?
x
?
xln?
?
x?
c2
x332x332?
x?
x）lnx?
?
c?
?
4?
x?
C
412x32x?
C=1324
12xarccos?
lnx?
x?
1?
C=x
第四讲
Ⅰ授课题目：
5.分部积分法Ⅱ教学目的与要求：
熟练掌握基本的不定积分公式，熟练掌握分部积分法。
Ⅲ教学重点与难点：
重点：
分部积分法。
难点：
分部积分法Ⅳ讲授内容：
一、分部积分法
怎样计算不定积分?
xcosxdx呢？
我们已经知道?
cosxdx?
sinx?
c，如果猜测F?
xsinx是函数
f?
xcosx的一个反导数，是否正确呢？
对函数F按乘积法则求导Fsinx?
xcosx
与f不同，多出一项sinx。
但是，我们知道?
sinxdx?
?
cosx?
c如果给F加上一项cosx而变成G，即
G?
cosx?
xsinx
那么Gxcosx?
sinx?
sinx?
xcosx
所以?
xcosxdx?
cosx?
xsinx?
c
把上面的思路对一般的函数表达出来就是：
为了计算?
fg?
dx按照导数的乘积法则
ddxd
[fg]?
f?
g?
fg?
f?
gdx?
?
dx[fg]
fg?
dx?
d
?
fg?
dx,f?
gdx
?
dx[fg]?
?
?
fg?
dx?
fg?
?
f?
gdx
如果不定积分?
f?
gdx比较容易计算，那么?
fg?
dx就有可能算出.这种思路方法叫做分部积分法。
一般地，称公式
?
udv?
uv?
?
vdu为分部积分公式。
分部积分的作用是把求?
udv转化成求?
vdu因此，利用分部积分法求
?
将fdx改写成udv的形式，即把被积函数的一部分fdx的关键是：
与dx凑成dv。
二、分部积分法举例例1求?
xsinxdx.
解设u?
?
cosx,v?
x那么
?
xsin
xdx.?
x?
?
dx
2
?
?
xcosx?
?
cosxdx
?
?
xcosx?
sinx?
c
但是，为什么不选择u?
sinx,v?
x
2
2
呢？
如果这样
x
2
?
xsin
xdx?
?
?
d?
?
?
cosxdx
而积分?
2
cosxdx.更加不容易计算，此路不通，不符合分部积分的思路。
因
此在运用分部积分方法时，怎样选择u和v是个问题，解决这个问题的有效途径是多观察，多积累。
例求?
x10dx.解设u?
x,dv?
10dx,
10
?
xdx.?
x
111
11
?
111
?
dx?
11
111
x
11
?
1132
12
?
c
例求?
2xexdx.
解设u?
ex,2xdx?
dv同时du?
exdx,dv?
12
x
x，按分部积分法
2
?
2xedx?
x
?
2xd?
2xe
xx
?
2?
edx?
2xe
x
?
2e?
c?
2e?
c
xx
例求?
xlnxdx
解设u?
lnx,xdx?
dv同时du?
I?
1x
2
dx,dv?
d，按分部积分法
2
?
xlnxdx?
?
lnxd?
x2
x
2
lnx?
x
2
?
x
2
2x
dlnx
2
?
c
2
lnx?
?
dx?
2
lnx?
4
例求?
4xcosdx解设u?
4x,dv?
cosdx
?
4xcosdx?
114xd?
4x?
?
33
?
3sin3xd
1
43
x?
?
9
4
sin3xd?
43
x?
49
cos3x?
c
例6求?
e2xcosxdx解
?
e
2x
cosxdx?
2x
?
e
2x
d?
e
2x
sinx?
?
sinxd?
e
2x
sinx?
2?
e
2x
sinxdx
2x
?
e?
e
sinx?
2?
esinx?
2e
2x
d?
e
2x
sinx?
2）?
2?
d
2x2x
cosx?
4?
e15e
2x
cosxdx
即?
e2xcosxdx?
?
c
一般地，当被积函数f是如下形式时，必须采用分部积分法：
f?
xneax这里n是正整数，a为常数；f?
xnsinbx这里n是正整数，b为常数；f?
xnlnx这里n是正整数；
f?
xnarctgx,f?
xnarcsinx,?
这里n是正整数；
f?
eaxsinbx，这里a,b为常数。
并且一般的规律是，对两种情况，宜将指数函数或三角函数与dx合起来凑成dv；对两种情况，宜将幂函数与dx合起来凑成dv;而第类函数的积分往往需要连续几次使用分部积分法。
再举一例子说明，有时为了计算不定积分，凑微分法和分部积分法这两种方法需要同时使用。
例求?
sinxdx
先设法去掉根号，令x?
u或x?
u2
?
sin
xdx?
?
sinud?
2?
usinudu
?
?
ucosu?
sinu?
c
x?
c
这时，再利用分部积分法
?
usinudu
所以
?
?
ud?
u?
?
du
?
sin
xdx?
2?
c?
?
2xcosx?
2sic
Ⅴ小结与提问：
最后，请大家注意：
在计算导数的时候，我们知道，初等函数的导数一定还是初等函数。
作为求导数的逆运算，是不是可以说初等函数的反导数一定是初等函数呢？
答案是否定的，也就是说：
初等函数的反导数不一定仍然是初等函数，例如e
?
x
2
sinxx
xlnx
?
这些函数的反导数都不能用初等函数表示！
但是，这并不意味着这些函数没有反导数，实际上，任何连续函数都有反导数，也就是说，按照上面介绍的积分的计算方法，是
计算不出积分
?
e
?
x
2
dx,?
sinxx
?
xlnx
dx,?
的。
它们的计算需要借助一种称为无穷级数的数学方法。
Ⅵ课外作业：
1.计算下列不定积分：
--）
1
2.设f?
1,f?
3,f?
?
5,计算?
xf?
?
dx
3.设f?
?
xex,f,求f.
如果需要计算定积分?
ba
f）g’dx
那么，按照不定积分，因该存在函数F，使得.
?
f）g’dx?
F）?
c
按照微积分学基本定理，有
b
?
bf）g’dx?
F）a?
F）?
F）a同时，由于?
g
gba
fdu?
F
gg
?
F）?
F）
结合起来就有?
例3.39求?
12
f）g’dx?
u?
g
?
gg
fdu
这就是定积分的换元积分公式。
x1
23
2
3
dx
解因为x2?
d），令u?
1?
x3,积分变为
?
10
x
23
2
dx?
u?
1?
x
3
?
注意：
积分变量由x变到u，积分上限和积分下限也同时变动。
例3.40求解因为、所以例3.4求解设
同计算不定积分一样，采用分部积分法计算定积分法计算定积分只要注意连用积分限一起计算就可以了。
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